2023年浙教版数学八年级上册1.5 三角形全等的判定同步测试（培优版）

试卷更新日期：2023-08-13 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，工人师傅做了一个长方形窗框 $A B C D ， E ， F ， G ， H$ 分别是四条边上的中点，为使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不能钉在（）

A、 $E ， H$ 两点之间 B、 $A ， C$ 两点之间 C、 $F ， E$ 两点之间 D、 $E ， G$ 两点之间

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2. 阅读以下作图步骤：
①在 $O A$ 和 $O B$ 上分别截取 $O C ， O D$ ，使 $O C = O D$ ；②分别以 $C ， D$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} C D$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ A O B$ 内交于点 $M$ ；③作射线 $O M$ ，连接 $C M ， D M$ ，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 2$ 且 $C M = D M$ B、 $∠ 1 = ∠ 3$ 且 $C M = D M$ C、 $∠ 1 = ∠ 2$ 且 $O D = D M$ D、 $∠ 2 = ∠ 3$ 且 $O D = D M$

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3. 如图， $△ ABC$ 中， $∠ BAC = 60 °$ ， $∠ ABC < 60 °$ ，三条角平分线 $AD$ 、 $BE$ 、 $CF$ 交于 $O$ ， $OH ⊥ BC$ 于 $H .$ 下列结论： $① ∠ BOC = 120 °$ ； $② ∠ DOH = ∠ OCB - ∠ OBC$ ； $③ OD$ 平分 $∠ BOC$ ； $④ BF + CE = BC .$ 其中正确的结论个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，AE平分∠BAC，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（）

A、7 B、 $\frac{15}{2}$ C、8 D、9

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5. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = 10 ， A C = 6 ， A D 、 A E$ 分别是其角平分线和中线，过点C作 $C F ⊥ A D$ 于F ，连接 $E F$ ，则线段 $E F$ 的长为（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{7}{2}$ D、3

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6. 如图， $△ A B C$ 的角平分线 $B D$ ， $C E$ 交于点 $P$ ， $∠ A = 60 °$ ， $△ A B C$ 的面积为16，四边形 $A E P D$ 的面积为5，则 $△ B P C$ 的面积为（）

A、5 B、5.5 C、6 D、7

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7. 对于直线L和直线L外的一点O，按下列步骤完成了尺规作图：（1）在直线L的另一侧取点M；（2）以O为圆心， $O M$ 为半径作弧与L交于A，B两点；（3）分别以A，B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 为半径作弧，两弧交于点C；（4）过点O和C作直线m．问题：“在直线m上任取一点P（点P不在L上），连接 $P A$ ， $P B$ ，过点A作直线n与直线 $P B$ 垂直，设 $∠ A P B$ 是 $x °$ ，直线n与 $P A$ 所夹的锐角是 $y °$ ，求x与y的数量关系．”下面是三个同学的答案，甲： $x + y = 90$ ，乙： $x - y = 90$ ，丙： $x + y = 180$ ．
对于三人的答案，下列结论正确的是（）

A、只有甲的答案正确 B、甲和乙的答案合在一起才正确 C、甲和丙的答案合在一起才正确 D、甲乙丙的答案合在一起才正确

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8. 如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点 $A ， B ， C ， D ， E$ 均在小正方形方格的顶点上，线段 $A B ， C D$ 交于点 $F$ ，若 $∠ C F B = α$ ，则 $∠ A B E$ 等于（）

A、 $180 ° - α$ B、 $180 ° - 2 α$ C、 $90 ° + α$ D、 $90 ° + 2 α$

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9. 给定三角形的两个元素，画出的三角形的形状和大小都是不能确定的，在下列给定的条件下，再增加一个“ $A B = 5 c m$ ”的条件后，所画出的三角形形状和大小仍不能完全确定的是（）

A、 $∠ A = 30 °$ ， $B C = 3 c m$ B、 $∠ A = 30 °$ ， $A C = 6 c m$ C、 $∠ A = 30 °$ ， $∠ C = 50 °$ D、 $B C = 2 c m$ ， $A C = 6 c m$

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10. 乐乐所在的七年级某班学生到野外活动，为测量池塘两端 $A$ ， $B$ 的距离，乐乐、明明、聪聪三位同学分别设计出如下几种方案：
乐乐：如图 $①$ ，先在平地取一个可直接到达 $A$ ， $B$ 的点 $C$ ，再连接 $A C$ ， $B C$ ，并分别延长 $A C$ 至 $D$ ， $B C$ 至 $E$ ，使 $D C = A C$ ， $E C = B C$ ，最后测出 $D E$ 的长即为 $A$ ， $B$ 的距离．
明明：如图 $②$ ，先过点 $B$ 作 $A B$ 的垂线 $B F$ ，再在 $B F$ 上取 $C$ ， $D$ 两点，使 $B C = C D$ ，接着过点 $D$ 作 $B D$ 的垂线 $D E$ ，交 $A C$ 的延长线于点 $E$ ，则测出 $D E$ 的长即为 $A$ ， $B$ 的距离．
聪聪：如图 $③$ ，过点 $B$ 作 $B D ⊥ A B$ ，再由点 $D$ 观测，在 $A B$ 的延长线上取一点 $C$ ，使 $∠ B D C = ∠ B D A .$ 这时只要测出 $B C$ 的长即为 $A$ ， $B$ 的距离．
以上三位同学所设计的方案中可行的是（）

A、乐乐和明明 B、乐乐和聪聪 C、明明和聪聪 D、三人的方案都可行

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二、填空题（每空4分，共24分）

11. 如图，已知D是△ABC的边BC上一点，且 $C D = A B$ ， $∠ B A D + \frac{1}{2} ∠ B = 90 °$ ， AE是△ABD的中线，若 $A E = \frac{\sqrt{13}}{6}$ ，则 $A C =$ ．

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12. 如图，在锐角 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 °$ ， $B E$ 、 $C D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线．且 $B E$ 、 $C D$ 交于点 $F$ ，连接 $A F$ ．有下列四个结论：① $∠ B F C = 120 °$ ；② $B D = C E$ ；③ $B C = B D + C E$ ；④ $S_{△ F B D} + S_{△ F E C} = S_{△ F B C}$ ．其中结论正确的序号是．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中，点O是 $∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ 的平分线的交点，点D是BC延长线上的点， $∠ O B C$ 和 $∠ O C D$ 的平分线交于点E， $∠ A = α$ ，则 $∠ E$ 的度数为．（用含 $α$ 的式子表示）

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14. 如图，已知 $Δ A B C$ 三内角的角平分线交于点D，三边的垂直平分线交于点E，若 $∠ B D C = 130 °$ ，则 $∠ B E C =$ 度．

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15. 在△ABC中，∠ABC＝62°，∠ACB＝50°，∠ACD是△ABC的外角 ∠ACD和∠ABC的平分线交于点E，则∠AEB＝︒

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16. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $B C = 1$ ，作AC的垂直平分线交AB于点 $B_{1}$ 、交AC于点 $C_{1}$ ，连接 $B_{1} C$ ，得到第一条线段 $B_{1} C$ ；作 $A C_{1}$ 的垂直平分线交AB于点 $B_{2}$ 、交AC于点 $C_{2}$ ，连接 $B_{2} C_{1}$ ，得到第二条线段 $B_{2} C_{1}$ ；作 $A C_{2}$ 的垂直平分线交AB于点 $B_{3}$ 、交 $A C_{2}$ 于点 $C_{3}$ ，连接 $B_{3} C_{2}$ ，得到第三条线段 $B_{3} C_{2}$ ；……，如此作下去，则第n条线段 $B_{n} C_{n - 1}$ 的长为．

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三、解答题（共8题，共66分）

17.

(1)、如图，AE是∠MAD的平分线，点C是AE上一点，点B是AM上一点，在AD上求作一点P，使得△ABC≌△APC，请保留清晰的作图痕迹.

(2)、如图a，在△ABC中， ∠ACB= 90°，∠A= 60°，BE、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，CF与BE相交于点O.请探究线段BC、BF、CE之间的关系，直接写出结论，不要求证明.

(3)、如图b，若（2）中∠ACB为任意角，其它条件不变，请探究BC、BF、CE之间又有怎样的关系，请证明你的结论.

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18. 要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？n边形木架呢？

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19. 已知：AD是△ABC的角平分线，点E为直线BC上一点，BD=DE，过点E作EF∥AB交直线AC于点F，当点F在边AC的延长线上时，如图①易证AF+EF=AB；当点F在边AC上，如图②；当点F在边AC的延长线上，AD是△ABC的外角平分线时，如图3．写出AF、EF与AB的数量关系，并对图②进行证明．

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20. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $∠ B + ∠ D = 180 °$ ， $∠ B C D = 150 °$ ， $C B = C D$ ，M、N分别为AB、AD上的动点，且 $∠ M C N = 75 °$ ．求证： $M N = B M + D N$ ．

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21. 如图（1）， $A B = 7 c m$ ， $A C ⊥ A B$ ， $B D ⊥ A B$ 垂足分别为 $A$ 、 $B$ ， $A C = 5 c m .$ 点 $P$ 在线段 $A B$ 上以 $2 c m / s$ 的速度由点 $A$ 向点 $B$ 运动，同时点 $Q$ 在射线 $B D$ 上运动．它们运动的时间为 $t (s) ($ 当点 $P$ 运动结束时，点 $Q$ 运动随之结束 $)$ ．

(1)、AP $c m$ ， $B P =$ $c m ($ 用含 $t$ 的代数式表示 $)$ ；

(2)、若点 $Q$ 的运动速度与点 $P$ 的运动速度相等，当 $t = 1$ 时， $△ A C P$ 与 $△ B P Q$ 是否全等，并判断此时线段 $P C$ 和线段 $P Q$ 的位置关系，请分别说明理由；

(3)、如图（2），若“ $A C ⊥ A B$ ， $B D ⊥ A B$ ”改为“ $∠ C A B = ∠ D B A$ ”，点 $Q$ 的运动速度为 $x c m / s$ ，其它条件不变，当点 $P$ 、 $Q$ 运动到何处时有 $△ A C P$ 与 $△ B P Q$ 全等，求出相应的 $x$ 的值．

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22. 已知 $A M / / C N$ ，点 $B$ 为平面内一点， $A B ⊥ B C$ 于 $B$ ．

(1)、如图1，直接写出 $∠ A$ 和 $∠ C$ 之间的数量关系；

(2)、如图2，过点 $B$ 作 $B D ⊥ A M$ 于点 $D$ ，求证： $∠ A B D = ∠ C$ ；

(3)、如图3，在（2）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF平分 $∠ D B C$ ， $B E$ 平分 $∠ A B D$ ，若 $∠ F C B + ∠ N C F = 180 °$ ， $∠ B F C = 3 ∠ D B E$ ，直接写出 $∠ E B C$ 的度数．

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23. 综合与实践

(1)、问题探究：如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在 $O A$ 和 $O B$ 上分别取点C和D，使得 $O C = O D$ ，连接 $C D$ ，以 $C D$ 为边作等边三角形 $C D E$ ，则 $O E$ 就是 $∠ A O B$ 的平分线．

请写出 $O E$ 平分 $∠ A O B$ 的依据：；

(2)、类比迁移：
小明根据以上信息研究发现： $△ C D E$ 不一定必须是等边三角形，只需 $C E = D E$ 即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在 $∠ A O B$ 的边 $O A$ ， $O B$ 上分别取 $O M = O N$ ，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线 $O C$ 是 $∠ A O B$ 的平分线，请说明此做法的理由；

(3)、拓展实践：

小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路 $A B$ 和 $A C$ ，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

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24. 下面是张老师数学课堂教学实践活动的一个片段：
【问题背景】如图1，一副三角板的直角顶点重合，两条直角边分别共线，将它们分别记作 $R t △ A B C$ ， $R t △ A D E$ ．其中 $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ， $∠ A E D = 30 °$ ， $∠ A D E = 60 °$ ， $∠ A B C = ∠ A C B = 45 °$ ．现固定三角板 $A B C$ ，将三角板 $A D E$ 绕点A逆时针旋转，旋转角记为 $α (0 ° < α < 135 °)$ ，射线 $A D$ 与射线 $B C$ 交于点P，在射线 $A E$ 上取一点Q，使 $A Q = A P$ ，连接CQ．

(1)、【特例探究】如图2，当 $α = 45 °$ 时，直接写出 $B P$ 和 $C Q$ 的数量关系和位置关系．

(2)、【归纳证明】如图3，当点P在线段BC上时，【特例探究】中得到的结论是否成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

(3)、【类比迁移】当点P在线段 $B C$ 延长线上时，请直接写出【特例探究】中结论是否成立，不必说明理由．

(4)、【拓展应用】连接 $P Q$ ．若 $B C = 5$ ， $△ C P Q$ 的面积等于 $3$ ，请直接写出 $P Q$ 的长．

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2023年浙教版数学八年级上册1.5 三角形全等的判定 同步测试（培优版）

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每空4分，共24分）

三、解答题（共8题，共66分）

2023年浙教版数学八年级上册1.5 三角形全等的判定同步测试（培优版）