2023-2024学年高中数学人教A版必修一4.3 对数同步练习

试卷更新日期：2023-08-11 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知 $a l o g_{3} 4 = 1$ ， $2^{b} = 6$ 则（）

A、 $a = 1 + b$ B、 $b = 1 + a$ C、 $a = 1 + 2 b$ D、 $b = 1 + 2 a$

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2. 声强级 $L$ （单位：dB）由公式 $L = 10 l g (\frac{I}{1 0^{- 12}})$ 给出，其中I为声强（单位：W/ $m^{2}$ ），一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB，蝙幅发出超声波的声强级为140dB，设蝙蝠发出的超声波的声强为 $I_{1}$ ，人能忍受的最高声强为 $I_{2}$ ，则 $\frac{I_{1}}{I_{2}}$ =（）

A、10 B、100 C、1000 D、10000

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3. $l g 2 \cdot l o g_{8} 10$ 的值为（）

A、 $3$ B、 $l o g_{3} 10$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $l g 3$

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4. 若 $2^{a} = 5^{b} = 10$ ，则 $2^{\frac{a}{b}} =$ （）

A、2 B、4 C、5 D、10

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5. 设 $l g 3 = a$ ， $l g 5 = b$ ，则 $l g \frac{27}{4}$ =（）

A、 $\frac{3 a}{2 b}$ B、 $\frac{3 a}{2 - 2 b}$ C、 $3 a - 2 b$ D、 $3 a + 2 b - 2$

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6. 下列等式成立的是（）

A、 $l o g_{2} 2^{3} = 3 l o g_{2} 2$ B、 $l o g_{2} (8 + 4) = l o g_{2} 8 + l o g_{2} 4$ C、 $l o g_{2} (8 - 4) = l o g_{2} 8 - l o g_{2} 4$ D、 $\frac{l o g_{2} 8}{l o g_{2} 4} = l o g_{2} \frac{8}{4}$

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7. 设 $l o g_{2} 3 = a$ ，则 $2^{1 + 2 a} =$ （）

A、8 B、11 C、12 D、18

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8. 已知 $l o g_{2} a + l o g_{2} b = 1$ 且 $\frac{1}{2 a} + \frac{9}{b} \geq m^{2} - 2 m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 1] \cup [3 ， \infty)$ B、 $(- \infty ， - 3] \cup [1 ， \infty)$ C、 $[- 1 ， 3]$ D、 $[- 3 ， 1]$

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9. 区块链作为一种新型技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，若某个密码的长度设定为1024 $B$ ，则密码一共有 $2^{1024}$ 种可能，为了破解该密码，计算机在一般状态下，最多需要进行 $2^{1024}$ 次运算.现在有一台计算机，每秒能进行 $2.5 \times 1 0^{14}$ 次运算，那么该计算机在一般状态下破译该密码所需的最长时间大约为（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.3 ， \sqrt[5]{1 0^{4}} \approx 6.310$ ）

A、 $6.310 \times 1 0^{292} s$ B、 $3.232 \times 1 0^{292} s$ C、 $6.310 \times 1 0^{288} s$ D、 $3.232 \times 1 0^{288} s$

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10. 在流行病学中，每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长．当基本传染数低于1时，疫情才可能逐渐消散．而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径．假设某种传染病的基本传染数为 $R_{0}$ ， 1个感染者平均会接触到 $N$ 个新人 $(N ⩾ R_{0})$ ，这 $N$ 人中有 $V$ 个人接种过疫苗（ $\frac{V}{N}$ 称为接种率），那么1个感染者可传染的新感染人数为 $\frac{R_{0}}{N} (N - V)$ ．已知某病毒在某地的基本传染数 $R_{0} = l o g_{2} (4 \sqrt{2})$ ，为了使1个感染者可传染的新感染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（）

A、 $60 %$ B、 $70 %$ C、 $80 %$ D、 $90 %$

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二、多项选择题

11. 设 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， $m$ ， $n$ 是正整数，则（）

A、 $l o g_{a} (m n) = l o g_{a} m + l o g_{a} n$ B、 $l o g_{a} (\frac{m}{n}) = \frac{l o g_{a} m}{l o g_{a} n}$ C、 $l o g_{a^{n}} m = n l o g_{a} m$ D、 $l o g_{a} m^{n} = n l o g_{a} m$

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12. 已知 $3^{a} = 5^{b} = 15$ ，则a，b满足的关系有（　　）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ B、 $a b > 4$ C、 $a^{2} + b^{2} < 4$ D、 $(a + 1)^{2} + (b + 1)^{2} > 16$

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13. 以下运算中正确的是（）

A、若 $l g 2 = m ， l g 3 = n$ ，则 $l o g_{5} 24 = \frac{3 m + n}{1 - m}$ B、 ${(\frac{1}{3})}^{- l o g_{3} 8} - 3 l n (l n e^{e}) = 5$ C、若 $a + a^{- 1} = 14$ ，则 $a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}} = \pm 4$ D、 $\sqrt[4]{(4 - 2 \sqrt{3})^{2}} + 2 l o g_{2} 3 \cdot l o g_{9} 4 = \sqrt{3} + 1$

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14. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x^{2} + y^{2} = 4$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $x y \geq 2$ B、 $x + y \geq 2 \sqrt{2}$ C、 $l o g_{2} x + l o g_{2} y \leq 1$ D、 $2^{x} 2^{y} \leq 4^{\sqrt{2}}$

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15. 已知 $l o g_{3} m = l o g_{27} n$ ，则下列等式恒成立的是（）

A、 $l n n = 3 l n m$ B、 $n = 3 m$ C、 $l o g_{81} (m n) = l o g_{3} m$ D、 $l o g_{3} \frac{m}{n} = - \frac{2 l g n}{3 l g 3}$

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16. 下列运算正确的是（）

A、 $l g 5 + l g 2 = 1$ B、 $l o g_{4} 3 = 2 l o g_{2} 3$ C、 $e^{l n π} = π$ D、 $l g 5 \div l g 2 = l o g_{5} 2$

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三、填空题

17. 若正数 $m ， n$ 满足 $m + n = 8$ ，则 $l o g_{2} m + l o g_{2} n$ 的最大值为．

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18. ${(\frac{1}{2})}^{- 3} - l o g_{2} 5 \times l o g_{5} 2 + l o g_{6} 2 + l o g_{6} 18 =$ .

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19. 已知 $a = l g 5$ ， $1 0^{b} = 4$ ，则 $2 a^{2} + a b + b =$ .

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20. 设 $a l o g_{3} 4 = 3$ ，则 $4^{- a} =$ .

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21. 设 $2^{a} = 5^{b} = m$ ，且 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $m =$ ．

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22. 若 $l o g_{a} c = \frac{3}{4} ， l o g_{a b} c = \frac{3}{5}$ ，则 $l o g_{b} c =$ ．

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四、解答题

23. 求值：

(1)、 $(0.125)^{- \frac{1}{3}} - \sqrt[3]{π} \times π^{\frac{2}{3}} + \sqrt{(3 - π)^{2}}$ ；

(2)、 $2^{l o g_{2} 5} - l g 0.01 + l o g_{a} b \cdot l o g_{b} a$ ．

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24.

(1)、计算： $l o g_{2} 25 \times l o g_{3} 4 \times l o g_{5} 9$ ；

(2)、求满足 $l o g_{2} [l o g_{3} (l o g_{4} x)] = 0$ 的x的值.

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25.

(1)、计算： $l g 2 + l g 5 + 3 l o g_{5} 5 - l n 1$ ；

(2)、已知 $3^{a} = 5^{b}$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，求a的值．

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26. 计算：

(1)、 $(2 a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{1}{2}}) (- 6 a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{3}}) \div (3 a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{5}{6}})$ （式中字母均为正数）；

(2)、 $(2 l o g_{4} 3 + l o g_{8} 3) (l o g_{3} 2 + l o g_{9} 2)$ .

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27. 计算下列各式的值：

(1)、 ${(0.027)}^{- \frac{1}{3}} + \sqrt{{(π - 4)}^{2}} + 2^{\frac{1}{2}} \times \sqrt[6]{\frac{1}{8}}$ ；

(2)、 $l g^{2} 5 + l g^{2} 2 + l g 2 \cdot l g 25 + l o g_{2} 5 \times l o g_{25} 4 + e^{l n 2}$ .

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2023-2024学年高中数学人教A版必修一4.3 对数 同步练习

一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

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