2023-2024学年初中数学九年级上册 26.1 锐角三角函数同步分层训练培优卷(冀教版)

试卷更新日期：2023-08-12 类型：同步测试

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一、选择题

1. $□ O A B C$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示， $∠ A O C = 45 °$ ， $O A = O C = 4$ ，则点B的坐标为（）

A、 $(2 \sqrt{2} ， 4)$ B、 $(4 + 2 \sqrt{2} ， 2 \sqrt{2})$ C、 $(2 \sqrt{2} + 4 ， 4)$ D、 $(2 \sqrt{2} ， 2 \sqrt{2} + 4)$

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2. 如图，由边长为1的小正方形组成的网格中， $△ A B C$ 的三个顶点A，B，C都在网格的格点上，则下列结论错误的是（）

A、 $A B = \sqrt{5}$ B、 $A C = 5$ C、 $B C = 2 \sqrt{5}$ D、 $∠ A C B = 30 °$

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3. 如图，圆规两脚 $O A$ ， $O B$ 张开的角度 $∠ A O B = 40 °$ ， $O A = O B = 15$ ，则两脚张开的距离 $A B$ 为（）

A、 $30 \sin 40 °$ B、 $30 \cos 40 °$ C、 $30 \sin 20 °$ D、 $30 \cos 20 °$

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4. 如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形 $E F G H$ 组成，恰好拼成一个大正方形 $A B C D$ ，小正方形 $E F G H$ 的对角线 $F H$ 向两边延长，分别交边 $A B$ 于点 $M$ ，交边 $C D$ 于点 $N$ ．若 $E$ 是 $A H$ 的中点，则 $\frac{M N}{A B}$ 的值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$

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5. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得 $∠ A = 88 °$ ， $∠ B = 50 °$ ， $A B = 60$ ，则点 $A$ 到 $B C$ 的距离为（）

A、 $60 s i n 50 °$ B、 $60 c o s 50 °$ C、 $\frac{60}{s i n 50 °}$ D、 $60 t a n 50 °$

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6. 如图，菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ A B C = 12 0^{°}$ ，则菱形 $A B C D$ 的面积是（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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7. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E为边 $C D$ 的中点，连接 $A E$ ，过点B作 $B F ⊥ A E$ 于点F，连接 $B D$ 交 $A E$ 于点G， $F H$ 平分 $∠ B F G$ 交 $B D$ 于点H.则下列结论中，正确的个数为（）
① $A B^{2} = B F \cdot A E$ ② $S_{△ B G F} ： S_{△ B A F} = 2 ： 3$ ③当 $A B = a$ 时， $B D^{2} - B D \cdot H D = a^{2}$

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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8. 如图，分别经过原点 $O$ 和点 $A (4 ， 0)$ 的动直线 $a$ ， $b$ 夹角 $∠ O B A = 30 °$ ，点 $M$ 是 $O B$ 中点，连接 $A M$ ，则 $s i n ∠ O A M$ 的最大值是（）

A、 $\frac{3 + \sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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二、填空题

9. 如图，将 $45 °$ 的 $∠ A O B$ 按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合， $O A$ 与尺下沿重合， $O B$ 与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为 $2 c m$ ，若按相同的方式将 $22.5 °$ 的 $∠ A O C$ 放置在该刻度尺上，则 $O C$ 与尺上沿的交点C在尺上的读数为 $c m$ ．

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10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 的顶点A，B在x轴上， $A B = 2$ ， $A (1 ， 0)$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，将菱形 $A B C D$ 绕点A旋转 $90 °$ 后，得到菱形 $A B_{1} C_{1} D_{1}$ ，则点 $C_{1}$ 的坐标是．

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11. 魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形 $A B C D$ 、四边形 $E F G D$ 和四边形 $E A I H$ 都是正方形 $.$ 如果图中 $△ E M H$ 与 $△ D M I$ 的面积比为 $\frac{16}{9}$ ，那么 $t a n ∠ G D C$ 的值为．

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12. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点E是AD的中点，点P是BE上的动点，点Q是PC的中点，连接AQ ，则AQ长的最小值为．

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13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， ∠ A B C = 30 ° ， A C = 2$ ，点 $P$ 是边 $A B$ 上的一动点．已知 $△ A^{'} B^{'} C ≌ △ A B C$ ，现将 $△ A^{'} B^{'} C$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转，点 $E$ 是边 $A^{'} C$ 的中点，则 $S_{△ A B C} =$ ， $P E$ 长度的最小值为．

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三、作图题

14. 图①，图②，图③均是 $4 \times 4$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③给定的网格中按要求画图．（保留作图痕迹）

(1)、在图①中，在线段 $A B$ 上画出点 $M$ ，使 $A M = 3 B M$ ．

(2)、在图②中，画出一个格点 $C$ ，使 $△ A B C$ 是以 $A B$ 为斜边的等腰直角三角形．

(3)、在图③中，在线段 $A B$ 上画出点 $P$ ，使 $\tan ∠ B P H = 1$ ．

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四、综合题

15. 数学活动课上，老师组织数学小组的同学进行以“三角形卡片拼接与变换”为主题的数学学习活动．他们准备若干个 $30 °$ ， $45 °$ 的特殊直角三角形卡片，其中在三角形卡片 $A B D$ 中， $∠ A D B = 90 °$ ， $∠ A B D = 30 °$ ， $A D = 2$ ．

(1)、如图1，将一个与 $△ A B D$ 全等的 $△ C D B$ 沿较长的直角边重合，拼成一个四边形 $A B C D$ ．
①求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形；
②连接 $A C$ 交 $B D$ 于点 $O$ ，求 $△ A O D$ 的面积；

(2)、在（1）的条件下，将一条直角边与 $A C$ 重合的等腰直角三角形卡片 $A C E (∠ A C E = 9 0^{∘})$ 与四边形 $A B C D$ 拼成如图2所示的平面图形，请求出点 $E$ 到 $A B$ 的距离；

(3)、一个斜边长度与 $A D$ 相等的 $30 °$ 三角板 $A D E$ （ $∠ E = 90 °$ ， $∠ A D E = 30 °$ ）如图3摆放，将 $△ A D E$ 绕点Ａ顺时针旋转，旋转角为 $α (0 ° < α < 180 °)$ ， $△ A D E$ 旋转后的三角形记为 $△ A D^{'} E^{'}$ ．在旋转过程中，直线 $D^{'} E^{'}$ 所在的直线与直线 $B D$ ， $A B$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，当 $△ B P Q$ 为等腰三角形时，请直接写出 $E^{'} Q$ 的长．

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16. 在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A D B = 90 °$ ，点E在 $C D$ 上，点G在 $A B$ 上，点F在 $B D$ 的延长线上，连接 $E F ， D G$ ． $∠ F E D = ∠ A D G$ ， $\frac{A D}{B D} = \frac{D G}{E F} = k$ ．

(1)、如图1，当 $k = 1$ 时，请用等式表示线段 $A G$ 与线段 $D F$ 的数量关系；

(2)、如图2，当 $k = \sqrt{3}$ 时，写出线段 $A D ， D E$ 和 $D F$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3)、在（2）的条件下，当点G是 $A B$ 的中点时，连接 $B E$ ，求 $t a n ∠ E B F$ 的值．

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17. 如图，在平面直角坐标系中， $▱ A B C D$ 的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的两个根（ $O B > O C$ ）．请解答下列问题：

(1)、求点B的坐标；

(2)、若 $O D ： O C = 2 ： 1$ ，直线 $y = - x + b$ 分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求 $t a n ∠ M N D$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使 $△ N P Q$ 是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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一、选择题

二、填空题

三、作图题

四、综合题

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