【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：集合中元素个数问题

试卷更新日期：2023-08-15 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著。某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）

A、0.5 B、0.6 C、0.7 D、0.8

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2. 已知集合 $A = {(x ， y) | x^{2} + y^{2} \leq 3 ， x \in Z ， y \in Z}$ .则A中元素的个数为（）

A、9 B、8 C、5 D、4

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3. 已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（）

A、1 B、3 C、5 D、9

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4. 对于数集 $A$ ， $B$ ，定义 $A + B = {x | x = a + b ， a \in A ， b \in B}$ ， $A \div B = {x | x =$ $\frac{a}{b}$ ， $a \in A ， b \in B)$ ，若集合 $A =$ ${1 ， 2}$ ，则集合 $(A + A) \div A$ 中所有元素之和为（）

A、 $\frac{10}{2}$ B、 $\frac{15}{2}$ C、 $\frac{21}{2}$ D、 $\frac{23}{2}$

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5. 若集合 $A = {x ∣ x = 4 k - 3 ， k \in N} ， B = {x ∣ (x + 3) (x - 9) \leq 0}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 已知集合 $A = {x | a x^{2} - 3 x + 2 = 0}$ 的元素只有一个，则实数a的值为（）

A、 $\frac{9}{8}$ B、0 C、 $\frac{9}{8}$ 或0 D、无解

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7. 对于两个非空实数集合 $A$ 和 $B$ ，我们把集合 ${x ∣ x = a + b ， a \in A ， b \in B}$ 记作 $A * B$ .若集合 $A = {0 ， 1} ， B = {0 ， - 1}$ ，则 $A * B$ 中元素的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 定义集合 $A + B = {x + y | x \in A$ 且 $y \in B}$ .已知集合 $A = {2 ， 4 ， 6}$ ， $B = {- 1 ， 1}$ ，则 $A + B$ 中元素的个数为（）

A、6 B、5 C、4 D、7

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9. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | - 3 < x < 2}$ ，则 $A ∩ B$ 子集的个数为（）

A、3 B、4 C、7 D、8

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10. 已知集合 $P = {x | l o g_{6} (x + 1) < 1 ， x \in N} ， Q = {1 ， 3 ， 5}$ ， M＝P∪Q，则集合M中的元素共有（）

A、4个 B、6个 C、8个 D、无数个

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11. 设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为 $X_{A} = M - m$ ，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， …， $A_{n}$ 是集合 $N^{*}$ 的元素个数均不相同的非空真子集，且 $X_{A_{1}} + X_{A_{2}} + X_{A_{3}} + \cdot \cdot \cdot + X_{A_{n}} = 120$ ，则n的最大值为（）

A、14 B、15 C、16 D、18

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二、填空题

12. 某年级先后举办了数学和音乐讲座，其中参加数学讲座的人数是参加音乐讲座的人数的 $\frac{3}{4}$ ，只参加数学讲座的人数是只参加音乐讲座的人数的 $\frac{2}{3}$ ，有20人同时参加数学、音乐讲座，则参加讲座的人数为．

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13. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱， $P_{i} (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 8)$ 是上底面上其余的八个点，则集合 ${y | y = \overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A P_{i}} ， i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， 8}$ 中的元素个数为．

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14. 设全集 $U = {2 ， 3 ， 5 ， 6 ， 9}$ ，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第23位的子集是.

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15. 设集合 $A = {(m_{1} ， m_{2} ， m_{3}) | m_{i} \in {- 2 ， 0 ， 2} ， i \in {1 ， 2 ， 3}}$ ，则集合A中满足条件：“ $2 \leq | m_{1} | + | m_{2} | + | m_{3} | \leq 5$ ”的元素个数为.

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16. 定义函数 $f (x) = [x [x]]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，例如， $[1.3] = 1 ， [- 1.5] = - 2 ， [2] = 2$ ，当 $x \in [0 ， n) ， n \in N^{*}$ 时， $f (x)$ 的值域为 $A_{n}$ ，记集合 $A_{n}$ 中元素的个数为 $a_{n}$ ，则

(1)、 $a_{2} =$ ；

(2)、 $\sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{a_{k} - 1} =$ ．

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17. 已知 $n \in N^{*}$ ，集合 $M_{n} = {\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{8}, \dots, \frac{2 n - 1}{2^{n}}}$ ，集合 $M_{n}$ 的所有非空子集的最小元素之和为 $T_{n}$ ，则使得 $T_{n} > 80$ 的最小正整数n的值为．

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18. 已知集合 $A = {1, 2, 3}, B \subseteq A, 1 \in B$ ，则集合 $B$ 的个数为个.

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19. 已知a，b，c均为非零实数，集合 $A = {x | x = \frac{| a |}{a} + \frac{b}{| b |} + \frac{a b}{| a b |}}$ ，则集合A的元素的个数有个.

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20. 设集合 $B = {x \in N ∣ \frac{6}{2 + x} \in N}$ ，则集合 $B$ 中所有元素的和是.

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21. 若 ${x \in N^{*} | x^{2} + m x < 0}$ 恰有三个元素，则实数m的取值范围为.

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三、解答题

22. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， ${b_{n}}$ 是公比为2的等比数列，且 $a_{2} - b_{2} = a_{3} - b_{3} = b_{4} - a_{4}$ ．

(1)、证明： $a_{1} = b_{1}$ ；

(2)、求集合 ${k | b_{k} = a_{m} + a_{1} ， 1 \leq m \leq 500}$ 中元素个数．

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23. 对正整数n，记I_n={1，2，3…，n}，P_n={ $\frac{m}{\sqrt{k}}$ |m∈I_n ， k∈I_n}．

(1)、求集合P₇中元素的个数；

(2)、若P_n的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使P_n能分成两个不相交的稀疏集的并集．

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24.

(1)、从集合 ${1 ， 2 ， 3 ， \dots ， 10}$ 中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有多少个？

(2)、设集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， 13}$ ，集合B是A的子集，且集合B任意两数之差都不等于6或7．问：集合B中最多有多少个元素？说明理由．

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25. 设集合 $S \subseteq N^{*}$ ，集合 $T \subseteq N^{*}$ ， S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意 $x ， y \in S$ ，若 $x \neq y$ ，则 $x y \in T$ ；
②对于任意 $x ， y \in T$ ，若 $x < y$ ，则 $\frac{y}{x} \in S$ ．

(1)、若 $S = {1 ， 3 ， 9}$ ，则 $T =$ ；若 $T = {8 ， 16 ， 32}$ ，则S的元素个数最多为．

(2)、若 $S = {s_{1} ， s_{2} ， s_{3}}$ ， T中含有4个元素，求证： $s_{1} \neq 1$ ；

(3)、若 $S = {s_{1} ， s_{2} ， ⋯ ， s_{n}}$ ，且 $s_{1} < s_{2} < ⋯ < s_{n}$ ，求n的最大值．

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26. 对于集合M，定义函数 $f_{M} (x) = {\begin{array}{l} \overset{- 1, x \in M}{1, x \notin M .} \end{array}$ 对于两个集合M，N，定义集合 $M △ N = {x | f_{M} (x) \cdot f_{N} (x) = - 1} .$ 已知 $A = {2,$ 4，6，8， $10}$ ， $B = {1,$ 2，4，8， $16}$ ．
$($ Ⅰ $)$ 写出 $f_{A} (1)$ 和 $f_{B} (1)$ 的值，并用列举法写出集合 $A △ B$ ；

$($ Ⅱ $)$ 用 $C a r d (M)$ 表示有限集合M所含元素的个数，求 $C a r d (X △ A) + C a r d (X △ B)$ 的最小值；

$($ Ⅲ $)$ 有多少个集合对 $(P, Q)$ ，满足P， $Q \subseteq A \cup B$ ，且 $(P △ A) △ (Q △ B) = A △ B$ ？

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27. 已知关于x的不等式 $(k x - k^{2} - 9) (x - 6) > 0$ ，其中 $k \in R$ ．

(1)、当k变化时，试求不等式的解集A；

(2)、对于不等式的解集A，若满足 $A \cap Z = B$ （其中Z为整数集）．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少时k的所有取值；若不能，请说明理由

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28. 已知集合 $A = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$ 中的元素都是正整数，且 $a_{1} < a_{2} < \cdot \cdot \cdot < a_{n}$ ，集合 $A$ 具有性质 $M$ ：对任意的 $x, y \in A$ ，且 $x \neq y$ ，都有 $| x - y | \geq \frac{x y}{25}$ .

(1)、判断集合 ${1, 2, 3, 4}$ 是否具有性质 $M$ ；

(2)、求证： $\frac{1}{a_{1}} - \frac{1}{a_{n}} \geq \frac{n - 1}{25}$ ；

(3)、求集合 $A$ 中元素个数的最大值，并说明理由.

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29. 已知集合A={x|x²-(a+1)x-a>0}.

(1)、若1∈A求实数a的取值范围；

(2)、若集合B={2，3}，且A∩B中恰好只有1个元素，求实数a的取值范围.

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30. 设 $a = 2 \times 1000^{\frac{2}{3}} + 64^{\frac{2}{3}} + lg 4 + 2 lg 5$ ．

(1)、化简上式，求 $a$ 的值；

(2)、设集合 $A = {x | x > a}$ ，全集为 $R$ ， $B = C_{R} A \cap N$ ，求集合 $B$ 中的元素个数．

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31. 对于集合M，定义函数 $f_{M} (x) = {\begin{matrix} - 1, x \in M \\ 1, x \notin M \end{matrix}$ 对于两个集合M，N，定义集合 $M △ N = {x | f_{M} (x) \cdot f_{N} (x) = - 1} .$ 已知 $A = {2,$ 4，6，8， $10}$ ， $B = {1,$ 2，4，8， $16}$ ．
$($ Ⅰ $)$ 写出 $f_{A} (1)$ 和 $f_{B} (1)$ 的值，并用列举法写出集合 $A △ B$ ；

$($ Ⅱ $)$ 用 $C a r d (M)$ 表示有限集合M所含元素的个数，求 $C a r d (X △ A) + C a r d (X △ B)$ 的最小值；

$($ Ⅲ $)$ 有多少个集合对 $(P, Q)$ ，满足P， $Q \subseteq A \cup B$ ，且 $(P △ A) △ (Q △ B) = A △ B$ ？

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