浙江省绍兴市上虞区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-08-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列方程中，是二元一次方程的是（）

A、 $x^{2} + y = 2$ B、 $\frac{x + y}{3} - 2 y = 0$ C、 $x = \frac{2}{y} - 3$ D、 $x + z = 2 y$

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2. 下列调查中，适宜采用全面调查 $（$ 普查 $）$ 方式的是（）

A、对曹娥江水质情况的调查 B、端午节期间对市场上粽子质量情况的调查 C、对七（1）班 $40$ 名同学体重情况的调查 D、对上虞某品牌茶叶销量情况的调查

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3. 下列各题的计算，正确的是（）

A、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ B、 ${(- 3 a^{2})}^{3} = - 9 a^{6}$ C、 $(- a) \cdot (- a)^{6} = - a^{7}$ D、 $a^{3} + a^{3} = 2 a^{6}$

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4. 小王叔叔改建一个边长为a米的正方形养鸡场，计划纵向扩大2米，横向缩短2米，则改建后养鸡场面积的变化情况是（）

A、面积减少4m² B、面积增加4m² C、面积增加2m² D、面积不变

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5. 如图，直线 $a ∥ b$ ，一块三角板的直角顶点在直线 $a$ 上，两直角边均与直线 $b$ 相交，若 $∠ 1 = 35 °$ ，则 $∠ 2$ ＝（）

A、 $35 °$ B、 $45 °$ C、 $55 °$ D、 $65 °$

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6. 若 $\frac{| x | - 2}{(x - 1) (x - 2)} = 0$ ，则 $x =$ （）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $- 1$ 或 $- 2$ D、 $\pm 2$

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7. 《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地 $420 k m$ 的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行 $10 k m$ ，则提前 $1$ 日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行 $x k m$ ，则根据题意可列出的方程是（）

A、 $\frac{420}{x} = \frac{420}{x + 10} + 1$ B、 $\frac{420}{x} + 1 = \frac{420}{x + 10}$ C、 $\frac{420}{x} = \frac{420}{x - 10} + 1$ D、 $\frac{420}{x} + 1 = \frac{420}{x - 10}$

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8. 生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式 $x^{4} - y^{4}$ 因式分解的结果是 $(x - y) (x + y) (x^{2} + y^{2})$ ，当取 $x = 9$ ， $y = 9$ 时，各个因式的值是： $(x - y) = 0$ ， $(x + y) = 18$ ， $(x^{2} + y^{2}) = 162$ ，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．类似地，对于多项式 $4 x^{3} - x y^{2}$ ，当取 $x = 10$ ， $y = 10$ 时，用上述方法可以产生一个六位数密码．则这个密码可以是（）

A、102030 B、103020 C、101030 D、102010

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9. 将一副三角板如图放置，则下列结论中，正确的是（）
① $∠ 1 + 2 ∠ 2 + ∠ 3 = 180 °$ ；②如果 $B C ∥ D A$ ，则有 $∠ 2 = 45 °$ ；③如果 $∠ 3 = 60 °$ ，则有 $A C ∥ D E$ ；④如果 $∠ 1 + ∠ 3 = 90 °$ ，则有 $∠ 4 = 45 °$ ．

A、①②③④ B、③④ C、①②④ D、①②③

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10. 如图，已知 $A B ∥ C D$ ，点E为 $A B$ 上方一点， $F B$ 、 $H G$ 分别为 $∠ E F G$ ， $∠ E H D$ 的角平分线，若 $∠ E + 2 ∠ G = 135 °$ ，则 $∠ E F G$ 的度数为（）

A、 $85 °$ B、 $90 °$ C、 $95 °$ D、 $100 °$

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二、填空题

11. 将方程 $y - 3 x = 5$ 变形成用含有 $x$ 的代数式表示 $y$ ，则 $y =$ ．

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12. 从我区妇幼保健医院获得今年5月份在该院出生的20名新生婴儿，他们的体重被分为6组，各组的频数分别为2，7，6，x，2，1，则x的值为．

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13. 如图，已知 $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3 = 65 °$ ，则 $∠ 4 =$ 度．

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14. 现有下列多项式：① $1 - a^{2}$ ；② $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ；③ $4 a^{2} - 9 b^{2}$ ；④ $3 a^{3} - 12 a$ ．在因式分解的过程中用到“平方差公式”来分解的多项式有．（只需填上题序号即可）

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15. 如图所示的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求得的值与原题的正确结果一样．则图中被污染掉的 $x$ 的值是．

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16. 如图，一个长为l，宽为a的长方形内，铺满了一层半径为r的圆，则长方形的面积利用率（圆形总面积与长方形面积的比）为（结果保留 $π$ ）．

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17. 如图，已知 $A B ∥ C D$ ， $∠ A C D = 110 °$ ， $∠ B A C$ 的平分线交 $C D$ 于点E，在直线 $A B$ 上取点F，使 $∠ A C F = ∠ A E C$ ，则 $∠ A F C$ 的度数是．

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18. 用如图1所示的 $8$ 张长为 $a$ ，宽为 $b$ （ $a > b$ ）的小长方形纸片，按图 $2$ 的方式不重叠地放在矩形 $A B C D$ 内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为 $S$ ，当 $B C$ 的长度发生变化时，按照同样的放置方式， $S$ 始终保持不变．则 $a$ ， $b$ 之间满足的关系式为．

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三、解答题

19. 解答下列各题：

(1)、解分式方程∶ $\frac{2 x - 3}{x + 6} = \frac{1}{3}$ ．

(2)、先化简，再求值： $(1 - a) (3 + a) - (2 - a) (2 + a)$ ，其中 $a = \frac{1}{2}$ ．

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20. 因式分解：

(1)、4 $a^{3} - a$ ；

(2)、 $x^{2} - 6 x y + 9 y^{2}$ ．

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21. 如图， $D$ 是 $B C$ 上一点， $D E ∥ A B$ ，交 $A C$ 于点 $E$ ， $F$ 是 $A B$ 上一点，且 $∠ D E C + ∠ A F D = 180 °$ ．

(1)、求证： $D F ∥ A C$ ．

(2)、若 $∠ B + ∠ C = 120 °$ ，求 $∠ F D E$ 的度数．

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22. 教育部门为了解本地区中小学生参加家务劳动的情况，随机抽取本地区1200名中小学生进行问卷调查，现将调查问卷（部分）和统计结果绘制成如下不完整的统计图．现将中小学生每周参加家务劳动的时间x（h）分为5组：第一组（ $0 \leq x < 0.5$ ），第二组（ $0.5 \leq x < 1$ ），第三组（ $1 \leq x < 1.5$ ），第四组（ $1.5 \leq x < 2$ ），第五组（ $x \geq 2$ ）．
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、本次调查中，中小学生每周参加家务劳动时间不足2小时的有多少人？

(2)、在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的有多少人？

(3)、教育部门倡议本地区中小学生每周参加家务劳动的时间不少于2小时，结合上述统计图，请你对该地区中小学生每周参加家务劳动的情况作出评价，并提出两条合理化建议．

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23. 为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．

(1)、科技类图书与文学类图书的单价分别是多少元？

(2)、为支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但少于50本时，每本单价降低2元；不少于50本时，每本单价降低3元．社区购进两种图书共100本，总费用为3050元．则科技类图书与文学类图书各可以购买多少本？

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24. 如图1， $A D ∥ B C$ ， $∠ B A D = 62 °$ ， $∠ B C D = 100 °$ ， $M$ 是线段 $B C$ 上一点，过点 $M$ 分别作 $M E ∥ A B$ ， $M F ∥ C D$ ，分别交 $A D$ 于点 $E$ ，点 $F$ ．

(1)、求 $∠ E M F$ 的度数．

(2)、点 $N$ 为直线 $A D$ 上的一个动点，连接 $M N$ ．
①如图2，当点 $N$ 在点 $A$ 的左侧，且 $∠ M N F = 10 °$ 时，判断 $M N$ 与 $M F$ 的位置关系，并说明理由．
②在整个运动过程中，是否存在点 $N$ ，使得 $∠ F M N = 2 ∠ M N F$ ？若存在，请求出 $∠ M N F$ 的度数；若不存在，请说明理由．

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四、单选题

25. 已知三个数 $a ， b ， c$ 满足 $\frac{a b}{a + b} = \frac{1}{5}$ ， $\frac{b c}{b + c} = \frac{1}{6}$ ， $\frac{c a}{c + a} = \frac{1}{7}$ ，则 $\frac{a b c}{a b + b c + c a}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{2}{15}$ D、 $\frac{1}{20}$

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26. 若 $a 、 b 、 c 、 d$ 是正整数，且 $a + b = 20$ ， $a + c = 24$ ， $a + d = 22$ ，设 $a + b + c + d$ 的最大值为 $M$ ，最小值为 $N$ ，则 $M - N$ =（）

A、 $28$ B、 $12$ C、 $48$ D、 $36$

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五、填空题

27. 若 $m^{2} = n + 2023 ， n^{2} = m + 2023$ ，且 $m \neq n$ ，则代数式 $m^{3} - 2 m n + n^{3}$ 的值为．

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28. 已知 $∠ A B C = 60 °$ ， $∠ D E F = 50 °$ ，若 $∠ D E F$ 的一边EF∥BC ，则另一边DE与直线AB相交于点P ，且点E不在直线AB上，则 $∠ A P D$ 的度数为．

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