浙江省杭州市上城区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-08-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列与杭州亚运会有关的图案中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列各式，计算正确的是（）

A、 $\sqrt{4 - \sqrt{2}} = \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3^{2} - 2^{2}} = \sqrt{{(3 - 2)}^{2}} = 1$ C、 $\sqrt{1 + \frac{1}{4}} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ D、 $2 \sqrt{3} \times 3 \sqrt{2} = 6 \sqrt{6}$

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3. 菱形具有而矩形不具有的性质是 $($ $)$ ．

A、对角线互相平分 B、对角相等 C、对角线互相垂直 D、对边平行且相等

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4. 若用反证法证明命题“在 $△ A B C$ 中，若 $∠ B > ∠ C$ ，则 $A C > A B$ ”，则应假设（）

A、 $∠ B > ∠ C$ B、 $∠ B \leq ∠ C$ C、 $A C > A B$ D、 $A C \leq A B$

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5. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + m = 0$ 的一个实数根为2，则另一实数根和m的值分别为（）

A、 $- 4$ ， $- 8$ B、 $- 4$ ， 8 C、4， $- 8$ D、4，8

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6. 在学校举办的“数学思维挑战赛”中，有19名选手进入决赛，前9名将晋级更高一级比赛，他们的决赛成绩各不相同，其中一名选手想知道自己是否晋级，除了知道自己的成绩外，他还需要了解这19名学生成绩的（）

A、平均数 B、中位数 C、众数 D、方差

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7. 如图，点E、F分别是 $A B 、 A C$ 边的中点，点D是 $E F$ 上一点，且 $∠ A D C = 90 °$ ．若 $B C = 10 ， A C = 8$ ，则 $D E$ 的长为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 若点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 都在反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象上，下列说法正确的是（）

A、若 $x_{1} ＜ x_{2}$ ，则 $y_{1} ＜ y_{2}$ B、若 $x_{1} ＜ x_{2}$ ，则 $y_{2} ＜ y_{1}$ C、若 $x_{1} ＜ 0 ＜ x_{2}$ ，则 $y_{1} ＜ y_{2}$ D、若 $x_{1} ＜ 0 ＜ x_{2}$ ，则 $y_{2} ＜ y_{1}$

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9. 已知关于 $x$ 的方程 $a^{2} x^{2} + (a + 1) x + 1 = 0$ （ $a$ 为常数，且 $a \neq 0$ ），下列 $x$ 的值，哪个一定不是方程的解（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = - 2$ C、 $x = - 3$ D、 $x = 1$

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10. 如图，将菱形 $A B C D$ 沿 $A E$ 折叠，点B的对应点为F，若E、F、D刚好在同一直线上，设 $∠ A B E = α$ ， $∠ B A E = β$ ， $∠ C = γ$ ，则关系正确的是（）

A、 $γ = α + 2 β - 180 °$ B、 $3 β + γ = 180 °$ C、 $3 α + 2 β = 360 °$ D、 $2 α + γ = 180 °$

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二、填空题

11. 若代数式 $\sqrt{x - 1}$ 有意义，则实数x 的取值范围是.

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12. 如果一个n边形的内角和等于它的外角和，则n＝．

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13. 在50米跑的10次训练中，小明的成绩的平均数为8.2秒，方差为2.2，第11次小明的成绩为8.2秒，则小明这11次的50米跑成绩与前10次的成绩相比较，其平均数，（填“变大”、“变小”或“不变”），方差．（填“变大”、“变小”或“不变”）

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14. 一高尔夫球手某次击出一个高尔夫球的高度h（米）和经过的水平距离d（米）可用公式 $h = d - 0.01 d^{2}$ 来估计．当球的高度第二次达到16米时，球的水平距离是米．

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15. 如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是4和3，则重叠部分的四边形ABCD面积是．

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16. 有学者认为，阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》关于一元二次方程的几何求解法与中国古代数学的“出入相补原理”相近，可能受到中国传统数学思想的影响，花拉子米关于 $x^{2} + 10 x = 39$ 的几何求解方法如图1，在边长为x的正方形的四个边上向外做边长为x和 $\frac{5}{2}$ 的矩形，再把它补充成一个边长为 $x + 5$ 的大正方形，我们得到大正方形的面积为 ${(x + 5)}^{2} = x^{2} + 10 x + 25 = 39 + 25 = 64$ （因为 $x^{2} + 10 x = 39$ ）．所以大正方形边长为 $x + 5 = 8$ ，得到 $x = 3$ ．思考：当我们用这种方法寻找 $x^{2} + 6 x = 7$ 的解时，如图2中间小正方形的边长x为；阴影部分每个正方形的边长为．

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 $2 \sqrt{2} - \sqrt{2}$ ；

(2)、 $\sqrt{2} \times \sqrt{10} \div \frac{1}{\sqrt{5}}$ ．

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18. 解方程：

(1)、 $x (x + 1) = x + 1$ ；

(2)、 $2 x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ．

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19. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点 $E$ 在 $A B$ 的延长线上，且 $E C ∥ B D$ ．求证： $B E = A B$ ．

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20. 为迎接杭州亚运会，学校举办“亚运会知识竞赛”，初赛共 $10$ 道题，每题 $10$ 分，小乘从初赛名单中随机抽取部分同学的成绩，绘制出如下的统计图 $1$ 和图 $2$ ．请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、图 $1$ 中 $a$ 的值为 ▲ ，补全条形统计图；

(2)、求被抽取的初赛成绩的平均数，众数和中位数；

(3)、如果初赛成绩在 $90$ 分或 $90$ 分以上的同学进入复赛，请估计参加初赛的 $320$ 位同学中有多少同学可以参加复赛．

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21. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ ，点 $A (- 2 ， a) ， B (a + 9 ， 1)$ 都在该反比例函数图象上．

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、当 $x > 1$ 时，直接写出y的取值范围；

(3)、若经过 $A B$ 的直线与y轴交于点C，求 $△ O A C$ 的面积．

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22. 在 $▱ A B C D$ 中，E，F为 $B C$ 上的两点，且 $B E = C F$ ， $A F = D E$ ．

(1)、求证： $Δ A B F ≌ Δ D C E$ ；

(2)、求证： $▱ A B C D$ 是矩形；

(3)、连接 $A E$ ，若 $A F$ 是 $∠ E A D$ 的平分线， $B E = 2$ ， $A F = \sqrt{30}$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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23. 综合实践：

项目主题	“亚运主题”草坪设计
项目情境	为了迎亚会，同学们参与一块长为40米，宽为30米的矩形“亚运主题”草坪方案设计的项目学习．以下为项目学习小组对草坪设计的研究过程．
活动任务一	请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案
驱动问题一	（1）项目小组设计出来的四种方案小路面积的大小关糸？ ①直观猜想：我认为 ▲ ；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想） ②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为 ▲ 和 ▲ ； ③一般验证：若小路宽为x米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为 ▲ 和 ▲ ．
活动任务二	为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米．
驱动问题二	（2）请计算两条小路的宽度是多少？
活动任务三	为了布置五环标志等亚运元素，将在草坪上的亚运宣传主题墙前，用篱笆围（三边）成面积为100平方米的矩形 $A B C D$ ，如图．
驱动问题三	（3）为了使篱笆恰好用完同时围住三面，项目小组的同学对下列问题展开探究，其中矩形宽 $A B = x$ ，长 $B C = y$ ． ①若30米长的篱笆，请用两种不同的函数表示y关于x的函数关系． ②数学之星小明提出一个问题：若a米长的篱笆恰好用完，且有两种不同方案可以选择，使得两种方案的宽之和小于15米，甲同学说“篱笆的长可以是28米”，乙同学说“篱笆的长可以是32米”，你认为他们俩的说法对吗？请说明理由．

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