2023-2024学年初中数学九年级上册 25.3 相似三角形同步分层训练培优卷(冀教版)

试卷更新日期：2023-08-12 类型：同步测试

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一、选择题

1. 小明用放大镜观察一个三角形器材，并在纸上画出该三角形器材的示意图．通过测量发现，示意图的边长与实际器材的边长之比为 $3 ： 1$ ，则示意图的面积与实际器材的面积之比为（）

A、3：1 B、1：3 C、9：1 D、1：9

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2. 如图， $△ A B C$ 是等腰三角形， $A B = A C ， ∠ A = 36 °$ ．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于 $\frac{1}{2} F G$ 的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于 $\frac{1}{2} B D$ 的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：① $∠ A E D = ∠ A B C$ ；② $B C = A E$ ；③ $E D = \frac{1}{2} B C$ ；④当 $A C = 2$ 时， $A D = \sqrt{5} - 1$ ．其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 已知两个相似三角形的面积之比为4：9，这两个三角形的周长的和是 $100 c m$ ，那么较小的三角形的周长为（）

A、 $20 c m$ B、 $30 c m$ C、 $40 c m$ D、 $60 c m$

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4. 如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄ ，以下判断，其中不正确的是（）

A、PA+PB+PC+PD的最小值为10 B、若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC C、若△PAB∼△PDA，则PA=2 D、若S₁=S₂ ，则S₃=S₄

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5. 如图，将 $△ A B C$ 先向左平移4个单位，得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，再以原点O为位似中心，作 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的位似三角形 $△ A^{″} B^{″} C^{″}$ ，使它与 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的相似比为 $1 ： 2$ 且在同一象限内，则点A的对应点 $A^{″}$ 的坐标是（）

A、 $(0 ， 0)$ B、 $(- 2 ， 4)$ C、 $(- 1 ， 2)$ D、 $(1 ， - 2)$

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6. 两个相似三角形，他们的周长分别是36和12．周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3，则周长较大的三角形的面积是（　　）

A、52 B、54 C、56 D、58

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7. 如图， $∠ A = ∠ B = 90 ° ， A B = 7 ， B C = 3 ， A D = 2$ ，在边 $A B$ 上取点P，使得 $△ P A D$ 与 $△ P B C$ 相似，则满足条件的点P有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、0个

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8. 如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形，A、B、C的纸片的面积分别为S₁、S₂、S₃ ，（S₁与S₂ ， S₂与S₃的相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，若S₁＞S₂＞S₃ ，则这个矩形的面积一定可以表示为（）

A、4S₁ B、6S₂ C、4S₂+3S₃ D、3S₁+4S₃

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二、填空题

9. 如图，在一个面积为 $24 c m^{2}$ 的等边三角形纸片中，取三边的中点，以虚线为折痕折叠纸片，图中阴影部分的面积为 $c m^{2}$ .

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10. 如图，在矩形纸片 $A B C D$ 中，将 $△ A M P$ 和 $△ B P Q$ 分别沿 $P M$ 和 $P Q$ 折叠（ $A M < A P$ ），点A，B重合于点E处；再将 $△ C Q D$ 沿 $D Q$ 折叠，点C落在 $E Q$ 上的点F处，若 $E F = 7$ ，且 $c o s ∠ M D F = \frac{3}{5}$ ，则 $D Q$ 的长为．

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11.
如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为．

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12. 如图，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形 $E F G H$ 拼成一个大正方形 $A B C D$ ，连接 $A F$ 和 $C H ， A F = A B$ ．现随机向正方形 $A B C D$ 内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为．

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13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $A B O C$ 的边 $O B ， O C$ 分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为 $(8 ， 6)$ ，点P在矩形 $A B O C$ 的内部，点E在 $B O$ 边上，且满足 $△ P B E ∽ △ C B O$ ，当△ $A P C$ 是等腰三角形时，点P的坐标为．

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三、解答题

14. 已知 $△ A B C$ 的三边长分别为6，8，10，和 $△ A B C$ 相似的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的最长边长为30，求 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的周长.

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15. 如图， $D 、 E$ 分别是 $A C$ 、 $A B$ 上的点， $△ A D E ∼ △ A B C$ ， $D E = 8$ ， $B C = 24$ ， $A D = 6$ ， $∠ B = 70 °$ ，求 $A B$ 的长和 $∠ A D E$ 的度数．

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四、作图题

16. 图①、图②、图③都是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段 $A B$ 的端点都在格点上，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写画法．

(1)、在图①中画 $△ A B C$ ，使 $∠ B A C = 45 °$ ；

(2)、在图②中画 $△ A B D$ ，使 $△ A B D$ 是轴对称图形；

(3)、在图③中画 $△ A B E$ ，使 $A B$ 边上的高将 $△ A B E$ 分成面积比为 $1 ： 2$ 的两部分．

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五、综合题

17. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点B坐标为（2 $\sqrt{2}$ ， 0），点D是射线OB上不与点O重合的一个动点，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到ED，连结AD、AE.

(1)、求证：DA＝DE；

(2)、如图2，连结AC，BE，当△CDA与△DBE相似时，求BD的长；

(3)、当点A关于直线ED的对称点A'落在正方形的边上时，求点D的坐标.

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18. 如图1，在平面直角坐标系中，点A、点B分别是x轴、y轴正半轴上的点，以OA、OB为边构造矩形OACB.点E为OA上一点，满足BE＝BC.过点C作CF⊥BE，垂足为点F.已知 $C F = \sqrt{2}$ .

(1)、求证：CA＝CF.

(2)、如图2，连结CE，当∠BCF＝2∠ECF时，求AE的长.

(3)、在（2）的条件下，连结AF，在坐标平面内是否存在一点M，使得以点M、A、F为顶点的三角形与△CBE相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

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