2023-2024学年初中数学九年级上册 28.2 过三点的圆同步分层训练培优卷(冀教版)

试卷更新日期：2023-08-12 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 均在直线 $l$ 上，点 $P$ 在直线 $l$ 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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2. 如图，在已知的△ABC中，按以下步骤：（1）分别以B、C为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ BC的长为半径作弧，两弧相交M、N；（2）作直线MN，交AB于D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝25°，则下列结论中错误的是（　　）

A、直线MN是线段BC的垂直平分线 B、点D为△ABC的外心 C、∠ACB＝90° D、点D为△ABC的内心

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3. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点C，D在 $⊙ O$ 上，若 $∠ D = 40 °$ ，则 $∠ B A C$ 的度数是（）

A、40° B、45° C、50° D、80°

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4. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $P$ 在 $⊙ O$ 上，若 $⊙ O$ 的半径为6， $∠ B P C = 60 °$ ，则 $A B$ 的长度为（）

A、3 B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $6 \sqrt{3}$ D、6

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5. 如图， $⊙ O$ 是等边 $△ A B C$ 的外接圆，若 $A B = 6$ ，则 $⊙ O$ 的半径是（）

A、 $3$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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6. 已知P(x，y)是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x，y都是整数，则这样的点共有（）

A、4个 B、8个 C、12个 D、16个

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7. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， ∠ACB=90°， $A C = 8$ cm， $B C = 3$ cm. $D$ 是 $B C$ 边上的一个动点，连接 $A D$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A D$ 于 $E$ ，连接 $B E$ ，在点 $D$ 变化的过程中，线段 $B E$ 的最小值是（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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8. 如图，已知E是 $△ A B C$ 的外心，P，Q分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点，连接 $E P$ ， $E Q$ ，分别交 $B C$ 于点F，D.若 $B F = 10$ ， $D F = 6$ ， $C D = 8$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、72 B、96 C、120 D、144

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二、填空题

9. 如图， $△ A B C$ 内接于圆O．若 $∠ A = 60 °$ ， $∠ B = 75 °$ ， $A B = \sqrt{2}$ ，则 $A B$ 的弧长为．

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10. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $∠ A = 45 °$ ， $B C = 3$ ，则 $⊙ O$ 的直径为．

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11. 如图，四边形 $A B C D$ 为正方形， $∠ C A B$ 的平分线交 $B C$ 于点E，将 $△ A B E$ 绕点B顺时针旋转90°得到 $△ C B F$ ，延长 $A E$ 交 $C F$ 于点G，连接 $B G$ ， $D G$ ， $D G$ 与 $A C$ 相交于点H．有下列结论：① $∠ A C F = ∠ F$ ；②G为 $△ C B F$ 的外心；③ $B G ⊥ D G$ ；④ $\frac{A E}{D H} = \sqrt{3}$ ．其中正确结论的序号是．

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12. 已知点 $A (0 ， 3) ， B (4 ， 0)$ ，原点O关于一次函数 $y = k x + b$ 的对称点 $O^{'}$ 恰好与 $△ A O B$ 的外心重合，则点 $O^{'}$ 的坐标为， b的值为．

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13. 在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.如图，若“心形”图形的顶点A，B，C，D，E，F，G均为整点，已知点P（3，4），线段PQ的长为 $\sqrt{10}$ ， PQ关于过点M（0，5）的直线l对称得到P'Q'，点P的对应点为P′，当点P′恰好落在“心形”图形边的整点上时，点Q'也落在“心形”图形边的整点上，则这样的点Q′共有个.

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三、作图题

14. 如图是由边长为 $1$ 的小正方形构成的网格．每个小正方形的顶点叫做格点． $△ A B C$ 的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图．画图过程用虚线表示．画图结果用实线表示，完成下列问题：
⑴ $t a n ∠ F C A =$ ▲ ；
⑶将边 $B A$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $2 ∠ F C A$ 得到线段 $A D .$ 则 $∠ C A D =$ ▲ ；
⑶画出 $△ A D C$ 的外接圆的圆心 $O$ ；
⑷在 $A D$ 上确定一点 $G$ ，使 $G F = G D$ ．

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四、综合题

15. 在△ABC中，AC＝BC＝5，tanA＝ $\frac{3}{4}$ ， E分别是AB，AC边上的动点，作△ADE关于DE对称的图形△A′DE.

(1)、如图1，当点A′恰好与点C重合，求DE的长；

(2)、如图2，当点A’落在BC的延长线上，且A’E⊥AB，求AD的长；

(3)、如图3，若AE=CE，连接A’B，F是A’B的中点，连接CF，在D点的运动过程中，求线段CF长度的最大值.

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16. 八上教材给出了命题“如果 $△ A B C ≅ △ A^{'} B^{'} C^{'}$ ， $A D$ ， $A^{'} D^{'}$ 分别是 $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的高，那么 $A D = A^{'} D^{'}$ ”的证明，由此进一步思考……
（问题提出）

(1)、在 $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 中， $A D$ ， $A^{'} D^{'}$ 分别是 $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的高，如果 $B C = B^{'} C^{'}$ ， $∠ B A C = ∠ B^{'} A' C^{'}$ ， $A D = A^{'} D^{'}$ ，那么 $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 全等吗？
（i）小红的思考

如图，先任意画出一个 $△ A B C$ ，然后按下列作法，作出一个满足条件的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，作法如下：

①作 $△ A B C$ 的外接圆 $O$

②过点 $A$ 作 $A A^{'} / / B C$ ，与 $O$ 交于点 $A^{'}$

③连接 $A^{'} B^{'}$ （点 $B^{'}$ 与 $C$ 重合）， $A^{'} C^{'}$ （点 $C^{'}$ 与 $B$ 重合），得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$

请说明小红所作的 $△ A^{'} B^{'} C^{'} ≅ △ A B C$ .

（ii）小明的思考

如图，对于满足条件的 $△ A B C$ ， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 和高 $A D$ ， $A^{'} D^{'}$ ；小明将 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 通过图形的变换，使边 $C^{'} B^{'}$ 与 $B C$ 重合， $A^{'} B^{'}$ ， $A B$ 相交于点 $M$ ，连接 $A^{'} A$ ，易证 $A^{'} A / / B C$

接下来，小明的证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.

(2)、小明解决了问题（1）后，继续探索，提出了下面的问题，请你证明.
如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 中， $A D$ ， $A^{'} D^{'}$ 分别是 $△ A B C$ 和 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的高，（ $A D < A^{'} D^{'}$ ），且 $∠ B A C = ∠ B^{'} A' C^{'}$ ， $\frac{A D}{A' D^{'}} = \frac{B C}{B' C^{'}}$ ，求证： $△ A B C \sim △ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

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一、选择题

二、填空题

三、作图题

四、综合题

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