2023-2024学年高中数学人教A版必修一 4.2 指数函数同步练习

试卷更新日期：2023-08-10 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知 $f (x) = a^{x}$ ( $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ )，且 $f (2) > f (3)$ ，则实数a的取值范围是（）

A、0<a<1 B、a>1 C、a<1 D、a>0

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2. 指数函数 $y = a^{x}$ 与 $y = b^{x}$ 的图象如图所示，则（）

A、 $a < 0 ， b > 0$ B、 $0 < a < 1 ， 0 < b < 1$ C、 $0 < a < 1 ， b > 1$ D、 $a > 1 ， 0 < b < 1$

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3. 函数 $y = a^{x + 1} - 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象过定点（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， 0)$

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4. 若函数 $y = 2^{x}$ 在区间 $[2 ， a]$ 上的最大值比最小值大4，则 $a =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 已知函数 $f (x + 1) = 2^{x + 1} - 2^{- 1 - x}$ ，则 $f (x)$ （）

A、是偶函数，且在 $R$ 是单调递增 B、是奇函数，且在 $R$ 是单调递增 C、是偶函数，且在 $R$ 是单调递减 D、是奇函数，且在 $R$ 是单调递减

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6. 已知 $a = {(- \frac{1}{3})}^{- 1}$ ， $b = 3^{- \frac{1}{3}}$ ， $c = \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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7. 三个数 $a = {(\frac{3}{2})}^{\frac{3}{4}} ， b = {(\frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}} ， c = {(\sqrt{2})}^{- \frac{3}{2}}$ 之间的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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8. 设 $a = 2^{0.1} ， b = (0.5)^{0.8} ， c = (0.5)^{0.5}$ ，则a，b，c的大小顺序为（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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9. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (a + b) x + a b$ 满足 $f (1) < 0$ （其中 $0 < a < b$ ），则函数 $g (x) = a^{x} + b - 1$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，某池塘里浮萍的面积 $y$ （单位： $m^{2}$ ）与时间t（单位：月）的关系为 $y = a^{t}$ ，关于下列说法不正确的是（）

A、浮萍每月的增长率为2 B、浮萍每月增加的面积都相等 C、第4个月时，浮萍面积超过 $80 m^{2}$ D、若浮萍蔓延到 $2 m^{2} ， 4 m^{2} ， 8 m^{2}$ 所经过的时间分别是 $t_{1}$ ， $t_{2}$ 、 $t_{3}$ ，则 $2 t_{2} = t_{1} + t_{3}$

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二、多项选择题

11. 已知实数a，b满足等式 ${(\frac{1}{2})}^{a} = {(\frac{1}{3})}^{b}$ ，则下列关系式中可能成立的是（）

A、a>b>0 B、a<b<0 C、0<a<b D、a=b

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12. 下列各式比较大小，正确的是（）

A、1.7^2.5＞1.7³ B、 $(\frac{1}{2})^{\frac{2}{3}} > 2^{- \frac{4}{3}}$ C、1.7^0.3＞0.9^3.1 D、 $(\frac{2}{3})^{\frac{3}{4}} > (\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}}$

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13. 已知实数x，y，z满 $x > y > 0 > z$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{1}{x} < \frac{1}{y}$ B、 $\frac{x}{x - z} < \frac{y}{y - z}$ C、 $x^{z} > y^{z}$ D、 ${(\frac{y}{x})}^{x} \leq {(\frac{y}{x})}^{y}$

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14. 若函数 $f (x) = a^{x} - b$ ( $a > 0$ 且 $a \neq 1$ )的图像经过第一、二、三象限，则（）

A、 $0 < a^{b} < 1$ B、 $0 < b^{a} < 1$ C、 $a^{b} > 1$ D、 $b^{a} > 1$

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15. 给出下列4个命题：其中正确的序号是（）

A、若 $f (x) = x^{2} - 2 a x$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上是增函数，则 $a = 1$ B、函数 $f (x) = 2^{x} - x^{2}$ 只有两个零点 C、函数 $y = 2^{| x - 1 |}$ 的图像关于直线 $x = 1$ 对称 D、在同一坐标系中，函数 $y = 2^{x}$ 与 $y = 2^{- x}$ 的图像关于 $y$ 轴对称

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16. 下列说法正确的是（）

A、任取 $x \in R$ ，都有 $4^{x} > 3^{x}$ B、函数 $y = {(\frac{1}{3})}^{| x |}$ 的最大值为1 C、函数 $f (x) = a^{x} + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象经过定点 $(0 ， 2)$ D、在同一坐标系中，函数 $y = 3^{x}$ 与函数 $y = {(\frac{1}{3})}^{x}$ 的图象关于 $x$ 轴对称

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三、填空题

17. 若函数 $f (x) = a^{x} - 9 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象过定点 $P$ ，则 $P$ 的坐标为.

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18. 不等式 $3^{3 - x} > 9^{x}$ 的解集是.

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19. 若函数 $f (x) = a^{x + 2} + b$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象经过点 $(- 2 ， 3)$ ，则 $b =$ .

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20. 若函数 $y = 2^{x^{2} - 6 x + 10}$ 的定义域为 $[2 ， 5]$ ，则该函数的值域是.

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21. 已知a是正实数，若 $a^{3} > a^{π}$ ，则a的取值范围是．

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四、解答题

22. 已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{10 - a x}$ ，其中 $a$ 是不为零的常数．

(1)、若 $f (3) = \frac{1}{3}$ ，求使得 $f (x) \geq 9$ 的实数 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 2]$ 上的最大值为 $81$ ，求实数 $a$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = \frac{4^{x} + a}{2^{x}}$ 为偶函数.

(1)、求出a的值，并写出单调区间；

(2)、若存在 $x \in [0 ， 1]$ 使得不等式 $b f (2 x) + 1 \geq f (x)$ 成立，求实数b的取值范围.

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24. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = \frac{1}{3^{x} + 1} - a (a \in R)$ 为奇函数.

(1)、求 $a$ 的值，试判断 $f (x)$ 的单调性，并用定义证明；

(2)、若 $f (2 x - 1) < f (x + 3)$ ，求 $x$ 的取值范围.

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25. 已知函数 $f (x) = a^{x} + b (0 < a < 1)$ 的图象经过点 $(0 ， - 1)$ ．

(1)、求实数b；

(2)、若 $f (x^{2} - 2 x) < f (3)$ ，求x的取值集合．

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26. 已知指数函数 $f (x)$ 满足 $f (1) - f (- 1) = 2$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $g (x) = f (2 x) + k f (x)$ ，若方程 $g (x) + g (- x) + 10 = 0$ 有4个不相等的实数解 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ．
（i）求实数 $k$ 的取值范围；
（i i）证明： $| x_{1} | + | x_{2} | + | x_{3} | + | x_{4} | < 4$ ．

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二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

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