2023-2024学年初中数学九年级上册 25.1 比例线段同步分层训练培优卷(冀教版)

试卷更新日期：2023-08-12 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知P是线段 $A B$ 的黄金分割点，且 $A P > B P$ ，那么 $\frac{A P - B P}{B P}$ 的值为（）

A、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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2. 某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度 $A B$ 与从轮子底部到拉杆顶部的高度 $C D$ 之比是黄金比（约等于 $0.618$ ）．已知 $C D = 80$ cm，则AB约是（）

A、30cm B、49cm C、55cm D、129cm

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3. 如果 $2 a = 5 b$ ，那么下列比例式中正确的是（）

A、 $\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$ B、 $\frac{a}{5} = \frac{2}{b}$ C、 $\frac{a}{5} = \frac{b}{2}$ D、 $\frac{a}{2} = \frac{b}{5}$

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4. 若 $\frac{x}{y} = \frac{3}{4}$ ，则下列式子不正确的是（）

A、 $\frac{x + y}{y} = \frac{7}{4}$ B、 $\frac{x + 3}{y + 4} = \frac{3}{4}$ C、 $\frac{y}{x - y} = 4$ D、 $\frac{x}{3} = \frac{y}{4}$

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5. 已知线段a、b，求作线段x，使 $x = \frac{2 b^{2}}{a}$ ，正确的作法是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知非负数 x，y，z 满足. $\frac{3 - x}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z + 5}{4}$ .，设 $W = 3 x - 2 y + z$ ，则 W 的最大值与最小值的和为（）

A、-2 B、-4 C、-6 D、-8

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7. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段 $M N$ 分为两线段 $M G$ ， $G N$ ，使得其中较长的一段 $M G$ 是全长 $M N$ 与较短的段 $G N$ 的比例中项，即满足 $\frac{M G}{M N} = \frac{G N}{M G} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，后人把 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段 $M N$ 的“黄金分割”点．如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = A C = 3$ ， $B C = 4$ ，若D ， E是边 $B C$ 的两个“黄金分割”点，则 $△ A D E$ 的面积为（）

A、 $10 - 4 \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{5} - 5$ C、 $\frac{5 - 2 \sqrt{5}}{2}$ D、 $20 - 8 \sqrt{5}$

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8. 设 $x + y + z = 2020$ ，且 $\frac{x}{2019} = \frac{y}{2020} = \frac{z}{2021}$ ，则 $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z =$ （）

A、673 B、 $\frac{2020}{3}$ C、 $\frac{2021}{3}$ D、674

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二、填空题

9. 如图，用大小相同的小正方形拼图，第 $1$ 个图是一个小正方形；第 $2$ 个图由 $9$ 个小正方形拼成；第 $3$ 个图由 $25$ 个小正方形拼成，依此规律，若第 $(n + 1)$ 个图比第 $n$ 个图多用了 $72$ 个小正方形，则 $n$ 的值是．

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10. 在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比（即 $\frac{A C}{B C} = \frac{B C}{A B}$ ），可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度 $A B$ 为 $2 m$ 的雕像，则该雕像的下部高度 $B C$ 应设计为 m．（结果保留根号）

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11. 生活中到处可见黄金分割的美.向日葵就是一个很好的例子，如果仔细观察向日葵中心，就会发现似乎有条螺旋形的曲线，如果对此进行计算，结果会得到黄金分割数列，如图是一株向日葵的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割（黄金分割比≈0.618）.已知AC＝2，且AC＞BC，则BC的长约 .

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12. 同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若 $\frac{B C}{\sqrt{n} A C} = \frac{\sqrt{n} A C}{A B}$ ＝kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若 $\frac{B C}{\sqrt{2} A C} = \frac{\sqrt{2} A C}{A B}$ ＝k₂ ，则称点C为线段AB的“近A，2阶黄金分割点”；若 $\frac{B C}{\sqrt{3} A C} = \frac{\sqrt{3} A C}{A B}$ ＝k₃ ，则称点C为线段AB的“近A，3阶黄金分割点”．若点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，k₆＝．

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13. 若 $k = \frac{a + b}{c} = \frac{a + c}{b} = \frac{b + c}{a} (k \neq 0)$ ，则 $k$ 的值为．

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三、解答题

14. 已知a、b、c分别是△ABC的三条边的边长，且a：b：c＝5：7：8，3a-2b+c=9，求△ABC的周长．

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15. 阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知 $\frac{x}{a - b} = \frac{y}{b - c} = \frac{z}{c - a} (a ， b ， c$ 互不相等)，求 $x + y + z$ 的值.

解：设 $\frac{x}{a - b} = \frac{y}{b - c} = \frac{z}{c - a} = k$ ，则 $x = k (a - b)$ ， $y = k (b - c) ， z = k (c - a)$ ，

$∴ x + y + z = k (a - b + b - c + c - a) = k \cdot 0 = 0$ ， $∴ x + y + z = 0$ .

依照上述方法解答下列问题：

已知 $\frac{y + z}{x} = \frac{z + x}{y} = \frac{x + y}{z}$ ，其中 $x + y + z \neq 0$ ，求 $\frac{x + y - z}{x + y + z}$ 的值.

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四、综合题

16. 定义：如图1，点P为线段AB上一点，如果 $\frac{P B}{P A} = \frac{P A}{A B}$ =k，那么我们称点P是线段AB的黄金分割点， $k = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 叫做黄金分割数.

(1)、理解：利用图1，运用一元二次方程的知识，求证：黄金分割数 $k = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ；

(2)、应用：如图2，抛物线y＝x²+nx＋2n（n<0）的图象与x轴交于A、B两点（OA<OB），若原点O是线段AB的黄金分割点，①求线段AB的长；②直接写出点A和点B的坐标.

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17. 如图1所示，点C把线段 $A B$ 分成 $A C$ 与 $C B$ ，若 $\frac{A C}{A B} = \frac{C B}{A C}$ ，则称线段 $A B$ 被点C黄金分割（goldensection），点C叫做线段 $A B$ 的黄金分割点， $A C$ 与 $A B$ 的比叫做黄金比．

(1)、根据上述定义求黄金比；

(2)、在图2中，利用尺规按以下步骤作图，井保留作图痕迹．①作线段 $A B$ 的垂直平分线，得线段 $A B$ 的中点M；②过点B作 $A B$ 垂线l；③以点B为圆心，以 $B M$ 为半径作圆交l于N；④连接 $A N$ 、 $B N$ ，以N为圆心，以 $N B$ 为半径作圆交 $A N$ 于P；⑤以点A为圆心，以 $A P$ 为半径作圆交 $A B$ 于C ．

(3)、证明你按以上步骤作出的C点就是线段 $A B$ 的黄金分割点．

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2023-2024学年初中数学九年级上册 25.1 比例线段 同步分层训练培优卷(冀教版)

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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