2023-2024学年高中数学人教A版必修一 4.5 函数的应用（二）同步练习

试卷更新日期：2023-08-11 类型：同步测试

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一、选择题

1. 函数 $f (x) = 2^{x} + 2 x - 7$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(4 ， 5)$

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2. 函数 $f (x) = l n x - \frac{1}{x}$ 在下列区间中存在零点的是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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3. 利用二分法求方程 $2 x^{3} + 3 x - 3 = 0$ 的近似解时，若第一次确定的有解区间是 $[0 ， 1]$ ，则第二次确定的有解区间是（）

A、 $[1 ， 2]$ B、 $[\frac{1}{2} ， 2]$ C、 $[\frac{1}{2} ， 1]$ D、 $[0 ， \frac{1}{2}]$

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4. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x ， x \leq 0 ， \\ l n x ， x > 0 ， \end{array}$ 若关于的方程 $f (x) = k$ 恰有两个不同的实数解，则实数k的取值范围是（）

A、{-1} B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(0 ， + \infty)$ D、 ${- 1} \cup (0 ， + \infty)$

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5. 已知f(x)的定义域为R，且是最小正周期为2的周期函数.当 $0 \leq x < 2$ 时，f(x)＝x³－x，则函数y＝f(x)的图象在区间［0，6］上与x轴的交点个数为（）

A、9 B、8 C、7 D、6

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6. 函数 $f (x) = x^{2} (x - a)$ ，若 $f (2) \cdot f (3) < 0$ ，则 $f (- 1) ， f (2) ， f (3)$ 的大小关系是（）

A、 $f (- 1) < f (2) < f (3)$ B、 $f (2) < f (- 1) < f (3)$ C、 $f (2) < f (3) < f (- 1)$ D、 $f (3) < f (2) < f (- 1)$

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7. 若直角坐标平面内的两点 $P$ 、 $Q$ 满足条件：① $P$ 、 $Q$ 都在函数 $y = f (x)$ 的图象上；② $P$ 、 $Q$ 关于原点对称，则称点对 $[P 、 Q]$ 是函数 $y = f (x)$ 的一对“友好点对”（点对 $[P 、 Q]$ 与 $[Q 、 P]$ 看作同一对“友好点对”）．已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} (x \leq 0) \\ x^{2} - 2 x (x > 0) \end{array}$ ，则此函数的“友好点对”有（）

A、4对 B、3对 C、2对 D、1对

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8. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足① $f (x) = | x | (- 1 \leq x \leq 1)$ ；② $f (x) = f (x + 2)$ ，则函数 $f (x)$ 与 $g (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} ， & x \leq 0 \\ l o g_{\frac{1}{2}} x ， & x > 0 \end{array}$ 的图象在区间［－3，3]上的交点个数为（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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9. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x + 2 | ， x \leq 0 \\ | l o g_{2} x | ， x > 0 \end{array}$ ，若关于x的方程 $f (x) = a$ 有4个不等实根，则a的取值范围是（）

A、 $(0 ， 2]$ B、 $[0 ， 2)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $[0 ， 2]$

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10. 函数 $f (x) = l g | x | - | x^{2} - 2 |$ 的零点个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、多项选择题

11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{\frac{1}{2}} ， 0 \leq x < 1 \\ {(x - 2)}^{2} ， x \geq 1 \end{array}$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $f (3) = 1$ B、函数 $f (x)$ 是定义域上的增函数 C、函数 $f (x)$ 有 $2$ 个零点 D、方程 $f (x) = x$ 有两个实数解

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12. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{3} ， x \leq 0 \\ f (x - 2) ， x > 0 \end{array}$ ，则（）

A、 $f (5) = - 1$ B、当 $x \in (0 ， 2]$ 时， $f (x) = - {(x - 2)}^{3}$ C、方程 $f (x) = 8$ 只有一个实数根 $- 2$ D、方程 $f (x) = l o g_{\sqrt{2}} x$ 有 $8$ 个不等的实数根

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13. 函数 $f (x) = 2 x^{2} - 4 l n x - 3$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(\frac{1}{e} ， 1)$ 内有零点 B、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{1}{e})$ 内有零点 C、 $f (x)$ 在 $(1 ， \sqrt{e})$ 内有零点 D、 $f (x)$ 在 $(e ， e^{2})$ 内有零点

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14. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的图象连续不断，若存在常数 $λ (λ \in R)$ ，使得 $f (x + λ) + λ f (x) = 0$ 对于任意的实数 $x$ 恒成立，则称 $f (x)$ 是回旋函数.给出下列四个命题，正确的命题是（）

A、函数 $f (x) = a$ （其中 $a$ 为常数， $a \neq 0)$ 为回旋函数的充要条件是 $λ = - 1$ B、函数 $f (x) = 2 x + 1$ 是回旋函数 C、若函数 $f (x) = a^{x} (0 < a < 1)$ 为回旋函数，则 $λ < 0$ D、函数 $f (x)$ 是 $λ = 2$ 的回旋函数，则 $f (x)$ 在 $[0 ， 2022]$ 上至少有1011个零点

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15. 已知函数 $f (x) = x + m - n^{x}$ 的零点 $x_{0} \in (k ， k + 2) ， k \in Z$ ，且m，n满足 $m \in (1 ， 2) ， 202 3^{n} = 2022$ ，则k的可能值为（）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、 $- 1$ D、0

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16. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，若函数 $y = f (x + 1)$ 的图象关于点 $(- 1 ， 0)$ 对称，且函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} ， x \in (0 ， 1) \\ 2^{x - 1} - 2 ， x \in [1 ， + ∞) \end{array}$ ，关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) - 2 m f (x) = 2 (m \in R)$ 有 $n$ 个不同的实数解，则 $n$ 的所有可能的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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三、填空题

17. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + a x ， x \leq 1 \\ 2 a x - 5 ， x > 1 \end{array}$ ，若存在 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，则实数a的取值范围是．

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18. 已知函数 $f (x) = l o g_{3} x + 2^{x} - 6$ 的零点为 $a$ ，则 $a \in (n ， n + 1) (n \in N)$ ，则 $n =$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a x + 1 ， x \leq 0 \\ | l n x | ， x > 0 \end{array}$ ，给出下列三个结论：
①当 $a = - 2$ 时，函数 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(- \infty ， 1)$ ；
②若函数 $f (x)$ 无最小值，则 $a$ 的取值范围为 $(0 ， + \infty)$ ；
③若 $a < 1$ 且 $a \neq 0$ ，则 $\exists b \in R$ ，使得函数 $y = f (x) - b$ .恰有3个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} x_{2} x_{3} = - 1$ ．
其中，所有正确结论的序号是．

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20. 若 $f (x) = {\begin{array}{l} 3^{- x} ， x \leq 0 ， \\ l o g_{\frac{1}{3}} x ， x > 0 ， \end{array}$ 若 $g (x) = f (x) - x + t$ 有两个零点，则实数 $t$ 的取值范围为.

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四、解答题

21. 已知常数 $a \in R$ ，函数 $f (x) = l o g_{2} (\frac{1}{2^{x}} + a)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) ≤ 1$ 的解集（用区间表示）；

(2)、若函数 $y = f (x) + 2 x$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围；

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} + (1 - k) x + 2 - k$ ．

(1)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 2$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， 1)$ 上有两个不同的零点，求实数 $k$ 的取值范围．

(3)、对任意的 $x \in (- 1 ， 2)$ ， $f (x) \geq 1$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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23. 已知函数 $f (x) = \frac{4^{x} - a \cdot 2^{x + 1} + a^{2} + 1}{2^{x}}$ ， $a \in R$ .

(1)、判断 $f (x)$ 是否有零点，若有，求出该零点；若没有，请说明理由；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x \in [1 ， 3]$ 上为单调递增函数，求实数 $a$ 的取值范围.

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24. 已知幂函数 $f (x) = m^{2} \cdot x^{1 - 3 m}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - a$ 在 $(1 ， 2)$ 上有零点，求 $a$ 的取值范围．

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25. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x - b (a ， b \in R)$ ．

(1)、若 $b = - 1$ ，且函数 $f (x)$ 有零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $b = 1 - a$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 0$ ；

(3)、若正数 $a ， b$ 满足 $a + \frac{4}{b} \leq 3$ ，且对于任意的 $x \in [1 ， + \infty) ， f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a ， b$ 的值．

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26. 已知函数 $f (x) = x - l n x - 1 ， g (x) = e^{x} - x - 1$ ，对 $t > 0$ 且 $\frac{x + t - 1}{x - 1} > 0$ ，恒有 $\frac{f (x + t) - f (x)}{x - 1} > 0$

(1)、求 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、证明： $y = f (x)$ 的图象与 $y = g (x)$ 的图象只有一个交点.

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