2023-2024学年初中数学九年级上册 25.5 相似三角形的性质同步分层训练培优卷(冀教版)

试卷更新日期：2023-08-12 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B都在格点（小正方形的顶点）上，点C为 $A B$ 与网格水平线的交点，则 $A C$ 的长为（　　）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ C、 $\frac{3}{2} \sqrt{13}$ D、 $2 \sqrt{13}$

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2. 如图， $D ， E$ 是 $△ A B C$ 边 $A B ， A C$ 边上的两点，且 $D E ∥ B C$ ，若 $S_{△ A D E} ： S_{△ A B C} = 1 ： 16$ ，则 $△ A D E$ 与 $△ A B C$ 的周长之比为（）

A、 $1 ： 2$ B、 $1 ： 4$ C、 $1 ： 5$ D、 $1 ： 16$

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3. 如图，平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 交于点O，E是 $B C$ 的中点，连接 $O E$ ．若 $△ B O E$ 的面积是2，则四边形 $O E C D$ 的面积是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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4. 如图，在直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为 $(- 1 ， 0)$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，当 $A^{'}$ 恰好第一次落在线段 $O D$ 上时， $B^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$ D、 $(- \frac{\sqrt{21}}{7} ， \frac{2 \sqrt{7}}{7})$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 2 ， ∠ B A C = 108 °$ ，点P在 $B C$ 边上，若 $A P$ 是 $∠ B A C$ 的三等分线，则 $B P$ 的长度为（）

A、 $\sqrt{5} - 1$ 或5 B、 $\sqrt{5} + 1$ 或 $\sqrt{5} - 1$ C、 $\sqrt{5} - 1$ 或2 D、 $\sqrt{5} + 1$ 或2

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6. 如图，点 $O$ 为▱ $A B C D$ 的对称中心， $A B ∥ x$ 轴，与 $y$ 轴交于点 $E$ $(0 ， 1)$ ， $A D$ 与 $x$ 轴交于点 $F$ $(- \frac{3}{2} ， 0)$ ， $A E ： B E$ $= 1 ： 2$ ，若将 $△$ $A O E$ 绕点 $O$ 顺时针旋转，每次旋转 $90 °$ ，则第2023次旋转结束时，点 $A$ 的坐标为（）

A、 $(1 ， - 1)$ B、 $(- 1 ， - 1)$ C、 $(- \frac{3}{2} ， 0)$ D、 $(\frac{3}{2} ， 0)$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点，若 $S_{△ A D E} = 3$ ，则 $S_{△ A B C} =$ （）

A、3 B、6 C、9 D、12

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8. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $A B = 6 c m$ ， $B C = 8 c m$ ， $D$ 、 $E$ 分别为 $A C$ 、 $B C$ 中点，连接 $A E$ 、 $B D$ 相交于点 $F$ ，点 $G$ 在 $C D$ 上，且 $D G$ ： $G C = 1$ ： $2$ ，则四边形 $D F E G$ 的面积为（）

A、 $2 c m^{2}$ B、 $4 c m^{2}$ C、 $6 c m^{2}$ D、 $8 c m^{2}$

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二、填空题

9. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，E为 $A B$ 的中点， $D E$ 交 $A C$ 于F，若 $A F = 60 c m$ ，则 $A C =$ $c m$ ．

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10. 如图，三角形纸片 $A B C$ 中， $A C = 6 ， B C = 9$ ，分别沿与 $B C ， A C$ 平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是．

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11. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的 $A B C$ ）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点 $A$ ， $B$ ， $Q$ 在同一水平线上， $∠ A B C$ 和 $∠ A Q P$ 均为直角， $A P$ 与 $B C$ 相交于点 $D$ ．测得 $A B = 40 c m ， B D = 20 c m ， A Q = 12 m$ ，则树高 $P Q =$ m．

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12. 如图，已知等腰三角形 $O A B ， O A = O B = 6 ， O C ⊥ A B$ 于点 $C ， A D$ 为 $O B$ 边中线， $A D ， O C$ 相交于点 $P$ ．在 $∠ A O B$ 从 $90 °$ 减小到 $30 °$ 的过程中，点 $P$ 经过的路径长为．

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13. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E在边 $C D$ 上， $B E$ 交对角线 $A C$ 于点F， $C M ⊥ B E$ 于M， $∠ C M E$ 的平分线所在直线分别交 $C D$ ， $A C$ 于点N，P，连接 $F N$ ．下列结论：① $S_{△ N P F} ： S_{△ N P C} = F M ： M C$ ；② $C M = P N$ ；③ $E N \cdot C D = E C \cdot C F$ ；④若 $E M = 1$ ， $M B = 4$ ，则 $P M = \sqrt{2}$ ，其中正确的是．

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三、解答题

14. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $B C$ 上， $A F ⊥ D E$ ，垂足为F， $A D = 4$ ， $C E = 2$ ， $D E = 2 \sqrt{10}$ ，求 $D F$ 的长.

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15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A E ⊥ B D$ 于点E，点P是边 $A D$ 上一点，且 $P E ⊥ E C$ ．求证： $A E \cdot A B = D E \cdot A P$ ．

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四、综合题

16. 综合与实践．

(1)、提出问题 $.$ 如图 $1$ ，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ，且 $A B = A C$ ， $A D = A E$ ，连接 $B D$ ，连接 $C E$ 交 $B D$ 的延长线于点 $O$ ．
      $① ∠ B O C$ 的度数是．
      $② B D$ ： $C E =$ ．

(2)、类比探究 $.$ 如图 $2$ ，在 $△ A B C$ 和 $△ D E C$ 中， $∠ B A C = ∠ E D C = 90 °$ ，且 $A B = A C$ ， $D E = D C$ ，连接 $A D$ 、 $B E$ 并延长交于点 $O$ ．
      $① ∠ A O B$ 的度数是；
      $② A D$ ： $B E =$   ．

(3)、问题解决 $.$ 如图 $3$ ，在等边 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，点 $E$ 在线段 $A D$ 上 $($ 不与 $A$ 重合 $)$ ，以 $A E$ 为边在 $A D$ 的左侧构造等边 $△ A E F$ ，将 $△ A E F$ 绕着点 $A$ 在平面内顺时针旋转任意角度 $.$ 如图 $4$ ， $M$ 为 $E F$ 的中点， $N$ 为 $B E$ 的中点．
      $①$ 说明 $△ M N D$ 为等腰三角形．

      $②$ 求 $∠ M N D$ 的度数．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中，直线DF与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，与线段BC延长线相交于点F.

(1)、若 $\frac{A D}{D B} = 1$ ， $\frac{A E}{E C} = 2$ ，求 $\frac{B F}{F C}$ 的值.

(2)、若 $\frac{A D}{D B} = \frac{1}{2}$ ， $\frac{A E}{E C} = \frac{m}{n}$ ，其中m＞n＞0，求 $\frac{B F}{F C}$ 的值.

(3)、请根据上述（1）（2）的结论，猜想 $\frac{A D}{D B} \cdot \frac{B F}{F C} \cdot \frac{C E}{E A}$ =（直接写出答案，不需要证明）.

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三、解答题

四、综合题

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