【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：子集与真子集

试卷更新日期：2023-08-14 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 设集合 $A = {0 ， - a} ， B = {1 ， a - 2 ， 2 a - 2}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、1 C、 $\frac{2}{3}$ D、-1

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2. 已知集合 $A$ 满足 $A$ $\begin{matrix} \subset \\ \neq \end{matrix}$ ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，则 $A$ 可以是（）

A、 $\emptyset$ B、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$ C、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$

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3. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则含有元素0的A的子集个数是（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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4. 已集合 $A = {x ∣ a x + 3 = 0} ， B = {x ∣ x^{2} = 9}$ ，若 $A ⊆ B$ ，则实数a的取值集合是（）

A、 ${1}$ B、 ${- 1 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${0 ， 1}$

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5. 集合 ${1 ， 2 ， 3}$ 的非空真子集共有（）

A、5个 B、6个 C、7个 D、8个

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6. 若集合 $A = {x | | x - 2 | < 1}$ ， $B = {x | (x - 1) (x - 4) \geq 0}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A ∩ B = \emptyset$ B、 $A ∪ B = R$ C、 $A \subseteq B$ D、 $∁_{R} B \subseteq A$

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7. 已知集合 $A = {(x ， y) ∣ x - y + 1 = 0} ， B = {(x ， y) ∣ x^{2} + y^{2} = 1}$ ，则集合 $A ∩ B$ 的子集个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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8. 若集合 $A = {x \in Z | l n (x - 2) \leq 1}$ ，则集合 $A$ 的子集个数为（）

A、3 B、4 C、7 D、8

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9. 设集合 $P = {x | 0 < l o g_{2} x < 1}$ ， $Q = {x | x \leq 2}$ ，则（）

A、 $P ∩ Q = \emptyset$ B、 $P \cup Q = R$ C、 $P \subseteq Q$ D、 $Q \subseteq P$

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0)$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(\frac{2 π}{3} ， \frac{5 π}{6})$ 上单调递减，则下列结论正确的有（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $\frac{π}{3}$ B、若 $f (\frac{2 π}{3}) + f (\frac{5 π}{6}) = 0$ ，则 $f (\frac{3 π}{4}) = 0$ C、若 $f (x + \frac{π}{3})$ 的图象与 $f (x)$ 的图象重合，则满足条件的 $ω$ 有且仅有1个 D、若 $φ = - \frac{π}{6}$ ，则 $ω$ 的取值范围是 $[1 ， 2] \cup [4 ， \frac{22}{5}]$

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二、填空题

11. 集合{﹣1，0，1}共有个子集．

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12. 已知集合 $A = {x \in R | a x^{2} + 2 a x + 3 = 0}$ 只有 $2$ 个子集，则实数 $a =$ ．

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13. 已知集合 $A = {(x ， y) | x ， y \in N_{+} ， y > x} ， B = {(x ， y) | x + y = 7}$ ，则 $A \cap B$ 的子集个数为．

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14. 设函数 $f (x) = x + 1$ ， $g (x) = x^{2} - x + 2 a$ ，若对 $\forall x_{1} \in [- 2 ， 0]$ ， $\exists x_{2} \in [- 1 ， 1]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则 $a$ 的取值范围为.

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15. 集合 $A = {x \in Z | 2 \leq x < 5}$ 的真子集的个数是．

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16. 已知集合 $P = {0 ， 1 ， 2} ， Q = {x ∣ x > 0}$ ，则 $P ∩ Q$ 的子集的个数为.

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17. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，则A的真子集个数为．

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18. 满足 ${1 ， 2} \subseteq M \subseteq {1 ， 2 ， 3 ， 5}$ 的集合 $M$ 的个数为．

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19. 集合 $A = {(x ， y) | y = 1 - x}$ ， $B = {(x ， y) | x^{2} + y^{2} = 1}$ ，则集合 $A \cap B$ 的子集个数为．

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20. 已知集合 $A = {x | x^{3} - 2 x^{2} + a x = 0}$ 恰有8个子集，则a的取值范围是．

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三、解答题

21. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x + 2 = 0}$ ，集合 $B = {x | m x - 1 = 0}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $B ⊆ A$ ，求实数 $m$ 的取值集合.

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22. 设 $A = {x | x^{2} - 3 x + 2 = 0} ， B = {x | x^{2} - a x + 2 = 0}$ ， $B ⊆ A$ ．

(1)、写出集合A的所有子集；

(2)、若B为非空集合，求a的值．

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23. 设集合 $A = {x | - 1 \leq x + 1 \leq 6} ， B = {x | m - 1 < x < m + 1}$ .

(1)、当 $x \in Z$ 时，求 $A$ 的非空真子集的个数；

(2)、若 $B ⊆ A$ ，求 $m$ 的取值范围.

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24. 判断题。

(1)、空集中只有元素 $0$ ，而无其余元素.

(2)、任何一个集合都有子集.

(3)、若 $A = B$ ，则 $A ⊆ B$ .

(4)、空集是任何集合的真子集.

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25. 对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为 $T_{A} = M - m$ ，若集合A中只有一个元素，则 $T_{A} = 0$ .

(1)、若 $A = {2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，求 $T_{A}$ ；

(2)、若 $A = {1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， 9} ， A_{i} = {a_{i} ， b_{i} ， c_{i}} \subseteq A ， A_{i} ∩ A_{j} = \emptyset (i ， j = 1 ， 2 ， 3 ， i \neq j)$ ， $A_{1} ∪ A_{2} ∪ A_{3} = A$ ，求 $T_{A_{1}} + T_{A_{2}} + T_{A_{3}}$ 的最大值，并写出取最大值时的一组 $A_{1} ， A_{2} ， A_{3}$ ；

(3)、若集合 $N^{*}$ 的非空真子集 $A_{1} ， A_{2} ， A_{3} ， ⋯ ， A_{n}$ 两两元素个数均不相同，且 $T_{A_{1}} + T_{A_{2}} + T_{A_{3}} + ⋯ + T_{A_{n}} = 55$ ，求n的最大值.

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26. 设 $A$ 是函数 $y = f (x)$ 定义域内的一个子集，若存在 $x_{0} \in A$ ，使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ 成立，则称 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的一个“不动点”，也称 $f (x)$ 在区间 $A$ 上存在不动点，例如 $g (x) = 2 x - 1$ 的“不动点”满足 $g (x_{0}) = 2 x_{0} - 1 = x_{0}$ ，即 $g (x)$ 的“不动点”是 $x_{0} = 1$ .设函数 $f (x) = l o g_{2} (4^{x} + a \cdot 2^{x - 1} - 6)$ ， $x \in [1 ， 2]$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求函数 $f (x)$ 的不动点；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上不存在不动点，求实数 $a$ 的取值范围.

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27. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < 3}$ ， $B = {x | x < m - 1$ 或 $x \geq m + 1}$ .

(1)、当 $m = 0$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $x ∈ A$ 是 $x ∈ B$ 的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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28. 设全集 $U = {1 ， 2 ， ⋯ ， n} (n \in N^{*})$ ，集合A是U的真子集．设正整数 $t \leq n$ ，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的 $R (t)$ 子集：
① $t \in A$ ；
② $\forall a \in A ， \forall b \in ∁_{U} A$ ，若 $a b \in U$ ，则 $a b \in A$ ；
③ $\forall a \in A ， \forall b \in ∁_{U} A$ ，若 $a + b \in U$ ，则 $a + b \notin A$ ．

(1)、当 $n = 6$ 时，判断 $A = {1 ， 3 ， 6}$ 是否为U的 $R (3)$ 子集，说明理由；

(2)、当 $n \geq 7$ 时，若A为U的 $R (7)$ 子集，求证： $2 \notin A$ ；

(3)、当 $n = 23$ 时，若A为U的 $R (7)$ 子集，求集合A．

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29. 已知集合 $A$ 是集合 $N^{*}$ 的子集，对于 $i \in N^{*}$ ，定义 $f_{i} (A) = {\begin{array}{l} 1 ， i \in A \\ 0 ， i \notin A \end{array}$ ．任取 $N^{*}$ 的两个不同子集 $A$ ， $B$ ，对任意 $i \in N^{*}$ ．

(1)、判断 $f_{i} (A \cup B) = f_{i} (A) + f_{i} (B)$ 是否正确？并说明理由；

(2)、证明： $f_{i} (A \cap B) = f_{i} (A) \cdot f_{i} (B)$ ．

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30. 已知非空集合 $P = {x | a + 1 \leq x \leq 2 a + 1}$ ， $Q = {x | - 2 \leq x \leq 5}$ ．

(1)、若 $a = 3$ ，求 $(∁_{R} P) \cap Q$ ；

(2)、若“ $x \in P$ ”是“ $x \in Q$ ”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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