2023-2024学年高中数学人教A版必修一4.4 对数函数同步练习

试卷更新日期：2023-08-11 类型：同步测试

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一、选择题

1. 设 $a = l o g_{3} 10$ ， $b = 2^{0.3}$ ， $c = 0 . 8^{3}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $a < c < b$

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2. 函数 $f (x) = \sqrt{l o g_{2} (x - 1)}$ 的定义域是（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(2 ， + \infty)$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $[2 ， + \infty)$

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3. 已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $l n \frac{1}{a} = e^{- b} = c$ （其中 $e$ 为自然对数的底数），则下列关系中不可能成立的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a = b = c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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4. 若 $l o g_{\frac{1}{2}} (4 - x^{2}) > l o g_{\frac{1}{2}} (2 x + 1)$ ，则实数 $x$ 的取值范围是（）

A、 $1 < x < 2$ B、 $x < - 3$ 或 $x > 1$ C、 $- 2 < x < 2$ D、 $- \frac{1}{2} < x < 2$

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5. 已知 $y = l o g_{a} (8 - 3 a x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上是减函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， \frac{4}{3})$ C、 $[\frac{4}{3} ， 4)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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6. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象与函数 $y = e^{x}$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称，则函数 $y = f (x^{2} - 4 x + 3)$ 的单调递增区间为（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- \infty ， 2)$ C、 $(2 ， + ∞)$ D、 $(3 ， + \infty)$

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7. “ $l o g_{3} x l o g_{2} \frac{x}{4} < 3$ ”是“ $\frac{1}{x - 1} > 1$ ”的（）

A、必要不充分条性 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、不充分也不必要条件

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8. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，图象恒过 $(1 ， 1)$ 点，对任意 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > - 1$ 则不等式 $f [l o g_{2} (2^{x} - 1)] < 2 - l o g_{2} (2^{x} - 1)$ 的解集为（）

A、 $(0 ， + ∞)$ B、 $(- \infty ， l o g_{2} 3)$ C、 $(- \infty ， 0) ∪ (0 ， l o g_{2} 3)$ D、 $(0 ， l o g_{2} 3)$

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二、多项选择题

9. 设 $a = 1 6^{0.3}$ ， $b = 9^{0.6}$ ， $c = l o g_{\sqrt{2}} \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $a > c$ B、 $b > c$ C、 $a > b$ D、 $b > a$

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10. 已知 $0 < l o g_{a} 2022 < l o g_{b} 2022$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $b > a > 1$ B、 $a^{- 2} < b^{- 2}$ C、 $\frac{b^{2}}{a} + \frac{a^{2}}{b} > 2$ D、若 $m > 0$ ，则 $\frac{b}{a} < \frac{b + m}{a + m}$

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11. 下列选项中正确的有（）

A、函数 $f (x) = l o g_{a} (2 x - 3) + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象过定点 $(2 ， 1)$ B、已知函数 $f (x + 1)$ 的定义域是 $(- 1 ， 2)$ ，则函数 $f (2 x - 1)$ 的定义域是 $(1 ， 4)$ C、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \leq 0$ 时 $f (x) = 2^{x} + x - 1$ ，则当 $x > 0$ 时， $f (x)$ 的解析式为 $f (x) = - 2^{- x} + x + 1$ D、若 $a^{- x} + l n (- y) > a^{y} + l n x (a > 1 ， x > 0 ， y < 0)$ ，则 $x^{3} + y^{3} < 0$

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12. 下列说法正确的是（）

A、函数 $y = l o g_{2} (x^{2} - 2 x - 3)$ 的增区间是 $(1 ， + \infty)$ B、函数 $y = 2^{| x |}$ 是偶函数 C、函数 $y = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 2 x - 3}$ 的减区间是 $(1 ， + \infty)$ D、幂函数图象必过原点

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三、填空题

13. 已知集合 $A = {y | y = l o g_{2} x ， x > 1}$ ， $B = {y | y = {(\frac{1}{2})}^{x} ， x > 1}$ ，则 $A ∩ B =$ ．

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14. 设方程 $2^{x + 1} + x - 6 = 0$ 的解为 $x_{1}$ ，方程 $l o g_{2} \frac{x}{2} + x - 6 = 0$ 的解为 $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ．

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15. 函数 $y = l o g_{2} (2^{x} + 2)$ 的值域为.

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16. 不等式 $x^{2} - x - 2 < l o g_{2} (x + 2) - l o g_{\sqrt{2}} x$ 的解集为.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (3 + 2 x) ， g (x) = l o g_{a} (3 - 2 x) ， (a > 0 ， a \neq 1)$ ．

(1)、求函数 $f (x) - g (x)$ 的定义域，并判断函数 $f (x) - g (x)$ 的奇偶性(并予以证明)；

(2)、求使 $f (x) - g (x) > 0$ 的x的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = {(l o g_{3} x)}^{2} - a l o g_{3} x^{2} - 3$ ， x∈[ $\frac{1}{3}$ ， 9].

(1)、当a=0时，求函数f(x)的值域；

(2)、若函数f(x)的最小值为-6，求实数a的值.

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19. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (\frac{1}{x} + a x + a - 3)$ （ $a \geq 0$ ）.

(1)、当 $a = 0$ 时，解关于 $x$ 的不等式： $f (x) > 2$ ；

(2)、若 $f (x)$ 在 $x > 0$ 时都有意义，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 已知 $f (x) = (2 a^{2} - 5 a - 2) l o g_{a} x$ 是对数函数.

(1)、求a的值.

(2)、函数 $g (x) = f (x^{2} + k x + 3)$ ， $x \in [0 ， 2]$ ，是否存在正实数k，使得 $g (x) = 2$ 有解？若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = l o g_{5} (x^{2} - a x + a)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，求a的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 的值域为 $R$ ，求a的取值范围：

(3)、若 $a = 2$ ，求 $f (x)$ 的值域：

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22. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} x + b (a > 1)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 的图像过点 $(1 ， 1)$ ，求b的值：

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[2 ， 4]$ 上的最大值与最小值的差为2，求a的值．

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23. 已知函数 $f (x) = 4^{x} - a \cdot 2^{x} + 1$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的反函数 $f^{- 1} (x)$ ；

(2)、若 $x \in [1 ， 2]$ 时 $f (x)$ 的最小值是 $g (a)$ ，求 $g (a)$ 解析式．

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24. 已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ ，函数 $g (x) = l o g_{\frac{1}{2}} x$ ．

(1)、若 $g (m x^{2} + 2 x + m)$ 的值域为R，求实数m的取值范围；

(2)、当 $x \in [- 1 ， 1]$ 时，求函数 $y = {[f (x)]}^{2} - 2 a f (x) + 3$ 的最小值h(a)；

(3)、是否存在非负实数m，n，使得函数 $y = l o g_{\frac{1}{2}} f (x^{2})$ 的定义域为[m，n]，值域为[3m，3n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，则说明理由．

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一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

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