广东省汕尾市2022-2023学年高一下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-08-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若复数 $(m^{2} - m) + 3 i$ 是纯虚数，则实数 $m =$ （）

A、1 B、0或1 C、1或2 D、1或3

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2. 已知 $| \vec{a} | = 2 \sqrt{5}$ ， $\vec{b} = (1 ， 2)$ ， $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a} =$ （）

A、 $(2 ， 4)$ B、 $(4 ， 2)$ C、 $(2 ， - 4)$ D、 $(2 ， 4)$ 或 $(- 2 ， - 4)$

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3. 将函数 $y = 3 c o s (\frac{1}{2} x - \frac{π}{3})$ 的图象向左平移 $\frac{1}{8}$ 个周期后所得图象对应的函数为（）

A、 $y = 3 c o s (\frac{1}{2} x - \frac{7 π}{12})$ B、 $y = 3 c o s (\frac{1}{2} x + \frac{π}{12})$ C、 $y = 3 c o s (\frac{1}{2} x - \frac{5 π}{6})$ D、 $y = 3 c o s (\frac{1}{2} x - \frac{π}{12})$

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4. 已知直线 $a$ ， $b$ ， $l$ 和平面 $α$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $a / / b$ ， $a / / α$ ，则 $b / / α$ B、若 $a ∥ b$ ， $a ⊄ α$ ， $b ⊄ α$ ， $a / / α$ ，则 $b / / α$ C、若 $l ⊥ a$ ， $l ⊥ b$ ， $a \subset α$ ， $b \subset α$ ，则 $l ⊥ α$ D、若 $a ⊥ b$ ， $a ⊥ α$ ，则 $b / / α$

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5. 已知 $\frac{π}{2} < α < π$ ， $c o s α = - \frac{1}{2}$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点， $A B = A A_{1} = 2$ ，则直线 $A B_{1}$ 与直线 $C_{1} D$ 所成角的余弦值为（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $b = 2 a$ ， $b s i n A = c s i n C$ ，则 $c o s C =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 如图，在边长为2的正方形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $B C$ 的中点，将 $△ A E D$ ， $△ B E F$ ， $△ D C F$ 分别沿 $D E$ ， $E F$ ， $D F$ 折起，使得 $A ， B ， C$ 三点重合于点 $A^{'}$ ，若三棱锥 $A^{'} - E F D$ 的所有顶点均在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $\frac{3}{2} π$ B、 $\frac{3 \sqrt{6}}{4} π$ C、 $\sqrt{6} π$ D、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3} π$

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二、多选题

9. 已知复数 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = 1 - i$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $\bar{z_{1}} = z_{2}$ B、 $| z_{1} | = | z_{2} |$ C、 $\frac{z_{1}}{z_{2}} = - i$ D、在复平面内 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 对应的点关于虚轴对称

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{6}) + s i n (ω x - \frac{π}{6}) + c o s ω x$ ， $ω > 0$ ，且 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $ω = 2$ B、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时， $f (x)$ 的最小值为1 C、 $f (x)$ 在区间 $[0 ， π]$ 上单调递增 D、若 $f (x + φ)$ 为偶函数，则正实数 $φ$ 的最小值为 $\frac{π}{6}$

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11. 下列说法正确的有（）

A、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 4$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最大值为3 B、向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{{| \vec{b} |}^{2}} \vec{b}$ C、若 $A (1 ， 0)$ ， $B (4 ， 6)$ ，且 $A B = 3 A C$ ，则 $\vec{A C} = (1 ， 2)$ D、若圆 $O$ 中，弦 $A B$ 的长为4，则 $\vec{A O} \cdot \vec{A B} = 8$

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12. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别为棱 $C_{1} D_{1}$ ， $C_{1} C$ 的中点，则（）

A、直线 $B N$ 与直线 $M B_{1}$ 是异面直线 B、直线 $A_{1} M$ 与直线 $B N$ 共面 C、直线 $A M$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、点 $D_{1}$ 到平面 $A_{1} B M$ 的距离为 $\frac{2}{3}$

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三、填空题

13. 化简 $c o s 72 ° s i n 78 ° + s i n 72 ° s i n 12 ° =$ .

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14. 已知圆锥的表面积为 $3 π$ ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是．

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15. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $A D = 6$ ， $A C = 2 \sqrt{37}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A D} =$ .

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16. 如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别是直角三角形 $A B C$ 的斜边 $A B$ ，直角边 $A C$ ， $B C$ ，点 $E$ 在以 $A C$ 为直径的半圆上，延长 $A E$ ， $B C$ 交于点 $D$ .若 $A B = 5$ ， $s i n ∠ C A B = \frac{3}{5}$ ， $s i n ∠ D C E = \frac{3}{4}$ ，则 $△ A B E$ 的面积是.

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四、解答题

17. 已知点 $O (0 ， 0)$ ， $A (1 ， 1)$ ， $B (- 1 ， 0)$ .

(1)、若 $\vec{O C} = \vec{O A} + λ \vec{O B}$ ， $λ$ 是实数，且 $\vec{O C} ⊥ \vec{A B}$ ，求 $λ$ 的值；

(2)、求 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 的夹角的余弦值.

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18. 已知函数 $f (x) = s i n (\frac{π}{4} + x) s i n (\frac{π}{4} - x) + \sqrt{3} s i n x c o s x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、在 $△ A B C$ 中，若 $f (\frac{A}{2}) = 1$ ，求 $s i n B + s i n C$ 的最大值.

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19. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为棱 $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点， $P$ 是线段 $B_{1} D_{1}$ 上的动点.证明：

(1)、 $A C_{1} ∥$ 平面 $B D F$ ；

(2)、 $P E ∥$ 平面 $B D F$ .

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20. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a s i n B - \sqrt{3} b c o s A = 0$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{7}$ ， $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B$ ， $E$ 为棱 $P B$ 的中点.证明：

(1)、 $A E ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、平面 $P A D ⊥$ 平面 $P C D$ .

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22. 如图，已知直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ， $A$ 是 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的一个定点，且点 $A$ 到 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的距离分别为1，2， $B$ 是直线 $l_{2}$ 上的一个动点，作 $A C ⊥ A B$ ，且使 $A C$ 与直线 $l_{1}$ 交于点 $C$ .设 $∠ A B D = α$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S (α)$ .

(1)、求 $S (α)$ 的最小值；

(2)、已知 $m \in R$ ， $f (α) = \frac{1}{A C} + \frac{2}{A B}$ ，若对任意的 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，不等式 $m f (α) + b \leq \frac{m}{S (α)} + m$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围.

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