【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：集合的表示法

试卷更新日期：2023-08-14 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 下列集合的表示方法中，不同于其他三个的是（）

A、 ${x | x = 2018}$ B、 ${2018}$ C、 ${x = 2018}$ D、 ${y | (y - 2018)^{2} = 0}$

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2. 下列与集合 ${2023 ， 1}$ 表示同一集合的是（）

A、 $(2023 ， 1)$ B、 ${(x ， y) ∣ x = 2023 ， y = 1}$ C、 ${x ∣ x^{2} - 2024 x + 2023 = 0}$ D、 ${x = 2023 ， y = 1}$

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3. 集合 $A = {x \in N^{*} | \frac{6}{3 - x} \in Z}$ ，用列举法可以表示为（）

A、 ${1 ， 2 ， 4 ， 9}$ B、 ${1 ， 2 ， 4 ， 5 ， 6 ， 9}$ C、 ${- 6 ， - 3 ， - 2 ， - 1 ， 3 ， 6}$ D、 ${- 6 ， - 3 ， - 2 ， - 1 ， 2 ， 3 ， 6}$

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4. 下列各组集合不表示同一集合的是（）

A、 $M = {(3 ， 2)} ， N = {(2 ， 3)}$ B、 $M = {(x ， y) | x + y = 1} ， N = {y | x + y = 1}$ C、 $M = {4 ， 5} ， N = {5 ， 4}$ D、 $M = {1 ， 2} ， N = {(1 ， 2)}$

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5. 方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{array}$ 的解集以下表示正确的为（）

A、 ${(x ， y) | {\begin{array}{l} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{array}}$ B、 ${(x ， y) | {\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1 \end{array}}$ C、 $(1 ， 2)$ D、 ${(1 ， 2)}$

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6. 集合 $A = {\frac{6}{3 - x} \in Z | x \in N^{*}}$ ，用列举法可以表示为（）

A、 ${3 ， 6}$ B、 ${1 ， 2 ， 4 ， 5 ， 6 ， 9}$ C、 ${- 6 ， - 3 ， - 2 ， - 1 ， 3 ， 6}$ D、 ${- 6 ， - 3 ， - 2 ， - 1 ， 2 ， 3 ， 6}$

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7. 设集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $B = {x | x^{2} \in A}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${1 ， 4}$ D、0

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8. 在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合是（）

A、 ${x | x \leq - 3$ 或 $x ≥ 3}$ B、 ${x | - 3 \leq x \leq 3}$ C、 ${x | x \leq - 3}$ D、 ${x | x \geq 3}$

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9. 方程组 ${\begin{cases} x + y = 0 \\ x^{2} - 4 = 0 \end{cases}$ 的解组成的集合为（）

A、 ${\begin{cases} x = 2 \\ y = - 2 \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} x = 2 \\ y = - 2 \end{cases}$ 或 ${\begin{cases} x = - 2 \\ y = 2 \end{cases}$ C、 $(2 ， - 2)$ ， $(- 2 ， 2)$ D、 ${(2 ， - 2) ， (- 2 ， 2)}$

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10. 已知集合 $A = {1 ， 2}$ ， $B = {2 ， 4}$ ， $C = {z | z = x^{y} ， x \in A ， y \in B}$ ，则C中元素的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

11. 用列举法表示集合 $A = {x | \frac{3}{5 - x} \in Z ， x \in N}$ ， $A =$ ．

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12. 用列举法表示 ${\frac{6}{a - 1} \in N ∣ a \in N} =$ ．

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13. 已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝.

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14. 集合 ${x \in N | x - 3 < 2}$ ，用列举法表示是.

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15. 若 $x \in A$ ，则 $\frac{1}{x} \in A$ ，就称 $A$ 是伙伴关系集合，集合 $M = {- 1 ， 0 ， \frac{1}{3} ， \frac{1}{2} ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ 的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为.

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16. 用列举法表示由满足不等式 $- 3 < 2 x - 1 < 3$ 的整数构成的集合为.

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17. 已知 $- 2 < a < 3$ ， $1 < b < 4$ ，令 $x = a - 2 b$ ，则 x 的取值范围（结果用集合表示）.

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18. 定义两种新运算“ $\oplus$ ”与“ $\otimes$ ”，满足如下运算法则：对任意的 $a ， b \in R$ ，有 $a \oplus b = a b + a ， a \otimes b = a b - b$ .若 $A = {x ∣ x = 2 (a \oplus b) + a \otimes b ， - 1 < a < b < 3$ 且 $a \in Z ， b \in Z}$ ，则用列举法表示的 $A =$ .

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19. 向量集合 $S = {\overset{⇀}{a} | \overset{⇀}{a} = (x ， y) ， x ， y \in R}$ ，对于任意 $\vec{a}$ ， $\vec{b} \in S$ ，以及任意 $λ \in [0 ， 1]$ ，都有 $λ \vec{a} + (1 - λ) \vec{b} \in S$ ，则称集合 $S$ 是“凸集”，现有四个命题：
①集合 $M = {\overset{⇀}{a} | \overset{⇀}{a} = (x ， y) ， y \geq x^{2}}$ 是“凸集”；
② 若 $S$ 为“凸集”，则集合 $N = {2 \overset{⇀}{a} | \overset{⇀}{a} \in S}$ 也是“凸集”；
③若 $A_{1} ， A_{2}$ 都是“凸集”，则 $A_{1} \cup A_{2}$ 也是“凸集”；
④若 $A_{1} ， A_{2}$ 都是“凸集”，且交集非空，则 $A_{1} \cap A_{2}$ 也是“凸集”．
其中，所有正确的命题的序号是．

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20. 在1872年，“戴金德分割”结束了持续2000多年的数学史上的第一次危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集Q划分为两个非空子集A与B ，且满足 $A \cup B = Q$ ， $A \cap B = \emptyset$ ，A中的每一个元素都小于B中的每一个元素，则称这样的A与B为戴金德分割，请给出一组满足A无最大值且B无最小值的戴金德分割．

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三、解答题

21. 用描述法表示下列集合：

(1)、比1大又比10小的实数组成的集合；

(2)、平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；

(3)、被3除余数等于1的正整数组成的集合．

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22. 用列举法表示下列集合：

(1)、满足 $1 \leq x < 8 ， x \in N$ 的x值组成的集合；

(2)、方程x²＋x＋1＝0的根组成的集合；

(3)、不大于15的正奇数组成的集合；

(4)、不大于10的正偶数组成的集合．

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23. 用列举法表示下列集合：

(1)、{x|x是14的正约数}；

(2)、{(x，y)|x∈{1，2}，y∈{1，2}}；

(3)、{(x，y)|x＋y＝2，x－2y＝4}；

(4)、{x|x＝(－1)n，n∈N}；

(5)、{(x，y)|3x＋2y＝16，x∈N，y∈N}.

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24. 用描述法表示下列集合，并思考能否用列举法表示该集合

(1)、所有能被3整除的自然数

(2)、不等式 $x ² + 2 x - 3 < 0$ 的解集

(3)、 $x ² + 2 x - 3 = 0$ 的解集

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25. 已知 ${a_{n}}$ 是公差为3的等差数列， ${b_{n}}$ 是公比为2的等比数列，且 $a_{2} - b_{2} = a_{3} - b_{3} + 1 = \frac{b_{4} - a_{4}}{5}$ .

(1)、求 $a_{1}$ ， $b_{1}$ ；

(2)、设 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，将集合 $T = {m | \frac{S_{m}}{m} = b_{n} ， 1 \leq n \leq 6}$ 用列举法表示出来.

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26. 用描述法表示下列集合：

(1)、所有被3整除的整数组成的集合；

(2)、不等式 $2 x - 3 > 5$ 的解集；

(3)、方程 $x^{2} + x + 1 = 0$ 的所有实数解组成的集合；

(4)、抛物线 $y = - x^{2} + 3 x - 6$ 上所有点组成的集合；

(5)、集合 ${1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9}$ .

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27. 已知有限数列 ${a_{n}}$ 共M项 $(M \geq 4)$ ，其任意连续三项均为某等腰三角形的三边长，且这些等腰三角形两两均不全等.将数列 ${a_{n}}$ 的各项和记为 $S$ ．

(1)、若 $a_{n} \in {1 ， 2} (n = 1 ， 2 ， ⋯ ， M)$ ，直接写出 $M ， S$ 的值；

(2)、若 $a_{n} \in {1 ， 2 ， 3} (n = 1 ， 2 ， ⋯ ， M)$ ，求 $M$ 的最大值；

(3)、若 $a_{n} \in N^{*} (n = 1 ， 2 ， ⋯ ， M) ， M = 16$ ，求 $S$ 的最小值

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28. 已知数集 $A = {a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， ⋯ ， a_{n}} (1 = a_{1} < a_{2} < ⋯ < a_{n} ， n \geq 2)$ 具有性质P：对任意的 $k (2 \leq k \leq n) ， \exists i ， j (1 \leq i \leq j \leq n)$ ，使得 $a_{k} = a_{i} + a_{j}$ 成立.

(1)、分别判断数集 ${1 ， 3 ， 5}$ 与 ${1 ， 2 ， 3 ， 6}$ 是否具有性质P，并说明理由；

(2)、已知 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n} (n \in N^{*})$ ，求证： $2 a_{n} - 1 \leq S_{n}$ ；

(3)、若 $a_{n} = 36$ ，求数集A中所有元素的和的最小值.

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29. 设集合 $M = {x \in R | f (x) = x}$ ， $N = {x \in R | f (f (x)) = x}$ ．

(1)、若 $f (x) = x^{2} - 1$ ，求集合 $M$ 和 $N$ （用列举法表示）；

(2)、求证： $M \subseteq N$ ；

(3)、若 $f (x) = x^{2} - 2 x + c$ ，且 $M = N$ ，求实数 $c$ 的取值范围．

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30. 已知集合 $A = {x \in N | - 1 < x < 3}$ ， $B = {x \in Z | - 3 < x < 4}$ ，设全集 $U = {x \in Z | - 3 \leq x \leq 4}$ .

(1)、用列举法表示集合A集合B；

(2)、求 $A \cup (∁_{U} B)$ ， $A \cap B$ .

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