河北省“五个一”名校联盟2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题

试卷更新日期：2023-08-10 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设集合 $A = {x | y = \sqrt{x - 1}}$ ， $B = {y | y = \sqrt{x - 1}}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A = B$ B、 $A ⊆ B$ C、 $B ⊆ A$ D、 $A \cap B = \emptyset$

查看试题解析
2. 已知 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $| 2 \vec{a} - \vec{b} | = 4$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为（）

A、－1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、1

查看试题解析
3. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{25 + k} - \frac{y^{2}}{9 - k} = 1 (0 < k < 9)$ ，则两双曲线的（）

A、实轴长相等 B、虚轴长相等 C、离心率相等 D、焦距相等

查看试题解析
4. 已知 $f (x) = a^{x} + a^{- x}$ ，且 $f (3) > f (1)$ ，则下列各式一定成立的是（）

A、 $f (3) > f (- 2)$ B、 $f (0) > f (3)$ C、 $f (- 1) > f (- 3)$ D、 $f (0) > f (- 1)$

查看试题解析
5. 一条长椅上有6个座位，3个人坐．要求3个空位中恰有2个空位相邻，则坐法的种数为（）

A、36 B、48 C、72 D、96

查看试题解析
6. 某学校有男生600人，女生400人．为调查该校全体学生每天的运动时间，采用分层抽样的方法获取容量为 $n$ 的样本．经过计算，样本中男生每天运动时间的平均值为80分钟，方差为10；女生每天运动时间的平均值为60分钟，方差为20．结合数据，估计全校学生每天运动时间的方差为（）

A、96 B、110 C、112 D、128

查看试题解析
7. 过直线 $x + y - 4 = 0$ 上一点向圆O： $x^{2} + y^{2} = 1$ 作两条切线，设两切线所成的最大角为 $α$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{8}$

查看试题解析
8. 设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且满足 $f (\frac{3}{2} - x) = f (x)$ ， $f (1) = 2$ ．数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = - 1$ ， $\frac{a_{n + 1}}{n + 1} = \frac{a_{n}}{n} + \frac{2}{n (n + 1)} (n \in N^{*})$ ，则 $f (a_{22}) =$ （）

A、0 B、－1 C、2 D、－2

查看试题解析

二、多选题

9. 若 $P (A) > 0$ ， $P (B) > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、若事件 $A ， B$ 相互独立，则事件 $A ， B$ 也互斥 B、若事件 $A ， B$ 相互独立，则事件 $A ， B$ 不互斥 C、若事件 $A ， B$ 互斥，则事件 $A ， B$ 也相互独立 D、若事件 $A ， B$ 互斥，则事件 $A ， B$ 不相互独立

查看试题解析
10. 函数 $y = f (x)$ 由关系式 $x | x | + y | y | = 1$ 确定，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的零点为1 B、函数的定义域和值域均为 $[- 1 ， 1]$ C、函数 $y = f (x)$ 的图象是轴对称图形 D、若 $g (x) = f (x) + x$ ，则 $g (x)$ 在定义域内满足 $g (x) > 0$ 恒成立

查看试题解析
11. 某通信工具在发送、接收信号时都会使用数字0或是1作为代码，且每次只发送一个数字．由于随机因素的干扰，发出的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收成0或1的概率分别为0.94和0.06；发送信号1时，接收成1或0的概率分别为0.96和0.04．假设发送信号0或1的概率是等可能的，则（）

A、已知两次发送的信号均为1，则接收到的信号均为1的概率为 ${(0.5)}^{2} \cdot {(0.96)}^{2}$ B、在单次发送信号中，接收到0的概率为0.49 C、在单次发送信号中，能正确接收的概率为0.95 D、在发送三次信号后，恰有两次接收到0的概率为 $C_{3}^{2} {(0.49)}^{2} \times 0.51$

查看试题解析
12. 已知 $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $A B$ 为斜边且长度是 $4$ ． $△ A B D$ 为等边三角形，若二面角 $C - A B - D$ 为直二面角，则下列说法正确的是（）

A、 $A B ⊥ C D$ B、三棱锥 $A - B C D$ 的体积为 $\frac{8 \sqrt{6}}{3}$ C、三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积为 $\frac{64}{3} π$ D、半径为 $\frac{1}{2}$ 的球可以被整体放入以三棱锥 $A - B C D$ 为模型做的容器中

查看试题解析

三、填空题

13. 方程 $(x - 3) (x - 5) + 5 = 0$ 在复数集 $C$ 中的解为．

查看试题解析
14. $\frac{s i n 20 ° + 2 s i n 40 °}{c o s 20 °} =$ ．

查看试题解析
15. 已知函数 $f (x) = c o s ω x (ω > 0)$ 的图像关于点 $(\frac{3 π}{4} ， 0)$ 对称，且在区间 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上单调，则 $ω =$ ．

查看试题解析
16. 如图所示，斜率为 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 于M、N两点，交 $x$ 轴、 $y$ 轴分别于Q、P两点，且 $\vec{M P} = \vec{Q N}$ ，则椭圆的离心率为．

查看试题解析

四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} = 2 n^{2} + 5 n$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 8$ ， $b_{n} = 16 b_{n + 1}$ ．

(1)、证明：数列 ${a_{n}}$ 是等差数列；

(2)、是否存在常数p、q，使得对一切正整数n都有 $a_{n} = l o g_{p} b_{n} + q$ 成立？若存在，求出p、q的值；若不存在，说明理由．

查看试题解析
18. 记 $△ A B C$ 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 $(2 b - c) c o s A = a c o s C$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、设 $B C$ 边上的高 $A D = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积的最小值．

查看试题解析
19. 如图，圆锥 $P O$ 的高为3， $A B$ 是底面圆 $O$ 的直径，PC，PD为圆锥的母线，四边形 $A B C D$ 是底面圆 $O$ 的内接等腰梯形，且 $A B = 2 C D = 2$ ，点 $E$ 在母线 $P B$ 上，且 $B E = 2 E P$ ．

(1)、证明：平面 $A E C ⊥$ 平面 $P O D$ ；

(2)、求平面 $A E C$ 与平面 $E A B$ 的夹角的余弦值．

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = a x - \frac{1}{x} - (a + 1) l n x (a \neq 0)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 既有极大值又有极小值，且极大值和极小值的和为 $g (a)$ ．解不等式 $g (a) < 2 a - 2$ ．

查看试题解析
21. 已知 $B$ 为抛物线 $y^{2} = 2 x - 2$ 上一点， $A (2 ， 0)$ ， $B$ 为 $A C$ 的中点，设 $C$ 的轨迹为曲线 $E$ ．

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、过点 $F (1 ， 0)$ 作直线交曲线E于点M、N，点 $P$ 为直线l： $x = - 1$ 上一动点．问是否存在点 $P$ 使 $△ M N P$ 为正三角形？若存在，求出点 $P$ 坐标；若不存在，请说明理由．

查看试题解析
22. 航天事业是国家综合国力的重要标志，带动着一批新兴产业和新兴学科的发展．某市为了激发学生对航天科技的兴趣，点燃学生的航天梦，现组织该市全体学生参加航天创新知识竞赛，并随机抽取1000名学生作为样本，研究其竞赛成绩．经统计分析该市高中生竞赛成绩 $X$ 近似地服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$ ， $σ^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$ ，并已求得 $\bar{x} = 73$ 和 $s^{2} = 37.5$ ．
（附： $\sqrt{37.5} \approx 6.1$ ， $0.97 5^{5} \approx 0.881$ ， $0.97 5^{6} = 0.859$ ， $0.97 5^{7} = 0.838$ ， $0.97 5^{8} = 0.817$ ，若 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.68$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.95$ ）

(1)、若该市有4万名高中生，试估计这些高中生中竞赛成绩位于区间 $(66.9 ， 85.2)$ 的人数；

(2)、若规定成绩在85.2以上的学生等级为优秀，现从全市高中生中任意抽取一个进行访谈，如果取到学生等级不是优秀，则继续抽取下一个，直至取到等级为优秀的学生为止，但抽取的总次数不超过 $n$ ．如果抽取次数的期望值不超过6，求 $n$ 的最大值．

查看试题解析