【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：集合的包含关系判断及应用

试卷更新日期：2023-08-14 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 设集合A= ${(x ， y) | x - y \geq 1 ， a x + y > 4 ， x - a y \leq 2}$ ，则（）

A、对任意实数a， $(2 ， 1) \in A$ B、对任意实数a， $(2 ， 1) \notin A$ C、当且仅当 $a < 0$ 时， $(2 ， 1) \notin A$ D、当且仅当a $\leq \frac{3}{2}$ 时， $(2 ， 1) \notin A$

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2. 设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁_UC”是“A∩B=∅”的（）

A、充分而不必要的条件 B、必要而不充分的条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 若方程 $f (x) \cdot g (x) = 0$ 的解集为M，则以下结论一定正确的是（）
（1） $M = {x ∣ f (x) = 0} ∪ {x ∣ g (x) = 0}$
（2） $M = {x ∣ f (x) = 0} ∩ {x ∣ g (x) = 0}$
（3） $M \subseteq {x ∣ f (x) = 0} ∪ {x ∣ g (x) = 0}$
（4） $M \supseteq {x ∣ f (x) = 0} ∩ {x ∣ g (x) = 0}$

A、（1）（4） B、（2）（4） C、（3）（4） D、（1）（3）（4）

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5. 已知集合 $A = {1 ， 2}$ ，则集合 $A$ 的子集有（）

A、7个 B、6个 C、4个 D、3个

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6. 设集合 $A = {2 ， 3 ， a^{2} - 2 a - 3}$ ， $B = {0 ， 3}$ ， $C = {2 ， a}$ ．若 $B ⊆ A$ ， $A \cap C = {2}$ ，则 $a =$ （）

A、-3 B、-1 C、1 D、3

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7. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {1 ， \frac{1}{x}}$ ，且 $B ⊆ A$ ，则实数 $x =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{1}{2}$ 或1 D、0

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8. 已知集合 $A = {x | x \subseteq B}$ ， $B = {1 ， 2 ， 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $ϕ$ B、 ${ϕ}$ C、 ${1 ， 2 ， 3}$ D、 ${ϕ ， {1 ， 2 ， 3}}$

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9. 已知集合 $A$ ， $B$ ，若 $A = {- 1 ， 1}$ ， $A ∪ B = {- 1 ， 0 ， 1}$ ，则一定有（）

A、 $A \subseteq B$ B、 $B \subseteq A$ C、 $A ∩ B = \emptyset$ D、 $0 \in B$

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10. 已知 $A = {1 ， 4 ， x} ， B = {1 ， x^{2}}$ ，且 $A \cap B = B$ ，则满足条件的x有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有种；
②这三天售出的商品最少有种．

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12. 设集合 $M = {0 ， 1 ， 2}$ ， $N = {1 ， a}$ ，若 $M \supseteq N$ ，则实数 $a =$

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13. 已知集合 $P = {(x ， y) | x | x | + y | y | = 16}$ ，集合 $Q = {(x ， y) | k x + b_{1} \leq y \leq k x + b_{2}}$ ，若 $P \subseteq Q$ ，则 $\frac{| b_{1} - b_{2} |}{\sqrt{k^{2} + 1}}$ 的最小值为.

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14. 设全集 $U = {1, 2, 3, \dots, 20}$ ，非空集合 $A$ ， $B$ 满足以下条件：
① $A \cup B = U$ ， $A \cap B = \emptyset$ ；

②若 $x \in A$ ， $y \in B$ ，则 $x + y \notin A$ 且 $x y \notin B$

当 $7 \in A$ 时， $1$ $B$ （填 $\in$ 或 $\notin$ ），此时 $B$ 中元素个数为.

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15. 设 $A ， B$ 是 $R$ 的两个子集，对任意 $x \in R$ ，定义： $m = {\begin{matrix} 0 \begin{matrix} ， & x \notin A ， \end{matrix} \\ 1 \begin{matrix} ， & x \in A ， \end{matrix} \end{matrix}$ $n = {\begin{matrix} 0 \begin{matrix} ， & x \notin B ， \end{matrix} \\ 1 \begin{matrix} ， & x \in B \end{matrix} . \end{matrix}$
①若 $A \subseteq B$ ，则对任意 $x \in R$ ， $m (1 - n) =$ ；

②若对任意 $x \in R$ ， $m + n = 1$ ，则 $A ， B$ 的关系为.

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16. 设函数 $y = e^{x} + \frac{1}{e^{x}} - a$ 的值域为 $A$ ，若 $A \subseteq [0, + \infty)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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17. 设A={（x，y）|x²﹣a（2x+y）+4a²=0}，B={（x，y）||y|≥b|x|}，对任意实数a，均有A⊆B成立，则实数b的最大值为．

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18. 设A={x|x²﹣8x+15=0}，B={x|ax﹣1=0}，若A∩B=B，则实数a组成的集合是．

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19. 已知集合 $A = {x | \frac{1 + x}{1 - x} > 0}$ ，集合 $B = {x | | x - a | < 2}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则实数 $a$ 的取值范围是

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20. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 3 x + 2 = 0}$ ， $B = {x ∣ 0 < x < 6 ， x \in N}$ ，则满足条件 $A$ $\subset$ $C \subseteq B$ 的集合 $C$ 的个数为个

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三、解答题

21. 设n为正整数，集合A= ${α | α = (t_{1} ， t_{2} \dots t_{n}) ， t_{k} \in {0 ， 1} ， k = 1 ， 2 ， \dots ， n}$ ，对于集合A中的任意元素 $α =$ ${x_{1} ， x_{2} \dots x_{n}}$ 和 $β$ = ${y_{1} ， y_{2} \dots y_{n}}$ ，记
M（ $α ， β$ ）= $\frac{1}{2}$ [( $x_{1} + y_{1} - | x_{1} - y_{1} |$ )+（ $x_{2} + y_{2} - | x_{2} - y_{2} |$ ）+ +（ $x_{n} + y_{n} - | x_{n} - y_{n} |$ ）]
(Ⅰ)当n=3时，若 $α = (1 ， 1 ， 0)$ ， $β =$ （0，1，1），求M（ $α ， α$ ）和M（ $α ， β$ ）的值；
(Ⅱ)当n=4时，设B是A的子集，且满足；对于B中的任意元素 $α ， β$ ，当a，β相同时，M( $α ， β$ )是奇数；当aβ不同时，M( $α ， β$ )是偶数，求集合B中元素个数的最大值
(Ⅲ)给定不小于2的n ，设B是A的子集，且满足；对于B中的任意两个不同的元素 $α ， β$ ，M( $α ， β$ )=0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由.

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22. 设集合P_n={1，2，…，n}，n∈N^* ．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：
①A⊆P_n；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈ $∁_{P_{n}}$ A，则2x∉ $∁_{P_{n}}$ A．

(1)、求f（4）；

(2)、求f（n）的解析式（用n表示）．

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23. 记U={1，2，…，100}，对数列{a_n}（n∈N^*）和U的子集T，若T=∅，定义S_T=0；若T={t₁ ， t₂ ， …，t_k}，定义S_T= $a_{t_{1}}$ + $a_{t_{2}}$ +…+ $a_{t_{k}}$ ．例如：T={1，3，66}时，S_T=a₁+a₃+a₆₆ ．现设{a_n}（n∈N^*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S_T=30．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S_T＜a_k+1；

(3)、设C⊆U，D⊆U，S_C≥S_D ，求证：S_C+S_C∩D≥2S_D ．

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24. 已知集合 $S_{n} = {1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， 2 n} (n \in N * ， n \geq 4)$ ，对于集合 $S_{n}$ 的非空子集 $A$ ．若 $S_{n}$ 中存在三个互不相同的元素 $a$ ， $b$ ， $c$ ，使得 $a + b$ ， $b + c$ ， $c + a$ 均属于 $A$ ，则称集合 $A$ 是集合 $S_{n}$ 的“期待子集”．

(1)、试判断集合 $A_{1} = {3 ， 4 ， 5}$ ， $A_{2} = {3 ， 5 ， 7}$ 是否为集合 $S_{4}$ 的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）

(2)、如果一个集合中含有三个元素 $x$ ， $y$ ， $z$ ，同时满足① $x < y < z$ ， ② $x + y > z$ ， ③ $x + y + z$ 为偶数．那么称该集合具有性质 $P$ ．对于集合 $S_{n}$ 的非空子集 $A$ ，证明：集合 $A$ 是集合 $S_{n}$ 的“期待子集”的充要条件是集合 $A$ 具有性质 $P$ ；

(3)、若 $S_{n} (n \geq 4)$ 的任意含有 $m$ 个元素的子集都是集合 $S_{n}$ 的“期待子集”，求 $m$ 的最小值．

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25. 设集合 $A = {a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4}}$ ，其中 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4}$ 是正整数，记 $S_{A} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$ ．对于 $a_{i}$ ， $a_{j} \in A (1 \leq i < j \leq 4)$ ，若存在整数k，满足 $k (a_{i} + a_{j}) = S_{A}$ ，则称 $a_{i} + a_{j}$ 整除 $S_{A}$ ，设 $n_{A}$ 是满足 $a_{i} + a_{j}$ 整除 $S_{A}$ 的数对 $(i ， j) (i < j)$ 的个数．

(1)、若 $A = {1 ， 2 ， 4 ， 8}$ ， $B = {1 ， 5 ， 7 ， 11}$ ，写出 $n_{A}$ ， $n_{B}$ 的值；

(2)、求 $n_{A}$ 的最大值；

(3)、设A中最小的元素为a，求使得 $n_{A}$ 取到最大值时的所有集合A．

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26. 设 $A = {x \in R | - 2 \leq x \leq a}$ ， $B = {y | y = 2 x + 3 ， x \in A}$ ，
$C = {z | z = x^{2} ， x \in A}$ ，求使 $C \subseteq B$ 的充要条件．

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27. 定义：函数 $m (x)$ ， $n (x)$ 的定义域的交集为 $D$ ， $A \subseteq D$ ，若对任意的 $x_{0} \in A$ ，都存在 $x_{1} ， x_{2} \in D$ ，使得 $x_{1}$ ， $x_{0}$ ， $x_{2}$ 成等比数列， $m (x_{1})$ ， $n (x_{0})$ ， $m (x_{2})$ 成等差数列，那么我们称 $m (x)$ ， $n (x)$ 为一对“ $K$ 函数”，已知函数 $f (x) = \sqrt{x} - \frac{a}{4} \ln \frac{x}{a}$ ， $g (x) = a x$ ， $a > 0$ ．
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）求证： $f (x) \geq \frac{a}{4} (4 - \sqrt{a})$ ；

（Ⅲ）若 $A = [1 ， + \infty)$ ，对任意的 $a \in S$ ， $f (x)$ ， $g (x)$ 为一对“ $K$ 函数”，求证： $S \subseteq [1 ， e^{4})$ ．（ $e$ 为自然对数的底数）

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28. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + a x + 4$ ， $g (x) = | x + 1 | + | x - 1 |$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq g (x)$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) \geq g (x)$ 的解集包含[–1，1]，求 $a$ 的取值范围．

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29. 对于由有限个自然数组成的集合A，定义集合S（A）={a+b|a∈A，b∈A}，记集合S（A）的元素个数为d（S（A））．定义变换T，变换T将集合A变换为集合T（A）=A∪S（A）．

(1)、若A={0，1，2}，求S（A），T（A）；

(2)、若集合A有n个元素，证明：“d（S（A））=2n-1”的充要条件是“集合A中的所有元素能组成公差不为0的等差数列”；

(3)、若A⊆{1，2，3，4，5，6，7，8}且{1，2，3，…，25，26}⊆T（T（A）），求元素个数最少的集合A．

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30. 已知函数 $f (x) = x ln x - ln x$ ， $g (x) = x - k$ .
（Ⅰ）令 $h (x) = f (x) - g (x)$

①当 $k = 1$ 时，求函数 $h (x)$ 在点 $(1 ， h (1))$ 处的切线方程；

②若 $x \in A = {x | x 〉 1}$ 时， $h (x) ⩾ 0$ 恒成立，求 $k$ 的所有取值集合与 $A$ 的关系；

（Ⅱ）记 $w (x) = (f (x) - \frac{k}{x}) (g (x) - \frac{k}{2 x})$ ，是否存在 $m \in N_{+}$ ，使得对任意的实数 $k \in (m ， + \infty)$ ，函数 $w (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数 $m$ ，若不存在，请说明理由.

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