【备考2024】高考数学（代数版块）细点逐一突破复习专练：集合的含义

试卷更新日期：2023-08-14 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 下列集合的表示方法中，不同于其他三个的是（）

A、 ${x | x = 2018}$ B、 ${2018}$ C、 ${x = 2018}$ D、 ${y | (y - 2018)^{2} = 0}$

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2. 定义集合运算： $A \cdot B = {z | z = x^{2} (y - 1) ， x \in A ， y \in B}$ .设 $A = {- 1 ， 1}$ ， $B = {0 ， 2}$ ，则集合 $A \cdot B$ 中的所有元素之和为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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3. 当一个非空数集 $G$ 满足：如果 $a$ ， $b \in G$ ，则 $a + b$ ， $a - b$ ， $a b \in G$ ，且 $b \neq 0$ 时， $\frac{a}{b} \in G$ 时，我们称 $G$ 就是一个数域.以下关于数域的说法： $① 0$ 是任何数域的元素 $； ②$ 若数域 $G$ 有非零元素，则 $2019 \in G ； ③$ 集合 $P = {x | x = 2 k ， k \in Z}$ 是一个数域． $④$ 有理数集是一个数域.其中正确的选项是（）

A、 $① ② ④$ B、 $② ③ ④$ C、 $① ④$ D、 $① ②$

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4. 已知集合 $A = {x \in Z | x^{2} - 2 x - 8 \leq 0}$ ， $B = {x | x \in A ， - x \notin A}$ ，则 $B =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ B、 ${2 ， 3 ， 4}$ C、 ${3 ， 4}$ D、 ${- 3 ， - 4}$

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5. 下列所给对象能构成集合的是（）

A、2020年全国I卷数学试题的所有难题 B、比较接近2的全体正数 C、未来世界的高科技产品 D、所有整数

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6. 对于集合M，N，定义 $M - N = {x | x \in M$ 且 $x \notin N}$ ，设全集 $U = {x \in Z | - 3 < x < 4}$ ， $M = {- 2 ， 2 ， 3} ， N = {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则（）

A、 $M \cup N = {- 2 ， 0 ， 1 ， 2 ， 2 ， 3 ， 3}$ B、M的非空真子集个数为7 C、 $M - N = {- 2}$ D、 $∁_{U} (N - M) = {- 2 ， - 1 ， 2 ， 3}$

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7. 设集合X是实数集R的子集，如果点 $x_{0} \in R$ 满足：对任意 $a > 0$ ，都存在 $x \in X$ ，使得 $0 < | x - x_{0} | < a$ ，称 $x_{0}$ 为集合X的聚点，则在下列集合中：① ${x | x \in R ， x \neq 0}$ ；② ${x | x \in Z ， x \neq 0}$ ；③ ${x | x = \frac{1}{n} ， n \in N^{*}}$ ；④ ${x | x = \frac{n}{n + 1} ， n \in N^{*}}$ ，以0为聚点的集合有（）个.

A、1 B、2 C、3 D、0

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8. 设集合 $S ， T ， S \subseteq N^{*} ， T \subseteq N^{*} ， S ， T$ 中至少有两个元素，且 $S ， T$ 满足：①对于任意 $x ， y \in S$ ，若 $x \neq y$ ，都有 $x y \in T$ ；②对于任意 $x ， y \in T$ ，若 $x < y$ ，则 $\frac{y}{x} \in S$ ；则集合 $S$ 可以是（）

A、 $S = {1 ， 2 ， 3}$ B、 $S = {1 ， 2 ， 4}$ C、 $S = {1 ， 2 ， 4 ， 8}$ D、 $S = {2 ， 4 ， 8 ， 16}$

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9. 下列各组对象不能构成集合的是（）

A、1~10之间的所有奇数 B、北方学院2022级大学一年级学生 C、滑雪速度较快的人 D、直线 $y = 2 x + 1$ 上的所有的点

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10. 已知 $A = {1 ， 2 ， 3} ， B = {2 ， 4}$ ，定义 $A - B = {x ∣ x \in A$ 且 $x \notin B}$ ，则 $A - B =$ （）

A、 ${1 ， 2 ， 3}$ B、 ${2 ， 4}$ C、 ${1 ， 3}$ D、 ${2}$

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二、填空题

11. 非空有限数集 $S$ 满足：若 $a$ ， $b \in S$ ，则必有 $a^{2}$ ， $b^{2}$ ， $a b \in S$ ．则满足条件且含有两个元素的数集 $S =$ ．（写出一个即可）

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12. 对于函数 $g (x)$ ，若 $g (x) = x$ ，则称 $x$ 为 $g (x)$ 的“不动点”，若 $g (g (x)) = x$ ，则称 $x$ 为 $g (x)$ 的“稳定点”.若函数 $f (x) = x^{2} - x - 3$ ，则 $f (x)$ 的“不动点”为，将 $f (x)$ 的“稳定点”的集合记为 $A$ ，即 $A = {x ∣ f (f (x)) = x}$ ，则集合 $A =$ .

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13. $[x]$ 表示不大于实数x的最大整数，例如 $[7.16] = 7$ ．若 $a ， b$ 均为非零实数， $c$ 为正数，且 $a c + b c = 8$ ， $a b c = 6 + c$ ，则 $[2 c + 1]$ 的取值集合为．

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14. 若 $x \in A$ ，则 $\frac{1}{x} \in A$ ，就称 $A$ 是伙伴关系集合，集合 $M = {- 1 ， 0 ， \frac{1}{3} ， \frac{1}{2} ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ 的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为.

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15. 向量集合 $S = {\overset{⇀}{a} | \overset{⇀}{a} = (x ， y) ， x ， y \in R}$ ，对于任意 $\vec{a}$ ， $\vec{b} \in S$ ，以及任意 $λ \in [0 ， 1]$ ，都有 $λ \vec{a} + (1 - λ) \vec{b} \in S$ ，则称集合 $S$ 是“凸集”，现有四个命题：
①集合 $M = {\overset{⇀}{a} | \overset{⇀}{a} = (x ， y) ， y \geq x^{2}}$ 是“凸集”；
② 若 $S$ 为“凸集”，则集合 $N = {2 \overset{⇀}{a} | \overset{⇀}{a} \in S}$ 也是“凸集”；
③若 $A_{1} ， A_{2}$ 都是“凸集”，则 $A_{1} \cup A_{2}$ 也是“凸集”；
④若 $A_{1} ， A_{2}$ 都是“凸集”，且交集非空，则 $A_{1} \cap A_{2}$ 也是“凸集”．
其中，所有正确的命题的序号是．

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16. 在1872年，“戴金德分割”结束了持续2000多年的数学史上的第一次危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集Q划分为两个非空子集A与B ，且满足 $A \cup B = Q$ ， $A \cap B = \emptyset$ ，A中的每一个元素都小于B中的每一个元素，则称这样的A与B为戴金德分割，请给出一组满足A无最大值且B无最小值的戴金德分割．

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17. 若集合 $U_{n} = {1 ， 2 ， 3 ， \dots ， n}$ ， $n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ， $A ， B \subseteq U_{n}$ ，且满足集合 $A$ 中最大的数大于集合 $B$ 中最大的数，则称有序集合对 $(A ， B)$ 为“兄弟集合对”.当 $n = 3$ 时，这样的“兄弟集合对”有对；当 $n \geq 3$ 时，这样的“兄弟集合对”有对（用含有 $n$ 的表达式作答）.

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18. 已知A ， B是两个集合，定义 $A - B = {x | x \in A ， x \notin B}$ ，若 $A = {x | - 1 < x < 4}$ ， $B = {x | x > 2}$ ，则 $A - B =$ .

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19. 以下是面点师制作兰州拉面的一个数学模型：如图所示，在数轴上截取与闭区间 $[0 ， 4]$ 对应的线段，该线段长度为4个单位．将该线段对折后（坐标4对应的点与原点重合），线段数目翻倍，再将每根线段都均匀地拉成长度为4个单位的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1和3对应的点被拉到坐标2，原来的坐标2对应的点被拉到坐标4，等等）．接下来的每次操作都在上一次操作的基础上进行同样的流程．在第 $n$ 次操作完成后 $(n \geq 1)$ ，原闭区间 $[0 ， 4]$ 上恰好被拉到坐标4的点有若干个，这若干个点在第一次操作之前所对应的坐标形成一个集合，记为 $L_{n}$ ，例如 $L_{1} = {2}$ ．则集合 $L_{3}$ 可以用列举法表示为．

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20. 对于集合 $M ， N$ ，定义 $M - N = {x | x \in M ，且 x \notin N} ， M \oplus N = (M - N) \cup (N - M)$ ，设 $B = {x | x < 0 ， x \in R}$ ， $B = {x | x \geq - \frac{9}{4} ， x \in R}$ ，则 $A \oplus B =$ .

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三、解答题

21. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 \geq 0}$ ， $B = {y | y = x^{2} - 2 x - 3}$ ，

(1)、求A，B；

(2)、 $A \cup B$ ， $A \cap B$ ， $A ∩ (∁_{R} B)$ ．

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22. 设全集 $U = {1 ， 2 ， ⋯ ， n} (n \in N^{*})$ ，集合A是U的真子集．设正整数 $t \leq n$ ，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的 $R (t)$ 子集：
① $t \in A$ ；
② $\forall a \in A ， \forall b \in ∁_{U} A$ ，若 $a b \in U$ ，则 $a b \in A$ ；
③ $\forall a \in A ， \forall b \in ∁_{U} A$ ，若 $a + b \in U$ ，则 $a + b \notin A$ ．

(1)、当 $n = 6$ 时，判断 $A = {1 ， 3 ， 6}$ 是否为U的 $R (3)$ 子集，说明理由；

(2)、当 $n \geq 7$ 时，若A为U的 $R (7)$ 子集，求证： $2 \notin A$ ；

(3)、当 $n = 23$ 时，若A为U的 $R (7)$ 子集，求集合A．

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23. 对非空数集 $X ， Y$ 定义 $X$ 与 $Y$ 的和集 $X + Y = {x + y | x \in X ， y \in Y}$ ．对任意有限集A，记 $| A |$ 为集合A中元素的个数．

(1)、若集合 $X = {0 ， 1 ， 2}$ ， $Y = {1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9}$ ，写出集合 $X + X$ 与 $X + Y$ ；

(2)、若集合 $X = {x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{1012}}$ 满足 $x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{1012}$ ，且 $| X + X | < 2024$ ，求 $| X + X |$ ．

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24. 已知集合 $A$ $N^{*}$ ，规定：集合 $A$ 中元素的个数为 $n$ ，且 $n \geq 2$ ．若 $B = {z | z = x + y ， x \in A ， y \in A ， x \neq y}$ ，则称集合 $B$ 是集合 $A$ 的衍生和集．

(1)、当 $A_{1} = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ， $A_{2} = {1 ， 2 ， 4 ， 7}$ 时，分别写出集合 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 的衍生和集；

(2)、当 $n = 6$ 时，求集合 $A$ 的衍生和集 $B$ 的元素个数的最大值和最小值．

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25. 给定区间 $I$ ，集合 $M$ 是满足下列性质的函数 $f (x)$ 的集合：任意 $x \in I$ ， $f (x + 1) > 2 f (x) .$

(1)、已知 $I = R$ ， $f (x) = 3^{x}$ ，求证： $f (x) \in M$ ；

(2)、已知 $I = (0 ， 1]$ ， $g (x) = l o g_{2} x + a .$ 若 $g (x) \in M$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、已知 $I = [- 1 ， 1]$ ， $h (x) = - x^{2} + a x + a - 5 (a \in R)$ ，讨论函数 $h (x)$ 与集合 $M$ 的关系．

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26. 对于函数 $y = f (x) ， x \in I$ ，若存在 $x_{0} \in I$ ，使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $y = f (x)$ 的 “不动点”；若存在 $x_{0} \in I$ ，使得 $f (f (x_{0})) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $y = f (x)$ 的“稳定点”.记函数 $y = f (x)$ 的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A和B，即 $A = {x | f (x) = x} ，$ $B = {x | f (f (x)) = x} .$

(1)、设函数 $f (x) = 2 x + 1$ ，求A和B；

(2)、请探究集合A和B的关系，并证明你的结论；

(3)、若 $f (x) = a x^{2} + 1 (a \in R ， x \in R)$ ，且 $A = B \neq \emptyset$ ，求实数a的取值范围.

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27. 已知集合 $A = {x \in Z ∣ x^{2} - 2 x - 3 < 0} ， B = {x ∣ 2 m - 1 \leq x < 2}$ ．

(1)、求集合 $A$ ；

(2)、若 $A \cap B = {1}$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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28. 设集合 $A = {x^{2} ， 2 x - 1 ， - 4}$ ， $B = {x - 5$ ， $1 - x$ ， $9}$ ，若 $A \cap B = {9}$ .

(1)、求集合A，B；

(2)、定义集合A、B的一种运算： $A * B = {x | x = x_{1} + x_{2} ，其中 x_{1} \in A ， x_{2} \in B}$ ，求 $A * B$ .

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29. 设 $A$ 是非空实数集，且 $0 \notin A$ .若对于任意的 $x ， y \in A$ ，都有 $x y \in A$ ，则称集合 $A$ 具有性质 $P_{1}$ ；若对于任意的 $x ， y \in A$ ，都有 $\frac{x}{y} \in A$ ，则称集合 $A$ 具有性质 $P_{2}$ .

(1)、写出一个恰含有两个元素且具有性质 $P_{1}$ 的集合 $A$ ；

(2)、若非空实数集 $A$ 具有性质 $P_{2}$ ，求证：集合 $A$ 具有性质 $P_{1}$ ；

(3)、设全集 $U = {x | x \neq 0 ， x \in R}$ ，是否存在具有性质 $P_{1}$ 的非空实数集 $A$ ，使得集合 $∁_{U} A$ 具有性质 $P_{2}$ ？若存在，写出这样的一个集合 $A$ ；若不存在，说明理由.

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30. 已知集合 $M = {\frac{1}{k} | 1 \leq k \leq 100 ，且 k \in N^{*}}$ ， $A = {a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{n}}$ ，其中 $n \in N^{*}$ ，且 $n \geq 2$ ．若 $A \subseteq M$ ，且对集合A中的任意两个元素 $a_{i} ， a_{j} ， i \neq j$ ，都有 $| a_{i} - a_{j} | \geq \frac{1}{30}$ ，则称集合A具有性质P．

(1)、判断集合 ${\frac{1}{3} ， \frac{1}{4} ， \frac{1}{5} ， \frac{1}{6} ， \frac{1}{7}}$ 是否具有性质P；并另外写出一个具有性质P且含5个元素的集合A；

(2)、若集合 $A = {a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{n}}$ 具有性质P．
①求证： $(a_{i} - a_{j})$ 的最大值不小于 $\frac{n - 1}{30}$ ；
②求n的最大值．

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