2023-2024学年初中数学九年级上册 26.1 锐角三角函数同步分层训练基础卷(冀教版)

试卷更新日期：2023-08-12 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $A C = 3$ ，则 $c o s B$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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2. 如图，在正方形网格中，已知 $Δ A B C$ 的三个顶点均在格点上，则 $∠ A C B$ 的正切值为（）

A、2 B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $A C = 4$ ， $B C = 3$ ， $∠ C = 90 °$ ，则sinA的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{5}$

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4. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， B C = 3 ， A B = 4$ ，那么下列各式中正确的是（）

A、 $s i n A = \frac{3}{4}$ B、 $c o s A = \frac{3}{4}$ C、 $t a n A = \frac{3}{4}$ D、 $c o t A = \frac{3}{4}$

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5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ $\frac{3}{5}$ ， AB＝10，则AC的长为（）

A、3 B、4 C、6 D、8

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6. 如图1是第七届国际数学教育大会( $I C M E$ )的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图 $2$ 所示的四边形 $A B C D$ .如果已知 $A B = B C = 1$ ， $∠ A D B$ $=$ $α$ ，则 $t a n ∠ B D C$ 的值是（）

A、 $t a n α$ B、 $c o s α$ C、 $s i n α$ D、 $\frac{1}{s i n α}$

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7. 由四个正方形相框拼成的照片墙如图1所示，图2是其平面几何图，其中正方形ABCD，正方形DEFG，正方形BIJK的面积分别为4分米² ， 4分米² ， 16分米² ，则正方形AGHI的面积为（）

A、5分米² B、6分米² C、6.25分米² D、8分米²

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8. 如图，A、D、B在同一条直线上，电线杆 $C D$ 的高度为h，两根拉线 $A C$ 与 $B C$ 相互垂直， $∠ C A B = α$ ，则拉线 $B C$ 的长度为（）

A、 $\frac{h}{c o s α}$ B、 $\frac{h}{s i n α}$ C、 $\frac{h}{t a n α}$ D、 $h \cdot c o s α$

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二、填空题

9. 如图，AB与CD相交于点O，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，若AC=10，OC=15，则 $t a n B$ 的值为．

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10. 如图，Rt△ABC中， $∠ C = 90 °$ ， AC＝5，BC＝12，则cosA的值为．

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11. 如图，已知大正方形 $A B C D$ 的面积是25，小正方形 $E F G H$ 的面积是1，那么 $s i n ∠ A D F =$ .

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12. 如图，在 $Δ A B C$ 中，已知 $A D$ 是BC边上的高， $D C = 1 ， B D = 2$ ， $t a n B = c o s ∠ D A C$ ，则 $A B$ 的值为.

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13. 将一组完全一样的宽 $1 c m$ ，高 $5 c m$ 的多米诺骨牌按图1所示垂直放置在地面上，推动至其全部倒下，最后三块骨牌的位置如图2所示.其中①号骨牌水平倒在地面上，已知②号骨牌与地面夹角 $α$ 的正切值为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求 $D F$ 的长为cm.

(2)、若③号骨牌与地面的夹角 $β$ 的正切值为 $\frac{1}{3}$ ，则 $B D$ 的长为cm.

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三、解答题

14. 为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如下表：

方案设计	方案1	方案2
裁剪方案示意图
说明	图中的正方形 $A E F G$ 和正方形 $M N P Q$ 四个顶点都在原四边形的边上
测量数据	$A D = 9 d m$ ， $C D = 2 d m$ ， $A B = 14 d m$ ， $∠ A = ∠ D = 90 °$ ；
任务1：探寻边角	填空： $B C =$ ▲ $d m$ ， $s i n B =$ ▲ ；
任务2：比较面积	计算或推理：正方形 $A E F G$ 和正方形 $M N P Q$ 边长之比；
任务3：应用实践	若在 $△ B E F$ 余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为 ▲ $d m$ .

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四、作图题

15. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (6 ， 4)$ ， $B (4 ， 0)$ ， $C (2 ， 0)$ .

(1)、在y轴左侧，以O为位似中心，画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，使它与 $△ A B C$ 的相似比为 $1 ： 2$ ；

(2)、根据（1）的作图， $t a n ∠ C_{1} A_{1} B_{1} =$ .

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五、综合题

16. 在 $△ A B C$ 和 $△ B D E$ 中，点 $A ， B ， D$ 在同一直线上， $A C ⊥ A D ， B C ⊥ B E$ .

(1)、如图1，如果 $D E ⊥ A D$ ，求证： $△ A B C ∽ △ D E B$ ；

(2)、如果 $A D = 20$ ， $A C = 4$ ， $B E = \frac{1}{2} B C$ .
$①$ 如图2，当 $B E = D E$ 时，求 $A B$ 的长；
$②$ 如图3， $G$ 点是 $C A$ 延长线上一点，且 $A G = 8$ ，连结 $B G$ ，如果 $∠ G = ∠ D$ ，求 $t a n D$ 的值.

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17. 如图1，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $c o s ∠ A B D = \frac{3}{5}$ ，点E从点A出发以每秒1个单位长度沿 $A B$ 运动到点B，然后以同样速度沿 $B C$ 运动到点C停止.设当点E的运动时间为x秒时， $D E$ 长为y.下面是小聪的探究过程，请补充完整.

(1)、根据三角函数值小聪想到连接 $A C$ 交 $B D$ 于点O（如图2），请同学们帮忙求 $B D$ 的长.

(2)、小聪学习了函数知识后，运用函数的研究经验，对y与x的变化规律进行了下列探究，根据点E在 $A B$ 上运动到不同位置进行画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值，并画出了函数图象（如图3）：
x
0
1
2
3
4
5
y
5
4.82
4.84
5.06
5.46
6
请同学们继续探究点E在 $B C$ 上的运动情况，在同一坐标系中补全图象，并写出这个函数 $(0 \leq x \leq 10)$ 的两条性质.

(3)、结合图象探究发现 $y = 5$ 时，x有四个不同的值.求y取何值时，x有且仅有两个不同的值.

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x	0	1	2	3	4	5
y	5	4.82	4.84	5.06	5.46	6

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、作图题

五、综合题

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