【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：四种命题间的逆否关系

试卷更新日期：2023-08-15 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 原命题为“若z₁ ， z₂互为共轭复数，则|z₁|=|z₂|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）

A、真，假，真 B、假，假，真 C、真，真，假 D、假，假，假

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2. 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）

A、（￢p）∨（￢q） B、p∨（￢q） C、（￢p）∧（￢q） D、p∨q

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3. 命题“若α= $\frac{π}{4}$ ，则tanα=1”的逆否命题是（）

A、若α≠ $\frac{π}{4}$ ，则tanα≠1 B、若α= $\frac{π}{4}$ ，则tanα≠1 C、若tanα≠1，则α≠ $\frac{π}{4}$ D、若tanα≠1，则α= $\frac{π}{4}$

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4. 下列说法不正确的是（）

A、命题“若 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ，则 $x = 1$ ”的逆否命题为“若 $x \neq 1$ ，则 $x^{2} - 3 x + 2 \neq 0$ ” B、 $p \land q$ 为假命题，则 $p ， q$ 均为假命题 C、若“ $x > 1$ ”是“ $| x | > 1$ ”的充分不必要条件 D、若命题 $p$ ：“ $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $x_{0}^{2} + x_{0} + 1 < 0$ ”，则 $\neg p ：$ “ $\forall x \in R$ ，均有 $x^{2} + x + 1 \geq 0$ ”

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5. 下列命题中为真命题的是（）

A、若 $p \land q$ 为假命题，则 $p ， q$ 均为假命题； B、由锐角 $x$ 满足 $s i n x < x$ 及 $0 < \frac{π}{12} < \frac{π}{2}$ ，推出 $s i n \frac{π}{12} < \frac{π}{12}$ 是合情推理 C、命题“存在 $x \in R$ ，使得 $x^{2} - x + 1 < 0$ ”的否定是“对任意 $x \in R$ ，均有 $x^{2} - x + 1 > 0$ ”； D、命题“若 $x^{2} = 1$ ，则 $x = 1$ 或 $x = - 1$ ”的逆否命题为“若 $x \neq 1$ 且 $x \neq - 1$ ，则 $x^{2} \neq 1$ ”.

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6. 命题“若 $x$ ， $y$ 都是奇数，则 $x + y$ 是偶数”的逆否命题是（）

A、若 $x + y$ 不是偶数，则 $x$ ， $y$ 都不是奇数 B、若 $x + y$ 不是偶数，则 $x$ ， $y$ 不都是奇数 C、若 $x$ ， $y$ 都是偶数，则 $x + y$ 是奇数 D、若 $x$ ， $y$ 都不是奇数，则 $x + y$ 不是偶数

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7. 下列命题错误的是（）

A、命题“若 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ，则 $x = 1$ ”的逆否命题为“若 $x \neq 1$ ，则 $x^{2} - 3 x + 2 \neq 0$ ” B、命题“若 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ，则 $x = 1$ ”的否命题为“若 $x^{2} - 3 x + 2 \neq 0$ ，则 $x \neq 1$ ” C、若命题p： $x < - 1 ，$ 或 $x > 1$ ；命题q： $x < - 2 ，$ 或 $x > 1$ ，则 $\neg p$ 是 $\neg q$ 的必要不充分条件 D、“ $x > 2$ ”是“ $x^{2} - 3 x + 2 > 0$ ”的充分不必要条件

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8. 命题“在△ABC中，若 $A = 60 °$ ，则 $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”的原命题，逆命题，否命题，逆否命题中真命题的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 下列四个命题为真命题的个数是（）
①命题“若 $x > 1$ ，则 $x^{2} > 1$ ”的否命题

②命题“梯形不是平行四边形”的逆否命题

③命题“全等三角形面积相等”的否命题

④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. “若 $x < 1$ ，则 $x^{2} - 3 x + 2 > 0$ ”的否命题是（）

A、若 $x \geq 1$ 则 $x^{2} - 3 x + 2 > 0$ B、若 $x < 1 ，$ 则 $x^{2} - 3 x + 2 \leq 0$ C、若 $x \geq 1 ，$ 则 $x^{2} - 3 x + 2 \leq 0$ D、若 $x^{2} - 3 x + 2 \leq 0$ 则 $x \geq 1$

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11. 下列说法正确的是（）

A、命题“若 $x < 1$ ，则 $- 1 \leq x \leq 1$ ”的逆否命题是“若 $x \geq 1$ ，则 $x < - 1$ 或 $x \geq 1$ ” B、命题“ $\forall x \in R$ ， $e^{x} > 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ， $e^{x} \leq 0$ ” C、“ $a > 0$ ”是“函数 $f (x) = (a x - 1) x$ 在区间 $(- \infty ， 0)$ 上单调递减”的充要条件 D、已知命题 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $ln x < lg x$ ；命题 $q$ ： $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{3} = 1 - x_{0}^{2}$ ，则“ $(\neg p) \lor (\neg q)$ 为真命题”.

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12. 下列命题中，正确的有（）
①若平面 $α ⊥$ 平面 $γ$ ，平面 $β ⊥$ 平面 $γ$ ，则平面 $α //$ 平面 $β$ ；

②“若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ，则 $a > b$ ”的逆否命题为真命题；

③在线性回归模型中，相关指数 $R^{2}$ 表示解释变量 $x$ 对于预报变量 $y$ 的贡献率， $R^{2}$ 越接近于0，表示回归效果越好；

④两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好；

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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13. 下列说法中，正确的个数为（）
①若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是非零向量，则“ $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ”是“ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角”的充要条件；

②命题“在△ $A B C$ 中，若 $\sin A > \sin B$ ，则 $A > B$ ”的逆否命题为真命题；

③已知命题 $p$ ： $\exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} + x_{0} + 2 \leq 0$ ，则它的否定是 $\neg p$ ： $\forall x \notin R ， x^{2} + x + 2 > 0$ .

④二项式 ${(\sqrt{2} x^{2} + \frac{1}{\sqrt[3]{2} x})}^{12}$ 的展开式中，系数为有理数的项共3项.

A、1 B、2 C、3 D、

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二、填空题

14. 命题“若 $x^{2} \neq 1$ ，则 $x \neq m$ ”的逆命题是真命题，则 $m$ 的取值范围是.

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15. 设有下列四个命题：
$p_{1}$ ：空间共点的三条直线不一定在同一平面内．

$p_{2}$ ：若两平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合．

$p_{3}$ ：若三个平面两两相交，则交线互相平行．

$p_{4}$ ：若直线 $a //$ 平面 $α$ ，直线 $a ⊥$ 直线 $b$ ，则直线 $b ⊥$ 平面 $α$ ．

则下述命题中所有真命题的序号是．

① $p_{1} \land p_{4}$ ② $p_{1} \land p_{2}$ ③ $\neg p_{2} \lor p_{3}$ ④ $\neg p_{3} \lor p_{4}$

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16. 下列命题：
①“若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ ”的逆命题；

②“若 $\sin A = \sin B$ ，则 $A = B$ ”的否命题；

③“若 $0 < a < 1$ ，则函数 $y = \log_{a} (1 - x)$ 在定义域内为增函数”的逆命题；

④“四边相等的四边形是正方形”的逆否命题．其中所有真命题的序号是．

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17. 命题“若 $x > 0$ ，则 $x^{2} + y^{2} \neq 0$ ”的逆否命题为．

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18. 命题 $" a, b \in R$ ，若 $a + b < 4$ ，则 $a < 2$ 或 $b \leq 2 "$ 是命题.（填“真”或“假”）

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19. 写出命题“若 $a \geq 0$ 且 $b \geq 0$ ，则 $a b \geq 0$ ”的逆否命题：．

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20. 命题若 $a > 0$ ，则 $a > 1$ ”的逆命题是．

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21. 已知命题 $p$ ：“若 $x^{2} - 6 x - 16 = 0$ ，则 $x = - 2$ 或 $x = 8$ ”，则命题p的逆否命题是.

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22. 命题“若 $x > 1$ ，则 $x > 0$ ”的否命题是命题（填“真”或“假”）

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23. 命题“若 $a + b \geq 2$ ，则a、b中至少有一个不小于1”的一个等价命题是.

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三、解答题

24. 已知函数 $f (x) = 2 \sin ω x - 1 (ω > 0)$ .

(1)、已知命题 $p$ ：若正实数 $ω > 1$ ，则函数 $f (x)$ 的最小正周期小于 $2 π$ .请写出命题 $p$ 的逆否命题，并判断其真假性；

(2)、已知命题 $q$ ：函数 $y = f (x)$ 满足 $f (\frac{π}{2}) = - 1$ ，命题 $s$ ： $0 < ω < 5$ ，若 $q$ 与 $s$ 均为真命题，求符合题意的 $ω$ 的值.

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25. 已知 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，如 $[1.71] = 1$ .现给出下列两个命题：
命题 $p$ ：若 $[x] = 2$ ，则 $4 \leq x^{2} < 9$ .

命题 $q$ ：若 $- 2 < x < - 1$ ，则 $\lg (- [x]) = 0$ .

(1)、写出命题 $p$ 的逆否命题；

(2)、判断命题 $\neg p$ ， $p \land q$ ， $p \lor q$ 的真假，并说明理由.

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26. 将命题“正偶数不是质数”改写成“若 $p,$ 则 $q$ ”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.

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27. 设命题 $p$ ：“若 $a \geq 0$ ，则 $x^{2} + x - a = 0$ 有实根”．

(1)、试写出命题 $p$ 的逆否命题；

(2)、判断命题 $p$ 的逆否命题的真假，并写出判断过程．

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28. 写出命题“若 $\sqrt{x - 1} + {(y - 1)}^{2} = 0$ ，则 $x, y$ 的值都等 $1$ ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.

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29. 已知 $p ： \forall x \in R ， m x^{2} + 1 > 0$ ， $q ： \exists x \in R ， x^{2} + m x + 1 \leq 0.$

(1)、求命题 $p$ 的否定 $\neg p$ ；命题 $q$ 的否定 $\neg q$ ；

(2)、若 $\neg p \lor \neg q$ 为真命题，求实数 $m$ 的取值范围.

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30. 将命题“两个全等三角形的面积相等”改为“若p，则q”的形式，再写出它的逆命题、否命题、逆否命题．

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31. 命题p：不等式x²﹣（a+1）x+1＞0的解集是R．命题q：函数f（x）=（a+1）^x在定义域内是增函数．若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．

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32. 写出下列命题的否定形式和否命题：
（1）若xy=0，则x、y中至少有一个为零；
（2）若a+b=0，则a、b中最多有一个大于零；
（3）若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角相等；
（4）有理数都能写出分数．

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33. 写出命题“若x²+y²=0，则xy=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．

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