2023年九年级上册数学人教版单元分层测试第二十一章一元二次方程 B卷

试卷更新日期：2023-08-12 类型：单元试卷

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一、选择题

1. 方程 $2 x^{2} - 5 x + 3 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、没有实数根 D、只有一个实数根

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2. 已知方程x²-4x+k＝0的两个实数根是x₁＝1，x₂＝3，则方程（x-5）²-4（x-5）+k＝0的两个实数根是（　　）

A、x₁＝1，x₂＝3 B、x₁＝6，x₂＝8 C、x₁＝-4，x₂＝-2 D、x₁＝0，x₂＝2

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3. 方程 $2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 根的符号是（）

A、两根一正一负 B、两根都是负数 C、两根都是正数 D、无法确定

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4. 2022年底，新冠疫情持续蔓延，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有441人感染，设每轮传染中平均每个人传染了 $x$ 人，则根据题意可列出方程（）

A、 $x (1 + x) = 441$ B、 $x + {(1 + x)}^{2} = 441$ C、 $x + x (1 + x) = 441$ D、 $1 + x + x (1 + x) = 441$

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5. 已知 $a (a > 1)$ 是关于x的方程 $x^{2} - b x + b - a = 0$ 的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当 $a = t ＋ 1$ 时，一定有 $b = t - 1$ ；③b是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（）

A、①② B、②③ C、①③ D、③④

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6. 设a，b是方程 $x^{2} + x - 2023 ＝ 0$ 的两个实数根，则 $a^{2} + 2 a + b$ 的值为（）

A、2024 B、2021 C、2023 D、2022

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7. 已知关于x的一元二次方程 $(p + 1) x^{2} + 2 q x + (p + 1) = 0$ （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（）．

A、1可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 B、-1可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 C、0可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 D、1和-1都是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根

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8. 下列命题：① 若b＝a＋c时，一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 一定有实数根；② 若方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个不相等的实数根，则方程 $c x^{2} + b x + a = 0$ 也一定有两个不相等实数根；③ 若二次函数 $y = a x^{2} + c$ ，当取 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ （ $x_{1} \neq x_{2}$ ）时，函数值相等，则当x取 $x_{1} + x_{2}$ 时函数值为0；④ 若 $b^{2} - 4 a c > 0$ ，则二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3，其中正确结论的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

9. 若关于x的一元二次方程x²+ax+2a+3=0的一个根是1，则a的值是.

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10. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 x - a = 0$ 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．

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11. 有一个正方形的花园，如果它的边长增加 $2 m$ ，那么花园面积将增加 $16 m^{2}$ ，则原花园的面积为．

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12. 已知实数 $a \neq b \neq c$ ，且满足 $\frac{c}{a} = a + 3$ ， $\frac{c}{b} = b + 3$ ．请解决下列问题：

(1)、当 $c = - 1$ 时， $a + b$ 的值为；

(2)、当 $c > 0$ 时， $\frac{a^{2} + b^{2} - 9}{c}$ 的值为．

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三、解答题

13. 先化简，再求值： $(1 + \frac{1}{x + 1}) \div \frac{x^{2} - 4}{2 x + 2}$ ，其中 $x$ 是一元二次方程 $x^{2} - 1 = 0$ 的解．

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14. 在学习多边形的相关知识时，小张同学和小王同学对老师布置“探究多边形的对角线条数”的作业很盛兴趣，小张同学探究得到了 $n$ 边形的对角线条数的公式，并通过上网查证自己探究的结论是正确的．下图是两位同学进行交流的情景．

小王同学把哪个多边形对角线的条数数错了？请你通过计算或者画图来说明．

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15. 如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度 $D E = 1 m$ ，将它往前推送 $6 m$ （水平距离 $B C = 6 m$ ）时，秋千的踏板离地的垂直高度 $B F = C E = 3 m$ ，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索 $A D$ 的长度？

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四、综合题

16. 设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 p x - p = 0$ 的两根， $p$ 为实数．

(1)、求证： $2 p x_{1} + x_{2}^{2} + 3 p \geq 0$ ．

(2)、当 $| x_{1} - x_{2} | \leq | 2 p - 3 |$ 时，求 $p$ 的最大值．

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17. 若一个整数能表示成 $a^{2} + b^{2}$ （a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如， $13 = 3^{2} + 2^{2}$ ，所以13是“完美数”，再如， $M = x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = (x + y)^{2} + y^{2}$ （x，y是整数），所以M也是“完美数”.

(1)、请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是；
判断：45（请填写“是”或“不是”）“完美数”；

(2)、已知 $S = x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 4 y + k$ （x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由.

(3)、如果数m，n都是“完美数”， $m \neq n$ ，试说明 $\frac{(m + n)^{2} - (m - n)^{2}}{4}$ 也是“完美数”.

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18. 已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x²-2（n-1）x+n²-2n＝0的两个根，第三边BC的长是10．

(1)、求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．

(2)、当n为何值时，△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长．

(3)、当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

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19. 阅读材料：把形如 $a x^{2} + b x + c$ 的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ 配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用.
例如：①我们可以将代数式 $a^{2} + 6 a + 10$ 进行变形，其过程如下

$a^{2} + 6 a + 10 = (a^{2} + 6 a) + 10 = (a^{2} + 6 a + 9) + 10 - 9 = (a + 3)^{2} + 1$ .

$∵ (a + 3)^{2} \geq 0$ ，

$∴ (a + 3)^{2} + 1 \geq 1$ .

因此，该式有最小值1.

②已知： $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 a c = 0$ 将其变形， $a^{2} + 2 a b + 2 a c + b^{2} + 2 b c + c^{2} = 0$ ，

$a^{2} + 2 a (b + c) + (b + c)^{2} = 0$ ，可得 $(a + b + c)^{2} = 0$ .

(1)、按照上述方法，将代数式 $x^{2} + 8 x + 20$ 变形为 $a (x + h)^{2} + k$ 的形式；

(2)、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是 $△ A B C$ 的三边，且满足 $a^{2} + 2 b^{2} + c^{2} - 2 b (a + c) = 0$ ，试判断此三角形的形状并说明理由；

(3)、已知 $(x - m) (x - n) = x^{2} - p x + q$ .
①若 $p = 3$ ， $q = 2$ ，则代数式 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} =$ ▲ ；

②若 $q = \frac{1}{4}$ ，求代数式 $m^{2} + n^{2} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值.

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2023年九年级上册数学人教版单元分层测试 第二十一章 一元二次方程 B卷

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