2023-2024学年初中数学九年级上册 24.3 一元二次方程根与系数的关系同步分层训练基础卷(冀教版)

试卷更新日期：2023-08-12 类型：同步测试

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一、选择题

1. 设 $α ， β$ 是一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 的两个根，则 $α β$ 的值是（）

A、2 B、1 C、-2 D、-1

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2. 若 $x_{1} ， x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 6 x - 7 = 0$ 的两个根，则（）

A、 $x_{1} + x_{2} = 6$ B、 $x_{1} + x_{2} = - 6$ C、 $x_{1} · x_{2} = \frac{7}{6}$ D、 $x_{1} · x_{2} = 7$

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3. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 的值是（）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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4. 方程 $2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 根的符号是（）

A、两根一正一负 B、两根都是负数 C、两根都是正数 D、无法确定

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5. 若方程 $3 x^{2} - 10 x + m = 0$ 有两个同号不等的实数根，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \geq 0$ B、 $m > 0$ C、 $0 < m < \frac{25}{3}$ D、 $0 < m \leq \frac{25}{3}$

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6. 一元二次方程 $x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的两根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- 3$ C、3 D、 $- \frac{3}{2}$

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7. 下列关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的命题中，真命题有 $($ 　　 $)$
①若 $a - b + c = 0$ ，则 $b^{2} - 4 a c > 0$ ；
②若方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 两根为 $1$ 和 $- 2$ ，则 $a - b = 0$ ；
③若方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有一个根是 $- c (c \neq 0)$ ，则 $b = a c + 1$ ．

A、①②③ B、①② C、②③ D、①③

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8. 已知某三角形的两边长恰是一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的两根，则该三角形第三边长可能是（　　）

A、8 B、7 C、6 D、5

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二、填空题

9. 设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $2 x^{2} + 6 x - 1 = 0$ 的两根，则 $x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2}$ 的值是．

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10. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - x + k + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是.

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11. 若 $x_{1} ， x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ 的两个实数根，则 $\frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2}} =$ .

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12. 写一个一元二次方程：，使其满足：二次项系数为2，且两根分别是2， $- 3$ .

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13. 已知 $m$ ， $n$ （ $m \neq n$ ）是一元二次方程 $x^{2} + x - 2023 = 0$ 的两个实数根，则代数式 $m^{2} + 2 m + n$ 的值为．

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三、解答题

14. 已知一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x - 8 = 0$ 的两个根分别为m，n，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值．

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15. 已知一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ．
①若方程两根为1和2，则 $2 a - c = 0$ ；

②若 $b = 2 a + c$ ，则一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个不相等的实数根；

③若 $m$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $b^{2} - 4 a c = (2 a m + b)^{2}$ 成立．

判断以上说法是否正确，并说明理由．

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四、综合题

16. 阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根 $x_{1} ， x_{2}$ 和系数a，b，c有如下关系： $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ．

材料2：已知一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为m，n，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值．

解：∵m，n是一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根，

∴ $m + n = 1 ， m n = - 1$ ．

则 $m^{2} n + m n^{2} = m n (m + n) = - 1 \times 1 = - 1$ ．

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)、应用：一元二次方程 $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的两个实数根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ， $x_{1} x_{2} =$ ；

(2)、类比：已知一元二次方程 $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的两个实数根为m，n，求 $m^{2} + n^{2}$ 的值；

(3)、提升：已知实数s，t满足 $2 s^{2} + 3 s - 1 = 0 ， 2 t^{2} + 3 t - 1 = 0$ 且 $s \neq t$ ，求 $\frac{1}{s} - \frac{1}{t}$ 的值．

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17. 已知关于x的一元二次方程x²-2(a-1)x+a²-a-2=0有两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．

(1)、若a为正整数，求a的值；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 ${x^{2}}_{1} + {x^{2}}_{2} - x_{1} x_{2} = 16$ ，求a的值.

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2023-2024学年初中数学九年级上册 24.3 一元二次方程根与系数的关系 同步分层训练基础卷(冀教版)

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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