2023年浙教版数学八年级上册1.3 证明同步测试（培优版）

试卷更新日期：2023-08-12 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 在下列生活实例中，数学依据不正确的是（）

A、在植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上，依据的是两点确定一条直线； B、在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼和两个准星在一条直线上，才能射中目标，依据的是两点之间线段最短； C、从甲地到乙地，原来是绕山而过，如今穿山修了一条笔直的隧道，大大节约了路程，依据的是两点之间线段最短； D、体育课上，体育老师测量跳远距离的时候，测的是落脚脚跟到起跳线的距离，依据的是垂线段最短.

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2. 如图，用剪刀沿图中虚线将一个正方形图片减掉一部分，发现剩下部分的周长比原正方片的周长要小，能解释这一现象的数学知识是（）

A、垂线段最短 B、经过一点有无数条直线 C、两点确定一条直线 D、两点之间，线段最短

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3. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF $∥$ BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90° $+ \frac{1}{2}$ ∠A，②∠EBO $= \frac{1}{2}$ ∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S_△AEF $= \frac{m n}{2}$ ．其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 如图，将两张长为 $a$ ，宽为 $b$ 的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形 $A B C D$ 中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为 $S_{1}$ 和 $S_{2} .$ 若知道下列条件，仍不能求 $S_{1} - S_{2}$ 值的是（）

A、长方形纸片长和宽的差 B、长方形纸片的周长和面积 C、①和②的面积差 D、长方形纸片和①的面积差

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5. 如图，AB $∥$ CD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论：①CD $∥$ PH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝180°；其中正确结论是（）

A、①②③④ B、①②④ C、①③④ D、①②

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6. 如图a∥b， $c$ 与 $a$ 相交， $d$ 与 $b$ 相交，下列说法：
①若 $∠ 1 = ∠ 2$ ，则 $∠ 3 = ∠ 4$ ；
②若 $∠ 1 + ∠ 4 = 180 °$ ，则c∥d；
③ $∠ 4 - ∠ 2 = ∠ 3 - ∠ 1$ ；
④ $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 360 °$ ，
正确的有（）

A、①③④ B、①②③ C、①②④ D、②③

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7. 如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD，BC的中点，下列结论：
①若AD＝BM，则AB＝3BD；②AC＝BD，则AM＝BN；③AC﹣BD＝2（MC﹣DN）；④2MN＝AB﹣CD．

其中正确的结论是（）

A、①②③ B、③④ C、①②④ D、①②③④

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8. 如图，AB=30，C为射线AB上一点，BC比AC的4倍少20，P、Q两点分别从AB两点同时出发分别以2单位/秒和l单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC=2AC；②运动过程中，QM的长度保持不变；③AB=4NQ；④当BQ=PB时，t=12.其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 若 $a$ ， $b$ 为实数且满足 $a \neq - 1$ ， $b \neq - 1$ ，设 $M = \frac{a}{a + 1} + \frac{b}{b + 1}$ ， $N = \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}$ ，有以下2个结论： $①$ 若 $a b = l$ ，则 $M = N$ ； $②$ 若 $a + b = 0$ ，则 $M N \leq 0 .$ 下列判断正确的是（）

A、①对②错 B、①错②对 C、①②都错 D、①②都对

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10. 在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，不能判断射线AD平分∠BAC的是（）

A、图2 B、图1与图2 C、图1与图3 D、图2与图3

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二、填空题（每空4分，共20分）

11. 在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下面四个结论：
① $a b c < 0$ ， ② $| a - b | + | b - c | = | a - c |$ ， ③ $(a - b) (b - c) (c - a) > 0$ ， ④ $| a | < 1 - b c$ ， ⑤ $a + c > - 1$ 其中，正确的结论有（填序号）.

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12. 若 $a + b + c = 0$ ，且 $a > b > c$ ，以下结论：
① $a > 0$ ， $c > 0$ ；

②关于x的方程 $a x + b + c = 0$ 的解为 $x = 1$ ；

③ $a^{2} = {(b + c)}^{2}$

④ $\frac{a}{| a |} + \frac{b}{| b |} + \frac{c}{| c |} + \frac{a b c}{| a b c |}$ 的值为0或2；

⑤在数轴上点A.B.C表示数a、b、c，若 $b < 0$ ，则线段AB与线段BC的大小关系是 $A B > B C$ .

其中正确的结论是（填写正确结论的序号）.

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13. 如图，张萌的手中有一张正方形纸片ABCD（AD∥BC），点E，F分别在AB个CD上，且EF∥AD，此时张萌判断出EF∥BC，则张萌判断出该结论的理由是．

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14. 如图，点C，D在线段BE上（C在D的左侧），点A在线段BE外，连接AB，AC，AD，AE，已知∠BAE ＝ 120°，∠CAD ＝ 60°，有下列说法：①直线CD上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；②作∠BAM＝ $\frac{1}{2}$ ∠BAD，∠EAN＝ $\frac{1}{2}$ ∠EAC.则∠MAN＝30°；③以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为420°；④若BC＝2，CD＝DE＝3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B，C，D，E的距离之和最大值为17，最小值为11.其中说法正确的有 .（填上所有正确说法的序号）

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15. 将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55° $3 0^{'}$ ；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1.能判断直线m $∥$ n的有.（填序号）

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三、解答题（共9题，共70分）

16. 判断一个正整数能被3整除的方法是：把这个正整数各个数位上的数字相加，如果所得的和能够被3整除，则这个正整数就能被3整除.请证明对于任意两位正整数，这个判断方法都是正确的.

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17. 如图，AB∥CD，且∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，判断∠P 与∠Q的数量关系，并说明理由．

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18. 如图①，AB $∥$ CD，M为平面内一点，若BM⊥MC，则易证∠ABM与∠DCM互余．

(1)、如图②，AB $∥$ CD．点M在射线EA上运动，猜想点M在点A和D之间时，∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系，并证明．

(2)、在（1）的条件下，当点M在射线EA的其它位置上时（不与点E，A，D重合）请直接写出∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系．

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19. 阅读下列材料：
如图1， $A B ∥ C D$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $C D$ 上的点，点 $P$ 在 $A B$ ， $C D$ 之间，连接 $P E$ ， $P F$ ．用等式表示 $∠ A E P$ ， $∠ E P F$ 与 $∠ C F P$ 的数量关系．
小刚通过观察，实验，提出猜想： $∠ E P F = ∠ A E P + ∠ C F P$ ．
接着他对猜想的结论进行了证明，证明思路是：
过点 $P$ 作 $P M ∥ A B$ ，由 $A B ∥ C D$ ，可得 $P M ∥ C D$ ，根据平行线的性质，可得 $∠ 1 = ∠ A E P$ ， $∠ 2 = ∠ C F P$ ，从而证得 $∠ E P F = ∠ A E P + ∠ C F P$ ．
请你利用小刚得到的结论或解题思路，完成下列问题．
已知 $A B ∥ C D$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $C D$ 上的点，点 $P$ 在 $A B$ ， $C D$ 之间，连接 $P E$ ， $P F$ ．

(1)、如图2，若 $∠ A E P = 45 °$ ， $∠ E P F = 80 °$ ，则 $∠ P F D$ 的度数为；

(2)、如图3， $∠ A E P$ 与 $∠ C F P$ 的平分线交于点 $Q$ ，用等式表示 $∠ E P F$ 与 $∠ E Q F$ 的数量关系，并证明；

(3)、如图4， $∠ A E P$ 与 $∠ C F P$ 的平分线交于点 $Q$ ，直接用等式表示 $∠ E P F$ 与 $∠ E Q F$ 的数量关系．

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20. 将下列推证过程补充完整．

(1)、如图1，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高．
①BE== $\frac{1}{2}$ ；
②∠BAD== $\frac{1}{2}$ ；
③∠AFB==90°；
④S_△_ABC= ．

(2)、如图2，AB∥CD，∠BAE=∠DCE=45°，
∵AB∥CD
∴∠1+45°+∠2+45°= ．
∴∠1+∠2= ．
∴∠E= ．

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21. 我们常用以下的方法判断一个数字能否被三整除：例如一个三位数M，百位数字、十位数字、个位数字依次是a、b、c，如果a、b、c的和可以被三整除，那么就可以判断M可以被三整除．小明同学在学习过代数式的相关知识后，解释了这样判断的依据，请完成下面的说理过程：

(1)、这个三位数M可以表示为；

(2)、设k表示任意一个整数，则a＋b＋c＝（用含k的代数式表示）；

(3)、完成说理过程：
因为M＝a＋b＋c＋（）＝（）＋3（）＝ 3（），而a、b、k都是整数，所以M可以被三整除．

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22. （阅读与理解）小天同学看到如下的阅读材料：

对于一个数A，以下给出了判断数A是否为19的倍数的一种方法：

每次划掉该数的最后一位数字，将划掉这个数字的两倍与剩下的数相加得到一个和，称为一次操作，依此类推，直到数变为20以内的数为止．若最后得到的数为19.则最初的数A就是19的倍数，否则，数A就不是19的倍数．

以 $A = 436$ 为例，经过第一次操作得到55，经过第二次操作得到15， $15 < 20$ ， $15 \neq 19$ ．所以436不是19的倍数．

当数A的位数更多时，这种方法依然适用．

(1)、（操作与说理）

当 $A = 532$ 时，请你帮小天写出判断过程；

(2)、小天尝试说明方法的道理，他发现解决问题的关键是每次判断过程的第一次操作，后续的操作道理都与第一次相同，于是他列出了如下表格进行分析．请你补全小天列出的表格：

说明： $\bar{a b c}$ 表示 $100 a + 10 b + c$ ，其中 $1 \leq a \leq 9 ， 0 \leq b \leq 9 ， 0 \leq c \leq 9$ ， a，b，c均为整数．

A	A的表达式	第一次操作得到的和，记为M（A）
436	436＝10×43＋6	M（436）＝43＋2×6
532	532＝	M（532）＝
863	863＝10×86＋3	M（863）＝86＋2×3
……	……	……
$\bar{a b c}$	$\bar{a b c}$ ＝	M（ $\bar{a b c}$ ）＝

(3)、利用以上信息说明：当M（

\bar{a b c}

）是19的倍数时，

\bar{a b c}

也是19的倍数．

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23. 若∠A与∠B的两边分别垂直，请判断这两个角的等量关系.

(1)、如图1，∠A与∠B的关系是；如图2，∠A与∠B的关系是；

(2)、若∠A与∠B的两边分别平行，试探索这两个角的等量关系，画图并证明你的结论.

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24. 探究：如图①， $A B / / C D / / E F$ ，试说明 $∠ B C F = ∠ B + ∠ F$ ．下面给出了这道题的解题过程，请在下列解答中，填上适当的理由．

解： ∵ $A B / / C D$ ．(已知)

∴ $∠ B = ∠ 1$ ．（）

同理可证， $∠ F = ∠ 2$ ．

∵ $∠ B C F = ∠ 1 + ∠ 2$ ，

∴ $∠ B C F = ∠ B + ∠ F$ ．（）

应用：如图②， $A B / / C D$ ，点F在 $A B 、 C D$ 之间， $F E$ 与 $A B$ 交于点M， $F G$ 与 $C D$ 交于点N．若 $∠ E F G = 115 °$ ， $∠ E M B = 55 °$ ，则 $∠ D N G$ 的大小为度．

拓展：如图③，直线 $C D$ 在直线 $A B 、 E F$ 之间，且 $A B / / C D / / E F$ ，点 $G 、 H$ 分别在直线 $A B 、 E F$ 上，点Q是直线 $C D$ 上的一个动点，且不在直线 $G H$ 上，连结 $Q G ， Q H$ ．若 $∠ G Q H = 70 °$ ，则 $∠ A G Q + ∠ E H Q$ =度．

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2023年浙教版数学八年级上册1.3 证明 同步测试（培优版）

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每空4分，共20分）

三、解答题（共9题，共70分）

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