2023-2024学年初中数学九年级上册 28.4 垂径定理同步分层训练培优卷(冀教版)

试卷更新日期：2023-08-12 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦， $O C ⊥ A B$ 于点 $H$ ，若 $∠ A O C = 45 °$ ， $A O = 2 \sqrt{2}$ ，则弦 $A B$ 的长为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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2. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦， $O C ⊥ A B$ 交 $⊙ O$ 于点C，点D是优弧 $A B$ 上一点，若 $∠ A O C = 37 °$ ，则 $∠ C D B =$ （）

A、 $18.5 °$ B、 $37 °$ C、 $53 °$ D、 $74 °$

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3. 如图，⊙O的直径AB长为10，弦CD的长为8，CD⊥AB于点E，则tan∠OCE＝（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 下列命题正确的是（）

A、三点确定一个圆 B、圆的任意一条直径都是它的对称轴 C、等弧所对的圆心角相等 D、平分弦的直径垂直于这条弦

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5. 如图，小明分别以点A， B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，作直线EF分别交弦AB和劣弧AB于点C， D.小明量得AB=4cm， CD=1cm.则劣弧AB所在圆的半径长为（）

A、3cm B、2.5cm C、2 $\sqrt{2}$ cm D、2.4cm

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6. 《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深 $C D$ 等于1寸，锯道 $A B$ 长1尺，则圆形木材的直径是（）（1尺=10寸）

A、12寸 B、13寸 C、24寸 D、26寸

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7. 如图，已知点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝ $\frac{1}{2}$ AB＝a，延长CB至E，使得BE＝b，以CD，CE为边作矩形CEFD，连接并延长DB，交FE的延长线于点G，连接AG，《几何原本》中利用该图解释了代数式（2a+b）²+b²＝2[（a+b）²+a²]的几何意义，以AG为直径作圆，交AF于点H，若a＝9，b＝6，则HG的长为（）

A、5 $\sqrt{13}$ B、18 C、3 $\sqrt{34}$ D、17

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8. 如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论：
①AD²+AC²＝4；②∠DBC+∠ADO＝90°；③若AC＝BD，则DE＝OE；④若点P为BD的中点，则DE＝2OE．
其中正确的是（）

A、①②③ B、②③④ C、③④ D、②④

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二、填空题

9. 如图， $⊙ O$ 是一个盛有水的容器的横截面， $⊙ O$ 的半径为 $10 c m$ ．水的最深处到水面 $A B$ 的距离为 $4 c m$ ，则水面 $A B$ 的宽度为 $c m$ ．

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10. 如图，在以O为圆心半径不同的两个圆中，大圆和小圆的半径分别为6和4，大圆的弦 $A B$ 交小圆于点C ， D ．若 $A C = 3$ ，则 $C D$ 的长为．

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11. 圆 $⊙ O$ 的半径为4，AB、CD是 $⊙ O$ 的两条弦，且 $A B = C D = 4 \sqrt{3}$ ，则 $S_{△ A O D} + S_{△ B O C}$ 最大为．

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12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，我们定义点 $A (x ， y)$ 的“关联点”为 $B (x + y ， x - y)$ ．如果已知点 $A$ 在直线 $y = x + 3$ 上，点 $B$ 在 $⊙ O$ 的内部， $⊙ O$ 的半径长为 $3 \sqrt{2}$ （如图所示），那么点 $A$ 的横坐标 $x$ 的取值范围是．

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13. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且 $B E = 3$ ，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H.并与 $⊙ A$ 交于点K，连结HG、CH.给出下列四个结论.（1）H是FK的中点；（2） $△ H G D ≌ △ H E C$ ；（3） $S_{△ A H G} ： S_{△ D H C} = 9 ∶ 16$ ；（4） $D K = \frac{7}{5}$ ，其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）.

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三、解答题

14. 随着疫情的持续，各地政府储存了充足的防疫物品.某防疫物品储藏室的截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中 $A B = 2.3 m$ ， $B C = 2.6 m$ ，一辆装满货物的运输车，其外形高2.6m，宽2.4m，它能通过储藏室的门吗？请说明理由.

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15. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点E， $C D = 2 O E$ ，若 $A B = 4$ ，求 $C D$ 的长.

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四、综合题

16. 如图， $M N$ 为 $⊙ O$ 的直径，且 $M N = 15$ ， $M C$ 与 $N D$ 为圆内的一组平行弦，弦 $A B$ 交 $M C$ 于点H.点A在 $\overset{⌢}{M C}$ 上，点B在 $\overset{⌢}{N C}$ 上， $∠ O N D + ∠ A H M = 90 °$ .

(1)、求证： $M H \cdot C H = A H \cdot B H$ .

(2)、求证： $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{B C}$ .

(3)、在 $⊙ O$ 中，沿弦 $N D$ 所在的直线作劣弧 $\overset{⌢}{N D}$ 的轴对称图形，使其交直径 $M N$ 于点G.若 $s i n ∠ C M N = \frac{3}{5}$ ，求 $N G$ 的长.

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17. 如图1，在 $⊙ O$ 中，直径 $A B ⊥ C D$ 于点F，点E为 $⊙ O$ 上一点，点C为弧 $A E$ 的中点，连接 $A E$ ，交 $C D$ 于点G．

(1)、求证： $A E = C D$ ；

(2)、如图2，过点C作 $⊙ O$ 的切线交BA的延长线于点Q，若 $A F = 2$ ， $A E = 8$ ，求 $O Q$ 的长度；

(3)、在（2）的基础上，点P为 $⊙ O$ 上任一点，连接 $P F 、 P Q$ ， $\frac{P F}{P Q}$ 的比值是否发生改变？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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