2023年九年级上册数学人教版单元分层测试第二十二章二次函数 B卷

试卷更新日期：2023-08-12 类型：单元试卷

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一、选择题

1. 将抛物线 $y = x^{2} + 2$ 向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（）

A、 $y = {(x + 3)}^{2} - 2$ B、 $y = {(x - 3)}^{2} + 6$ C、 $y = {(x + 3)}^{2} + 6$ D、 $y = {(x - 3)}^{2} + 2$

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2. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 1$ ，则当 $0 \leq x \leq 3$ 时，函数的最大值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、2

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3. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x (a \neq 0)$ ，满足 ${\begin{array}{l} 3 a + b > 0 \\ a + b < 0 \end{array}$ ，已知点 $(- 3 ， m)$ ， $(2 ， n)$ ， $(4 ， t)$ 在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（）

A、 $t < n < m$ B、 $m < t < n$ C、 $n < t < m$ D、 $n < m < t$

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4. 已知，二次数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则点 $P (a ， b)$ 所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 的图象如图所示，则一次函数 $y = x + b$ 的图象一定不经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + c$ 经过正方形 $O A B C$ 的三个顶点A，B，C，点B在 $y$ 轴上，则 $a c$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $- 3$ D、 $- 4$

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7. 在平面直角坐标系中，直线 $y = k x + 1$ 与抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，设 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，则下列结论正确的个数为（）
$① x_{1} \cdot x_{2} = - 4$ ． $② y_{1} + y_{2} = 4 k^{2} + 2$ ． $③$ 当线段 $A B$ 长取最小值时，则 $△ A O B$ 的面积为 $2$ ． $④$ 若点 $N (0 ， - 1)$ ，则 $A N ⊥ B N$ ．

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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8. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y_{1} = m x + n$ 与抛物线 $y_{2} = a x^{2} + b x - 3$ 相交于点 $A$ ， $B$ ．结合图象，判断下列结论：①当 $- 2 < x < 3$ 时， $y_{1} > y_{2}$ ；② $x = 3$ 是方程 $a x^{2} + b x - 3 = 0$ 的一个解；③若 $(- 1 ， t_{1})$ ， $(4 ， t_{2})$ 是抛物线上的两点，则 $t_{1} < t_{2}$ ；④对于抛物线， $y_{2} = a x^{2} + b x - 3$ ，当 $- 2 < x < 3$ 时， $y_{2}$ 的取值范围是 $0 < y_{2} < 5$ ．其中正确结论的个数是（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题

9. 将抛物线 $y = {(x + 3)}^{2}$ 向下平移1个单位长度，再向右平移个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．

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10. 二次函数 $y = x^{2} + 3 x + n$ 的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是（填一个值即可）

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11. 规定：如果两个函数的图象关于 $y$ 轴对称，那么称这两个函数互为“ $Y$ 函数” $.$ 例如：函数 $y = x + 3$ 与 $y = - x + 3$ 互为“ $Y$ 函数” $.$ 若函数 $y = \frac{k}{4} x^{2} + (k - 1) x + k - 3$ 的图象与 $x$ 轴只有一个交点，则它的“ $Y$ 函数”图象与 $x$ 轴的交点坐标为．

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12. 如图，抛物线 $C_{1}$ ： $y = x^{2} + 2 x - 3$ 与抛物线 $C_{2}$ ： $y = a x^{2} + b x + c$ 组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线 $C_{1}$ 和抛物线 $C_{2}$ 与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果 $B D = C D$ ，那么抛物线 $C_{2}$ 的表达式是．

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13. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一个图形上的点都在一边平行于 $x$ 轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如：如图，函数 $y =$ $(x - 2)^{2} (0 ⩽ x ⩽ 3)$ 的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形 $O A B C$ .若二次函数 $y = \frac{1}{4} x^{2} + b x + c (0 ⩽ x ⩽ 3)$ 图象的关联矩形恰好也是矩形 $O A B C$ ，则 $b =$ .

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三、解答题

14. 如图所示，在抛物线上选定两点，我们把过这两点的线段和这条抛物线所围成的图形称作抛物线弓形．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = a x^{2} (a > 0)$ 与直线 $y = x$ 相交于点O和点A ， $O A$ 截得的抛物线弓形的曲线上有一点P ．

（Ⅰ）当 $a = 1$ 时，解答下列问题：

①求A点的坐标；

②连接 $O P$ ， $A P$ ，求 $△ O P A$ 面积的最大值；

③当 $△ O P A$ 的面积最大时，直线 $O P$ 也截得一个更小的抛物线弓形，同理在这个更小的抛物线弓形曲线上也有一点 $P^{'}$ ，连接 $O P^{'}$ ， $P^{'} P$ ，当 $△ O P^{'} P$ 的面积最大时，求这个 $△ O P^{'} P$ 的最大面积与②中 $△ O P A$ 的最大面积的比值；

（Ⅱ）将（Ⅰ）中 $a = 1$ 的条件去掉后，其它条件不变，则 $△ O P^{'} P$ 的最大面积与 $△ O P A$ 的最大面积的比值是否变化？请说明理由．

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15. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．点A坐标的为 $(- 3 ， 0)$ ，点C的坐标为 $(0 ， 3)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点M为线段 $A B$ 上一点（点M不与点A、B重合），过点M作i轴的垂线，与直线 $A C$ 交于点E，与抛物线交于点P，过点P作 $P Q / / A B$ 交抛物线于点Q，过点Q作 $Q N ⊥ x$ 轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形 $P M N Q$ 的周长最大时，求 $△ A E M$ 的面积；

(3)、在（2）的条件下，当矩形 $P M N Q$ 的周长最大时，连接 $D Q$ ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线 $A C$ 交于点G（点G在点F的上方）．若 $F G = 2 \sqrt{2} D Q$ ，求点F的坐标．

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16. 根据以下素材，探索完成任务．

如何设计喷灌器喷水口的升降方案
素材1	随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．图1中某庭院内有一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱成抛物线形．图2是该喷灌器OA喷水时的截面示意图，喷水口A点离地高度为0.25m，喷出的水柱在离喷水口水平距离为2m处达到最高，高度为0.45m，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界B点处．
素材2	为了美化庭院，准备在庭院内沿围墙建花坛种植绣球花，花坛高0.4m，宽0.8m，侧面用大理石包围，长方形BCDE是花坛截面，如图3．调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同，水柱落在花坛的上方DE边上（大理石厚度不计），达到给花坛喷灌的效果．
问题解决
任务1	确定水柱的形状	在图2中，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的表达式．
任务2	确定喷灌器的位置	求出喷灌器OA与围墙的距．
任务3	拟定喷头升降方案	调整喷水口的高度，使水柱可以喷灌花坛，求喷水口距离地面高度的最小值．

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四、综合题

17. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 经过点 $A (- 1 ， 0)$ 和 $B (0 ， 3)$ ，其顶点的横坐标为 $1$ ．

(1)、求抛物线的表达式．

(2)、若直线 $x = m$ 与 $x$ 轴交于点 $N$ ，在第一象限内与抛物线交于点 $M$ ，当 $m$ 取何值时，使得 $A N + M N$ 有最大值，并求出最大值．

(3)、若点 $P$ 为抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴上一动点，将抛物线向左平移 $1$ 个单位长度后， $Q$ 为平移后抛物线上一动点 $.$ 在 $(2)$ 的条件下求得的点 $M$ ，是否能与 $A$ 、 $P$ 、 $Q$ 构成平行四边形？若能构成，求出 $Q$ 点坐标；若不能构成，请说明理由．

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18. 我们约定：若关于x的二次函数 $y_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 与 $y_{2} = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ 同时满足 $\sqrt{a_{2} - c_{1}} + （ b_{2} + b_{1} ）^{2} + | c_{2} - a_{1} | = 0 ， b_{1} - {b_{2}}^{2023} \neq 0$ ，则称函数 $y_{1}$ 与函数 $y_{2}$ 互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：

(1)、若关于x的二次函数 $y_{1} = 2 x^{2} + k x + 3$ 与 $y_{2} = m x^{2} + x + n$ 互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；

(2)、对于任意非零实数r，s，点 $P (r ， t)$ 与点 $Q (s ， t) (r \neq s)$ 始终在关于x的函数 $y_{1} = x^{2} + 2 r x + s$ 的图像上运动，函数 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 互为“美美与共”函数．
①求函数 $y_{2}$ 的图像的对称轴；
②函数 $y_{2}$ 的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；

(3)、在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ 与它的“美美与共”函数 $y_{2}$ 的图像顶点分别为点A，点B，函数 $y_{1}$ 的图像与x轴交于不同两点C，D，函数 $y_{2}$ 的图像与x轴交于不同两点E，F．当 $C D = E F$ 时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．

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19. 如图，抛物线过点 $O (0 ， 0)$ ， $E (10 ， 0)$ ，矩形 $A B C D$ 的边 $A B$ 在线段 $O E$ 上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设 $B (t ， 0)$ ，当 $t = 2$ 时， $B C = 4$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、当t为何值时，矩形 $A B C D$ 的周长有最大值？最大值是多少？

(3)、保持 $t = 2$ 时的矩形 $A B C D$ 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线 $G H$ 平分矩形 $A B C D$ 的面积时，求抛物线平移的距离．

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20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $L_{1}$ 交 $x$ 轴于点 $A (1 ， 0) ， C (5 ， 0)$ ，顶点坐标为 $E (m_{1} ， k)$ ．抛物线 $L_{2}$ 交 $x$ 轴于点 $B (2 ， 0) ， D (10 ， 0)$ ，顶点坐标为 $F (m_{2} ， k)$ ．

(1)、连接 $E F$ ，求线段 $E F$ 的长；

(2)、点 $M (- 7 ， d_{1})$ 在抛物线 $L_{1}$ 上，点 $N (16 ， d_{2})$ 在抛物线 $L_{2}$ 上．比较大小： $d_{1}$ $d_{2}$ ；

(3)、若点 $P (n + 3 ， f_{1}) ， Q (2 n - 1 ， f_{2})$ 在抛物线 $L_{1}$ 上， $f_{1} < f_{2}$ ，求 $n$ 的取值范围．

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2023年九年级上册数学人教版单元分层测试 第二十二章 二次函数 B卷

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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