【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：集合的确定性、互异性、无序性

试卷更新日期：2023-08-14 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（　　）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 下列各组对象不能构成集合的是（）

A、所有直角三角形 B、抛物线 $y = x^{2}$ 上的所有点 C、某中学高一年级开设的所有课程 D、充分接近 $\sqrt{3}$ 的所有实数

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3. 下列对象能构成集合的是（）

A、2016年央视春节联欢晚会上的所有好看的节目 B、我国从1991~2016年发射的所有人造卫星 C、2015年夏季世界大学生运动会中的高个子女运动员 D、5，4，4，7

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4. 由实数x，-x，|x|，- $\sqrt{x^{2}}$ ， $\sqrt[3]{x^{3}}$ 所组成的集合，最多含元素个数为(　　)

A、2 B、3 C、4 D、5

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5. 若集合 $A = {x \in N_{+} | x$ 是 $2 n$ 与 $3 n$ 的公倍数， $n \in N_{+}}$ ， $B = {x | x = 6 n$ ，且 $n \in N_{+}}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $A \supseteq B$ B、 $A ⊆ B$ C、 $A = B$ D、以上选项均不正确

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6. 下列命题中的真命题是（）

A、 $2 \leq 3$ B、集合 $N$ 中最小的数是1 C、 $x^{2} + 1 = 2 x$ 的解集可表示为 ${1 ， 1}$ D、 $x^{2} + | y | = 0$

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7. 2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡、探索未来；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”寓意点亮梦想、温暖世界．这两个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M，则M中元素的个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 下列各组对象不能构成集合的是（）

A、1~10之间的所有奇数 B、北方学院2022级大学一年级学生 C、滑雪速度较快的人 D、直线 $y = 2 x + 1$ 上的所有的点

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9. 下列说法中，正确的是（）

A、 $\sqrt{2}$ 的近似值的全体构成一个集合 B、自然数集 $N$ 中最小的元素是0 C、在整数集 $Z$ 中，若 $a \in Z$ ，则 $- a \in Z$ D、一个集合中不可以有两个相同的元素

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10. 若a，b，c，d为集合A的4个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是（）

A、菱形 B、平行四边形 C、梯形 D、正方形

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二、填空题

11. 数集 ${1 ， a ， a^{2} - a}$ 中的元素a不能取的值是.

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12. 由下列对象组成的集体属于集合的是(填序号).
①不超过 $10$ 的所有正整数；②高一(6)班中成绩优秀的同学；③中央一套播出的好看的电视剧；④平方后不等于自身的数.

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13. 下列各种对象的全体，可以构成集合的是(用题号填空).①某班比较聪明的学生；②高一数学课本中的难题；③心地善良的人；④身高超过1.70米的某中学高一(1)班学生.

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14. 设集合 $A = {1 ， a}$ ， $B = {1 ， a^{2}}$ ．若 $A = B$ ，则实数a的值为．

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15. 已知 $3 \in {a ， a^{2} - 1 ， 2}$ ，则a的所有可能取值为．

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16. 设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2两个元素，Q中含有1，6两个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中 $a \in P$ ， $b \in Q$ ，则 $P + Q$ 中元素的个数是．

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17. 已知 $3 \in {1 ， a ， a - 2}$ 则实数 $a$ 的值为

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18. 设三元集合 ${a ， \frac{b}{a} ， 1} = {a^{2} ， a + b ， 0}$ ，则 $a^{2022} + b^{2022} =$ .

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19. 若 $- 1 \in {a - 1 ， 2 a + 1 ， a^{2} - 1}$ ，则实数 $a$ 的取值集合是．

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20. 若a∈{1，a²﹣2a+2}，则实数a的值为.

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三、解答题

21. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d \in (0 ， π]$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \sin (a_{n})$ ，集合 $S = {x | x = b_{n} ， n \in N^{*}}$ ．

(1)、若 $a_{1} = 0 ， d = \frac{2 π}{3}$ ，求集合 $S$ ；

(2)、若 $a_{1} = \frac{π}{2}$ ，求 $d$ 使得集合 $S$ 恰好有两个元素；

(3)、若集合 $S$ 恰好有三个元素：b_n+T=b_n ，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值．

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22. 设集合 $A$ 为非空实数集，集合 $B = {x y | x ， y \in A ，且 x \neq y}$ ，称集合 $B$ 为集合 $A$ 的积集.

(1)、当 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ 时，写出集合 $A$ 的积集 $B$ ；

(2)、若 $A$ 是由5个正实数构成的集合，求其积集 $B$ 中元素个数的最小值；

(3)、判断是否存在4个正实数构成的集合 $A$ ，使其积集 $B = {2 ， 4 ， 5 ， 8 ， 10 ， 16}$ ，并说明理由.

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23. 在① $A \cup B = B$ ；②“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件；③ $A \cap B = \emptyset$ 这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合 $A = {x | 2 a - 1 < x \leq a + 1}$ ， $B = {x | - 1 \leq x \leq 3}$ ．

(1)、当 $a = - \frac{1}{2}$ 时，求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 ▲ ，求实数a的取值范围．

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24. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， a^{2}}$ ， $B = {1 ， 2 - a}$ .

(1)、若集合 $A \cup B$ 中有4个元素，求实数 $a$ 不可以取的值的集合；

(2)、是否存在实数 $a$ ，使 $B \subseteq A$ ，若存在，求出实数 $a$ 的值；若不存在，说明理由.

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25. 由实数组成的集合A具有如下性质：若 $a \in A$ ， $b \in A$ 且 $a < b$ ，那么 $1 + \frac{a}{b} \in A$ ．

(1)、若集合A恰有两个元素，且有一个元素为 $\frac{4}{3}$ ，求集合A；

(2)、是否存在一个含有元素0的三元素集合A；若存在请求出集合，若不存在，请说明理由．

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26.

(1)、设 $A = {2 ， a^{2} - 2 a ， 6}$ ， $B = {2 ， 2 a^{2} ， 3 a - 6}$ ，若 $A \cap B = {2 ， 3}$ ，求 $A \cup B$ .

(2)、已知 $A = {x | 2 \leq x \leq 6}$ ， $B = {x | 2 a \leq x \leq a + 3}$ ，若 $B \subseteq A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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27. 已知集合 $A = {- 3 ， 2 a - 1 ， a^{2}}$ ， $B = {a - 4 ， 2 - a ， 9}$ ．
（Ⅰ）若 $- 3 \in A \cap B$ ，求实数a的值．

（Ⅱ）是否存在实数a使得 $A \cap B = {9}$ ？请说明理由．

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28. 已知 $α$ ： $4 x + p < 0$ ， $p ， x \in R$ .

(1)、设 $- p \in {x | x$ 满足 $α$ $}$ ，求满足条件的最小整数 $p$ ；

(2)、若 $α$ 是“ $x^{2} - x - 2 > 0$ ”的充分条件，求实数 $p$ 的取值范围.

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29. 已知集合 $A = {x ， - 2 ， 3} ， B = {1 - x ， 3}$ .

(1)、若 $x = 0$ ，写出 $A$ 的所有子集；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求 $A ∪ B$ .

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30. 给定无穷数列 ${a_{n}}$ ，若无穷数列{b_n}满足：对任意 $n \in N *$ ，都有 $| b_{n} - a_{n} | \leq 1$ ，则称 ${b_{n}} 与 {a_{n}}$ “接近”。

(1)、设 ${a_{n}}$ 是首项为1，公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列， $b_{n} = a_{n + 1} + 1$ ， $n \in N *$ ，判断数列 ${b_{n}}$ 是否与 ${a_{n}}$ 接近，并说明理由；

(2)、设数列 ${a_{n}}$ 的前四项为： $a_{1}$ =1， $a_{2}$ =2， $a_{3}$ =4， $a_{4}$ =8，{b_n}是一个与 ${a_{n}}$ 接近的数列，记集合M={x|x=b_i ， i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；

(3)、已知 ${a_{n}}$ 是公差为d的等差数列，若存在数列{b_n}满足：{b_n}与 ${a_{n}}$ 接近，且在b₂-b₁，b₃-b₂，…b₂₀₁-b₂₀₀中至少有100个为正数，求d的取值范围。

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