2023-2024学年初中数学九年级上册 24.3 一元二次方程根与系数的关系同步分层训练培优卷(冀教版)

试卷更新日期：2023-08-12 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若m，n是方程 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 的两根，如图，表示 $\frac{2 m n^{2}}{m^{2} - n^{2}} - \frac{m n}{m - n}$ 的值所对应的点落在（）

A、第①段 B、第②段 C、第③段 D、第④段

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2. 方程 $x^{2} - 2 x - 24 = 0$ 的根是 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} x_{2} - x_{1} - x_{2}$ 的值为（）

A、22 B、 $- 22$ C、 $- 26$ D、26

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3. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，下列说法：
$①$ 若 $a + b + c = 0$ ，则方程必有一根为 $x = 1$ ；
$②$ 若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 无实根；
$③$ 若方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 且满足 $x_{1} \neq x_{2} \neq 0$ ，则方程 $c x^{2} + b x + a = 0 (c \neq 0)$ ，必有实根 $\frac{1}{x_{1}}$ ， $\frac{1}{x_{2}}$ ；
$④$ 若 $x_{0}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $b^{2} - 4 a c = (2 a x_{0} + b)^{2}$ ．
其中正确的（）

A、 $① ②$ B、 $① ④$ C、 $② ③ ④$ D、 $① ③ ④$

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4. 若关于 $x$ 的方程 $2 x^{2} - (k - 1) x + k + 1 = 0$ 的两个实数根满足关系式 $| x_{1} - x_{2} | = 1$ ，则 $k$ 的值为（）

A、11 B、-1 C、11或-1 D、11或-1或1

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5. 已知二次函数 $y = (2 - a) x^{2} + (a + 2) x - 1$ ，当 $x$ 取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值 $y$ 总相等，则关于 $x$ 的一元二次方程 $(2 - a) x^{2} + (a + 2) x - 1 = 0$ 的两根之积为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、－1 D、0

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6. 已知 $a$ ， $b$ 是实数，定义： $a ※ b = a b + a + b$ ．若 $m$ 是常数，则关于 $x$ 的方程： $x ※ (m x) = - 1$ ，下列说法正确的是（）

A、方程一定有实数根 B、当 $m$ 取某些值时，方程没有实数根 C、方程一定有两个实数根 D、方程一定有两个不相等的实数根

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7. 已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + (2 m - 1) x + m^{2} + 3 = 0$ 的根，则m等于（）

A、 $- 3$ B、 $5$ C、 $5 或 - 3$ D、 $- 5 或 3$

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8. 如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线AC的两侧，且到所在三角形三边的距离都等于1．若AC=5，则EF的长为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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二、填空题

9. 若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 4 x - 2020 = 0$ 的两个实数根，则代数式 $x_{1}^{2} - 2 x_{1} + 2 x_{2}$ 的值等于．

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10. 若 $a$ 和 $b$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 5 = 0$ 的两个实数根，则 $a^{2} - 2 a + b =$ ．

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11. 阅读材料：
如果 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两根，那么有 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题.例 $- 2$ 是方程 $x^{2} + 6 x - 3 = 0$ 的两根，求 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 的值.

解法可以这样： $∵ x_{1} + x_{2} = - 6,$ $x_{1} x_{2} = - 3,$

则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{^{2}})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} =$ ${(- 6)}^{2} - 2 \times (- 3) = 42$ .

请你根据以上解法解答下题：

已知 $- 2$ 是方程 $x^{2} - 4 x + 2 = 0$ 的两根，求：

(1)、 $x_{1}$ + $x_{2}$ = ;

(2)、 $x_{1}$ $x_{2}$ = ;

(3)、 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ =;

(4)、 ${(x_{1} - x_{2})}^{2}$ =.

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12. 已知实数 $a \neq b \neq c$ ，且满足 $\frac{c}{a} = a + 3$ ， $\frac{c}{b} = b + 3$ ．请解决下列问题：

(1)、当 $c = - 1$ 时， $a + b$ 的值为；

(2)、当 $c > 0$ 时， $\frac{a^{2} + b^{2} - 9}{c}$ 的值为．

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13. 如果关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0有两个实数根x₁ ， x₂ ，且满足数轴上x₁ ， x₂所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有．（填序号）
①方程x²﹣4x＝0是关于2的等距方程；

②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x＋1）（mx＋n）＝0一定是关于2的等距方程；

③若方程ax²＋bx＋c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；

④当两根满足x₁＝3x₂ ，关于x的方程px²﹣x $+ \frac{3}{4} =$ 0是关于2的等距方程．

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三、解答题

14. 已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²－（2k＋3）x＋k²＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5，试问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

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15. a是大于零的实数，已知存在唯一的实数 $k$ ，使得关于 $x$ 的二次方程 $x^{2} + (k^{2} + ak) x + 1999 + k^{2} + ak = 0$ 的两个根均为质数 $.$ 求 $a$ 的值．

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四、综合题

16. 已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x²-2（n-1）x+n²-2n＝0的两个根，第三边BC的长是10．

(1)、求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．

(2)、当n为何值时，△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长．

(3)、当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

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17. 已知关于一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列说法：
①若a－b＋c＝0则b²－4ac≥0；②若方程ax²＋bx＋c＝0两根为1和2，则2a－c＝0；③若方程ax²＋c＝0有两个不相等的实根，则方程ax²＋bx＋c＝0必有实根；④若b＝2a＋c，则方程有两个不相等的实数根．

其中正确的是． (填写序号)

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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