【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：集合的相等

试卷更新日期：2023-08-15 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， a^{2}}$ ， $B = {1 ， 0 ， 2 a + 3}$ ，若 $A = B$ ，则 $a$ 等于（）

A、 $- 1$ 或3 B、0或 $- 1$ C、3 D、 $- 1$

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2. 已知集合 $M = {3 ， 4} ， N = {x ∣ (x - 3) (x + a) = 0 ， a \in R}$ ，若 $M = N$ ，则 $a =$ （）

A、3 B、4 C、 $- 3$ D、 $- 4$

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3. 若集合 $A = {x | x = \frac{1}{9} (2 k + 1) ， k \in Z}$ ， $B = {x | x = \frac{4}{9} k \pm \frac{1}{9} ， k \in Z}$ ，则集合 $A$ ， $B$ 之间的关系表示最准确的为（）

A、 $A \subseteq B$ B、 $B \subseteq A$ C、 $A = B$ D、 $A$ 与 $B$ 互不包含

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4. 已知集合 $A = {x | y = 2 x ， x \in R} ， B = {(x ， y) | y = x + 1 ， x ， y \in R}$ ，则（）

A、 $A ∩ B = {1 ， 2}$ B、 $A ∩ B = {(1 ， 2)}$ C、 $A = B = R$ D、 $A \cap B = \emptyset$

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5. 已知集合 $A = {4 ， x ， 2 y}$ ， $B = {- 2 ， x^{2} ， 1 - y}$ ，若 $A = B$ ，则实数x的取值集合为（）

A、 ${- 1 ， 0 ， 2}$ B、 ${- 2 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 2}$ D、 ${- 2 ， 1 ， 2}$

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6. 已知集合 $P = {2 x ， x + y} ， Q = {9 ， 6}$ ，且 $P = Q$ ，则整数x，y分别为（）

A、6，3 B、6，3或 $\frac{9}{2} ， \frac{3}{2}$ C、3，6 D、3，6或 $\frac{9}{2} ， \frac{3}{2}$

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7. 已知集合M，N满足 $(M \cup N) \cup N = M$ ，则（）

A、 $N = \emptyset$ B、 $M = N$ C、 $M \subseteq N$ D、 $N \subseteq M$

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8. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ ，集合 $A = {x ∣ f (x) \leq 0}$ ，集合 $B = {x ∣ f (f (x)) \leq \frac{5}{4}}$ ，若 $A = B \neq \emptyset$ ，则实数 $a$ 的值可以是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \in Q \\ 0 ， x \in ∁_{R} Q \end{array}$ ，则下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域是 $[0 ， 1]$ B、 $\forall x \in R ， f (f (x)) = 1$ C、 $f (x)$ 是偶函数 D、 ${x | f (x) < \frac{1}{2}} = {x | f (x) > \frac{1}{2}}$

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10. 设集合 $A = {α | α = k π + \frac{π}{2} ， k \in Z}$ ，集合 $B = {α | α = 2 k π \pm \frac{π}{2} ， k \in Z}$ ，则A与B的关系为（）

A、 $A = B$ B、 $A$ $B$ C、 $B$ $A$ D、 $A \cap B = \emptyset$

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二、填空题

11. 已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a² ， b²}，则a+b= ．

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12. 若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：
①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是．

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13. 已知集合 ${1 ， a ， \frac{b}{a}} = {0 ， a^{2} ， a + b}$ ，则 $a^{2022} + b^{2023} =$ ．

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14. 若 $a \in R$ ，集合A={1，a，a+2}，B={1，3，5}，且A=B，则a=.

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15. 设 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4} \in R$ ，且满足 ${x_{i} \cdot x_{j} | 1 \leq i < j \leq 4$ 且 $i ， j \in N} = {- 18 ， - 3 ， - 1 ， - \frac{1}{6} ， \frac{1}{2} ， 6}$ ，则 $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4} =$ .

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16. 已知集合 $A = {- 1 ， b ， a^{2}}$ ，集合 $B = {1 ， \frac{b}{a} ， a}$ ；若 $A = B$ ，则 $a + b =$ ；

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17. 含有3个实数的集合既可表示成 ${a ， \frac{b}{a} ， 1}$ ，又可表示成 ${a^{2} ， a + b ， 0}$ ，则 $a^{2022} + b^{2022} =$ ．

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18. 设集合 $A = {1 ， - 2 ， a^{2} - 1}$ ， $B = {1 ， a - 1 ， 0}$ ，若 $A = B$ ，则实数 $a =$ .

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19. 已知集合 $M = {2 ， m} ， N = {2 m - 1 ， 2}$ ．若 $M = N$ ，则实数 $m =$ ．

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20. 设集合 $A = {- a ， 1}$ ， $B = {- 1 ， a^{2}}$ ，若 $A = B$ ，则 $a =$ ．

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三、解答题

21. 已知集合 $A = {x | - x^{2} + m x + n > 0} = (- 1 ， 3)$ ，集合 $B = {x | x^{2} - a x - 2 a^{2} < 0}$ ．

(1)、求常数m、n的值；

(2)、设 $p ： x \in A ， q ： x \in B$ ，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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22. 设集合 $A = {x | x^{2} + 4 x = 0 ， x \in R} ， B = {x | x^{2} + 2 (a + 1) x + a^{2} - 1 = 0 ， x \in R}$ .

(1)、若 $A = B$ ，求a的值.

(2)、若 $A ∩ B = B$ ，求实数a的取值范围.

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23. 已知集合 $A = {x | 2 - b < a x \leq 2 b - 2}$ ， $B = {x | - \frac{1}{2} < x \leq 2}$ $(a \neq 0)$ ．

(1)、若 $a = 1$ ， $b = 3$ ，求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、集合A，B能否相等？若能，求出a，b的值；若不能，请说明理由．

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24. 已知集合 $A = {x ， \frac{y}{x} ， 1} ， B = {x^{2} ， x + y ， 0}$ ，若 $A = B$ ，求 $x^{2019} + y^{2018}$ 的值．

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25. 已知集合A有三个元素：a－3，2a－1，a²＋1，集合B也有三个元素：0，1，x.

(1)、若－3∈A ，求a的值；

(2)、若x²∈B ，求实数x的值；

(3)、是否存在实数a ， x ，使A＝B ．

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26. 已知集合 $A = {2, 6}$ .

(1)、若集合 $B = {a + 1, a^{2} - 23}$ ，且 $A = B$ ，求 $a$ 的值；

(2)、如集合 $C = {x | a x^{2} - x + 6 = 0}$ ，且 $A$ 与 $C$ 有包含关系，求 $a$ 的取值范围.

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27. 集合 $M = {1, y}$ ， $N = {x^{2}, x}$ ，若 $M = N$ ，求x，y的值.

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28. 设函数 $f (x) = \sqrt{a x^{2} + b x + c}$ ，b>0的定义域为A，值域为B.

(1)、若 $a = - 1$ ，b=2，c=8，求A和B；

(2)、若A=B，求满足条件的实数a构成的集合.

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29. 已知全集为 $R$ ，实数 $a$ ， $b$ 满足 $a \neq b$ ，集合 $M = {x | x^{2} - 3 x - 4 \leq 0}$ ，集合 $A = {x | (x + a) (x + b) > 0}$ ，集合 $B = {x | x^{2} + (a - 2) x - 2 a > 0}$ ．

(1)、若 $\bar{A} = M$ ，求 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、若 $a > b > - 1$ ，求 $A \cap B$ ；

(3)、若 $a^{2} + a \in \bar{B}$ ，求 $a$ 的取值范围．

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30. 已知 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 为非空整数集合，对于1、2、3的任意一个排列i、j、k，若 $x \in S_{i}$ ， $y \in S_{j}$ ，则 $x - y \in S_{k}$ .

(1)、证明：三个集合中至少有两个相等；

(2)、三个集合中是否可能有两个集合无公共元素？说明理由.

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