【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：元素与集合关系的判断

试卷更新日期：2023-08-14 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、选择题

1. 已知 $P = {1 ， 2} ， Q = {2 ， 3}$ ，若 $M = {x ∣ x \in P$ 且 $x \notin Q}$ ，则 $M =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${2}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

查看试题解析
2. 设全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，集合M满足 $∁_{U} M = {1 ， 3}$ ，则（）

A、 $2 \in M$ B、 $3 \in M$ C、 $4 \notin M$ D、 $5 \notin M$

查看试题解析
3. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 7 ， 11}$ ， $B = {x | 3 < x < 15}$ ，则A∩B中元素的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

查看试题解析
4. 已知集合 $A = {(x, y) | x, y \in N^{*}, y \geq x}$ ， $B = {(x, y) | x + y = 8}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

查看试题解析
5. 设集合S，T，S⊆N*，T⊆N*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②对于任意x，y∈T，若x＜y，则 $\frac{y}{x}$ ∈S；下列命题正确的是（）

A、若S有4个元素，则S∪T有7个元素 B、若S有4个元素，则S∪T有6个元素 C、若S有3个元素，则S∪T有4个元素 D、若S有3个元素，则S∪T有5个元素

查看试题解析
6. 设集合 $A = {- 1 ， 1 ， 2}$ ，集合 $B = {x | x \in A$ 且 $2 - x \notin A}$ ，则 $B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${2}$ C、 ${- 1 ， 2}$ D、 ${1 ， 2}$

查看试题解析
7. 已知 $P = {1 ， 2}$ ， $Q = {2 ， 3}$ ，若 $M = {x | x \in P$ 且 $x \notin Q}$ ，则 $M =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${2}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

查看试题解析
8. 若集合 $M = {0 ， 1 ， 2} ， N = {(x ， y) ∣ x ， y \in M}$ ，则N中元素的个数为（）

A、3 B、6 C、9 D、10

查看试题解析
9. 设集合 $A = {y ∣ y = x^{2} + 1}$ ，则下列元素属于A的是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $- 1$ C、 $\sqrt{2}$ D、0

查看试题解析
10. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则含有元素0的A的子集个数是（）

A、2 B、4 C、6 D、8

查看试题解析

二、填空题

11. 已知集合 $A = [t ， t + 1] \cup [t + 4 ， t + 9]$ ， $0 \notin A$ ，存在正数 $λ$ ，使得对任意 $a \in A$ ，都有 $\frac{λ}{a} \in A$ ，则 $t$ 的值是．

查看试题解析
12. 已知集合A的所有元素为2，4，6，若 $a \in A$ ，且有 $6 - a \in A$ ，则a的值是.

查看试题解析
13. 给出下列选项，其中正确的有
①∅∈{∅}②∅⊆{∅}
③∅∈{∅}④ $\emptyset$ $\subset$ {∅}

查看试题解析
14. 下面六个关系式：① $\emptyset \subseteq {a}$ ；② $a \subseteq {a}$ ；③ ${a} \subseteq {a}$ ；④ ${a} \in {a ， b}$ ；⑤ $a \in {a ， b ， c}$ ；⑥ $\emptyset \in {a ， b}$ ，其中正确的是．

查看试题解析
15. 已知集合 $A = {x ， x^{2} + 1 ， - 1}$ 中的最大元素为2，则实数 $x =$ .

查看试题解析
16. 设集合 $S ， T ， S \subseteq N^{\cdot} ， T \subseteq N^{\cdot} ， S ， T$ 中，至少有两个元素，且 $S ， T$ 满足：①对于任意 $x ， y \in S$ ，若 $x \neq y$ ，都有 $x y \in T$ ；②对于任意 $x ， y \in T$ ，若 $x < y$ ，则 $\frac{y}{x} \in S$ .若 $S$ 有4个元素，则 $S ∪ T$ 有个元素.

查看试题解析
17. 非空有限数集 $S$ 满足：若 $a$ ， $b \in S$ ，则必有 $a^{2}$ ， $b^{2}$ ， $a b \in S$ ．则满足条件且含有两个元素的数集 $S =$ ．（写出一个即可）

查看试题解析
18. 用 $C a r d (A)$ 表示非空集合A中的元素个数，定义 $A ⊙ B = {\begin{array}{l} C a r d (A) - C a r d (B) ， C a r d (A) \geq C a r d (B) \\ C a r d (B) - C a r d (A) ， C a r d (A) < C a r d (B) \end{array}$ ，若 $A = {2 ， 3}$ ， $B = {x | (x^{2} + m x) (x^{2} + m x + 1) = 0}$ ，且 $A ⊙ B = 1$ ，若B中元素取最少个数时m=.若B中元素取最多个数时，请写出一个符合条件的集合B=.

查看试题解析
19. 已知 $- 3 \in {12 ， a^{2} + 4 a ， a}$ ，则实数 $a =$ .

查看试题解析
20. 已知全集 $U = {2 ， 3 ， a^{2} + 2 a + 2}$ ，集合 $A = {2 ， 3}$ ， $∁_{U} A = {5}$ ，则实数a的值为．

查看试题解析

三、解答题

21. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d \in (0 ， π]$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \sin (a_{n})$ ，集合 $S = {x | x = b_{n} ， n \in N^{*}}$ ．

(1)、若 $a_{1} = 0 ， d = \frac{2 π}{3}$ ，求集合 $S$ ；

(2)、若 $a_{1} = \frac{π}{2}$ ，求 $d$ 使得集合 $S$ 恰好有两个元素；

(3)、若集合 $S$ 恰好有三个元素：b_n+T=b_n ，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值．

查看试题解析
22. 设n为正整数，集合A= ${α | α = (t_{1} ， t_{2} \dots t_{n}) ， t_{k} \in {0 ， 1} ， k = 1 ， 2 ， \dots ， n}$ ，对于集合A中的任意元素 $α =$ ${x_{1} ， x_{2} \dots x_{n}}$ 和 $β$ = ${y_{1} ， y_{2} \dots y_{n}}$ ，记
M（ $α ， β$ ）= $\frac{1}{2}$ [( $x_{1} + y_{1} - | x_{1} - y_{1} |$ )+（ $x_{2} + y_{2} - | x_{2} - y_{2} |$ ）+ +（ $x_{n} + y_{n} - | x_{n} - y_{n} |$ ）]
(Ⅰ)当n=3时，若 $α = (1 ， 1 ， 0)$ ， $β =$ （0，1，1），求M（ $α ， α$ ）和M（ $α ， β$ ）的值；
(Ⅱ)当n=4时，设B是A的子集，且满足；对于B中的任意元素 $α ， β$ ，当a，β相同时，M( $α ， β$ )是奇数；当aβ不同时，M( $α ， β$ )是偶数，求集合B中元素个数的最大值
(Ⅲ)给定不小于2的n ，设B是A的子集，且满足；对于B中的任意两个不同的元素 $α ， β$ ，M( $α ， β$ )=0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由.

查看试题解析
23. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ， $B = {x | 2 x - 5 \geq x - 3}$

(1)、求 $A \cap B$ ， $A \cup B$ ．

(2)、若集合 $C = {x | 2 x + a > 0}$ ，满足 $B ∪ C = C$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

查看试题解析
24. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} \in N^{*} ， a_{1} \leq 24$ ，且 $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} 2 a_{n} ， a_{n} \leq 12 ， \\ 2 a_{n} - 24 ， a_{n} > 12 \end{array} (n = 1 ， 2 ， ⋯)$ .记集合 $M = {a_{n} ∣ n \in N^{*}}$ .

(1)、若 $a_{1} = 2$ ，写出集合 $M$ 的所有元素；

(2)、若集合 $M$ 存在一个元素是3的倍数，证明： $M$ 的所有元素都是3的倍数；

(3)、求集合 $M$ 的元素个数的最大值.

查看试题解析
25. 设全集 $U = {1 ， 2 ， ⋯ ， n} (n \in N^{*})$ ，集合A是U的真子集．设正整数 $t \leq n$ ，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的 $R (t)$ 子集：
① $t \in A$ ；
② $\forall a \in A ， \forall b \in ∁_{U} A$ ，若 $a b \in U$ ，则 $a b \in A$ ；
③ $\forall a \in A ， \forall b \in ∁_{U} A$ ，若 $a + b \in U$ ，则 $a + b \notin A$ ．

(1)、当 $n = 6$ 时，判断 $A = {1 ， 3 ， 6}$ 是否为U的 $R (3)$ 子集，说明理由；

(2)、当 $n \geq 7$ 时，若A为U的 $R (7)$ 子集，求证： $2 \notin A$ ；

(3)、当 $n = 23$ 时，若A为U的 $R (7)$ 子集，求集合A．

查看试题解析
26. 对非空数集 $X ， Y$ 定义 $X$ 与 $Y$ 的和集 $X + Y = {x + y | x \in X ， y \in Y}$ ．对任意有限集A，记 $| A |$ 为集合A中元素的个数．

(1)、若集合 $X = {0 ， 1 ， 2}$ ， $Y = {1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9}$ ，写出集合 $X + X$ 与 $X + Y$ ；

(2)、若集合 $X = {x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{1012}}$ 满足 $x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{1012}$ ，且 $| X + X | < 2024$ ，求 $| X + X |$ ．

查看试题解析
27. 已知集合 $A$ $N^{*}$ ，规定：集合 $A$ 中元素的个数为 $n$ ，且 $n \geq 2$ ．若 $B = {z | z = x + y ， x \in A ， y \in A ， x \neq y}$ ，则称集合 $B$ 是集合 $A$ 的衍生和集．

(1)、当 $A_{1} = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ， $A_{2} = {1 ， 2 ， 4 ， 7}$ 时，分别写出集合 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 的衍生和集；

(2)、当 $n = 6$ 时，求集合 $A$ 的衍生和集 $B$ 的元素个数的最大值和最小值．

查看试题解析
28. 已知数列 ${a_{n}}$ $(n = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 2022)$ ， $a_{1} ， a_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{2022}$ 为从1到2022互不相同的整数的一个排列，设集合 $A = {x | x = \sum_{j}^{i = 1} a_{n + i} ， n = 0 ， 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 2022 - j}$ ， $A$ 中元素的最大值记为 $M$ ，最小值记为 $N$ .

(1)、若 ${a_{n}}$ 为：1，3，5，…，2019，2021，2022，2020，2018，…，4，2，且 $j = 3$ ，写出 $M$ ， $N$ 的值；

(2)、若 $j = 3$ ，求 $M$ 的最大值及 $N$ 最小值；

(3)、若 $j = 6$ ，求 $M$ 的最小值.

查看试题解析
29. 已知集合S满足：若 $a \in S$ ，则 $\frac{1}{1 - a} \in S$ .请解答下列问题：

(1)、若 $2 \in S$ ，则S中必有另外两个元素，求出这两个元素.

(2)、证明：若 $a \in S$ ，则 $1 - \frac{1}{a} \in S$ .

(3)、在集合S中，元素能否只有一个?若能，把它求出来；若不能，请说明理由.

查看试题解析
30. 集合A中的元素是实数，且满足条件①若 $a \in A$ ，则 $\frac{1}{1 - a} \in A$ ， ② $2 \in A$ ，求：

(1)、A中至少有几个元素？

(2)、若条件②换成 $3 \in A$ ， A中至少含有的元素是什么？

(3)、请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素.

查看试题解析