2023-2024学年初中数学九年级上册 26.3 解直角三角形同步分层训练培优卷(冀教版)

试卷更新日期：2023-08-12 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点O， $A B = 6 ， B C = 9$ ，分别过点D，点C作 $A C ， B D$ 的平行线，两线相交于点E，连接 $B E$ 交 $A C$ 于点F，则 $A F$ 的值是（）

A、7 B、 $\frac{9}{4} \sqrt{13}$ C、8 D、 $\frac{7}{2} \sqrt{13}$

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2. 在数学活动课上，老师出示两张等腰三角形纸片，如图所示．图1的三角形边长分别为4，4，2；图2的三角形的腰长也为4，底角等于图1中三角形的顶角；某学习小组将这两张纸片在同一平面内拼成如图3的四边形OABC，连结AC．该学习小组经探究得到以下四个结论，其中错误的是（）

A、∠OCB=2∠ACB B、∠OAB+∠OAC=90° C、AC=2 $\sqrt{15}$ D、BC=4 $\sqrt{3}$

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3. 如图，某停车场入口的栏杆 $A B$ ，从水平位置绕点O旋转到 $A^{'} B^{'}$ 的位置，已知 $A O$ 的长为6米．若栏杆的旋转角 $∠ A O A^{'} = α$ ，则栏杆A端升高的高度为（）

A、 $6 s i n α$ 米 B、 $6 c o s α$ 米 C、 $\frac{6}{s i n α}$ 米 D、 $\frac{6}{c o s α}$ 米

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4. 如图，在矩形 $A B C D$ 按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线 $M N$ 交 $A D$ 于点E；③连接 $A C$ ， $C E$ ．若 $D E = 3$ ， $C D = 3 \sqrt{3}$ ，则 $∠ A C B$ 的度数为（）

A、 $20 °$ B、 $35 °$ C、 $25 °$ D、 $30 °$

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5. 如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上(不与点B，C重合)，点F在边AB上，且AF=BE，连接AE，DF，对角线AC与DF交于点G，连接BG，交AE于点H．若DF=4GH，则 $\frac{D G}{C G}$ = （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{14}}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{7}$

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6. 如图， $△ A B C$ 绕点 $C$ 逆时针旋转60°得到 $△ D E C$ （点 $A$ 与点 $D$ 是对应点，点 $B$ 与点 $E$ 是对应点），点 $D$ 是 $A B$ 中点， $D E$ 与 $B C$ 相交于点 $F$ ， $B F = \sqrt{3}$ ，则 $D E$ 的长为（）．

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点A在直线l上，以A为圆心， $O A$ 为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段 $O E$ ， $⊙ A$ 和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形 $A B C D$ 是矩形（点 $A ， B ， C ， D$ 顺时针排列），则称矩形 $A B C D$ 为直线l的“理想矩形”.例如，右图中的矩形 $A B C D$ 为直线l的“理想矩形”.若点 $A (3 ， 4)$ ，则直线 $y = k x + 1 (k \neq 0)$ 的“理想矩形”的面积为（）

A、12 B、 $3 \sqrt{14}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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8. 赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形（如图所示）．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交CD于点Ｉ．记小正方形EFGＨ的面积为Ｓ₁ ，大正方形ABCD的面积为Ｓ₂ ，若DＩ＝2，CＩ＝1，Ｓ₂＝5Ｓ₁ ，则GＩ的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{9}{20} \sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{8}$ D、 $\frac{3}{4}$

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二、填空题

9. 如果一个矩形的面积是 $40$ ，两条对角线夹角的余切值是 $\frac{3}{4}$ ，那么它的一条对角线长是．

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10. $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，点D在直线 $A B$ 上，连接 $C D$ ，若 $t a n ∠ A C D = \frac{1}{2}$ ， $A B = 3$ ， $A D = 2$ ，则 $△ B C D$ 的面积为．

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11. 一副直角三角板如图放置，点 $C$ 在 $F D$ 的延长线上， $A B ∥ C F ， ∠ F = ∠ A C B = 90 ° ， ∠ E = 45 ° ， ∠ A = 60 °$ ，则 $∠ D B C =$ °．

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12. 如图， $⊙ O$ 的直径 $A B$ 与弦 $C D$ 交于点E，已知 $∠ C E A = 45 °$ ， $D E = 7$ ， $O E = 3 \sqrt{2}$ ，那么 $\cot ∠ A B D$ 的值为．

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13. 如图，在 $Rt A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $A B = 4 \sqrt{3}$ ，点O是 $A B$ 的中点，点D是线段 $A C$ 上任意一点（不含端点），连接 $O D$ ，则 $O D + \frac{1}{2} C D$ 的最小值为．

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三、解答题

14. 根据以下素材，探索完成任务．

探究遮阳伞下的影子长度

素材1

图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈 $180 °$ ，图2是其侧面示意图．已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，悬托架 $A E = D E = 0.5$ 米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF是DE的4倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直．

素材2

时刻	12点	13点	14点	15点	16点	17点
太阳高度 $α$ （度）	90	75	60	45	30	15
参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.7$ ， $\sqrt{2} \approx 1.4$ ．

某地区某天下午不同时间的太阳高度角 $α$ （太阳光线与地面的夹角）参照表：

素材3

小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米．如图2，小明坐的位置记为点Q．

问题解决

任务1

确定影子长度

某一时刻测得 $B D = 1.7$ 米，请求出此时影子 $G H$ 的长度．

任务2

判断是否照射到

这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？

任务3

探究合理范围

小明打算在这天14：00－15：00露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请计算 $B Q$ 的取值范围．

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15. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝ $\frac{1}{3}$ ，求AC，AB及sinB的值．

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四、综合题

16. 如图1，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ．等腰 $△ M E F$ 的两个顶点 $E ， F$ 分别在 $A B ， A D$ 上，且 $∠ E M F = 120 °$ ，点 $A ， M$ 在 $E F$ 的异侧．

(1)、如图2，当 $E F ⊥ A C$ 于点 $K$ 时，
①求证： $A E = A F$ ，且点 $M$ 在菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上．

②如图3，若 $E H ∥ A C$ 交 $B C$ 于点 $H ， F G ∥ A C$ 交 $C D$ 于点 $G$ ，连结 $G H$ ．当 $\frac{A B}{E M} =$ 时，四边形 $E H G F$ 为正方形．

(2)、如图1，
①判断：点 $M$ ▲ 菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上．（填“在”或“不在”）

②若 $A B = 6 \sqrt{3} ， E M = 4$ ，请求出 $C M$ 的取值范围．

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17. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为 $△ A B C$ 和 $△ D F E$ ，其中 $∠ A C B = ∠ D E F = 90 ° ， ∠ A = ∠ D$ ．将 $△ A B C$ 和 $△ D F E$ 按图2所示方式摆放，其中点 $B$ 与点 $F$ 重合（标记为点 $B$ ）．当 $∠ A B E = ∠ A$ 时，延长 $D E$ 交 $A C$ 于点 $G$ ．试判断四边形 $B C G E$ 的形状，并说明理由．


(1)、数学思考：谈你解答老师提出的问题；

(2)、深入探究：老师将图2中的 $△ D B E$ 绕点 $B$ 逆时针方向旋转，使点 $E$ 落在 $△ A B C$ 内部，并让同学们提出新的问题．


①“善思小组”提出问题：如图3，当 $∠ A B E = ∠ B A C$ 时，过点 $A$ 作 $A M ⊥ B E$ 交 $B E$ 的延长线于点 $M ， B M$ 与 $A C$ 交于点 $N$ ．试猜想线段 $A M$ 和 $B E$ 的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；



②“智慧小组”提出问题：如图4，当 $∠ C B E = ∠ B A C$ 时，过点 $A$ 作 $A H ⊥ D E$ 于点 $H$ ，若 $B C = 9 ， A C = 12$ ，求 $A H$ 的长．请你思考此问题，直接写出结果．



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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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