上海市黄浦区2022-2023学年高一下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-08-10 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、填空题

1. 若集合 $A = {1 ， 3}$ ， $B = {3 ， 5}$ 则 $A ∪ B =$

查看试题解析
2. 不等式 $\frac{x}{x + 1} < 0$ 的解是．

查看试题解析
3. 若 $t a n α = 3$ ，则 $t a n (α + \frac{π}{4}) =$ ．

查看试题解析
4. 已知 $α \in (- \frac{π}{2} ， 0)$ ，若 $c o s 2 α = \frac{7}{8}$ ，则 $s i n α =$ ．

查看试题解析
5. 已知 $3^{a} = 2$ ， $3^{b} = 5$ ，若用 $a$ 、 $b$ 表示 $l o g_{6} 5$ ，则 $l o g_{6} 5 =$ ．

查看试题解析
6. 若 $t a n α = \frac{1}{4}$ ，则 $\frac{s i n (\frac{π}{2} + α) + 2 c o s (π + α)}{s i n (π - α)} =$ ．

查看试题解析
7. 函数 $y = \frac{2 x}{x - 1}$ 图像的对称中心的坐标为．

查看试题解析
8. 在平面直角坐标系中，角 $φ$ 的顶点与坐标原点重合，始边与 $x$ 轴的正半轴重合，若其终边过点 $(1 ， \sqrt{3})$ ，则函数 $y = s i n (x + φ)$ ， $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 的值域为．

查看试题解析
9. 已知 $f (x) = x^{2}$ 和 $g (x) = x^{k}$ ，其中 $k \in {- 2 ， - 1 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，若 $f (x) > g (x)$ 对任意的 $x \in (1 ， + \infty)$ 成立，则所有的 $k$ 的值为．

查看试题解析
10. 若复数 $z$ 满足 $R e z \geq 0$ ， $I m z \geq 0$ ，且 $| z | = | z - 1 - i |$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z |$ 的最小值为．

查看试题解析
11. 在 $△ A B C$ 中，若 $A C = 2$ ， $B = \frac{π}{3}$ ，且 $s i n A s i n C = \frac{9}{28}$ ，则 $A B =$ ．

查看试题解析
12. 已知 $α \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，若 $c o s (α + \frac{2 n π}{5}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$ 对任意的正整数 $n$ 成立，则 $α$ 的取值范围是．

查看试题解析

二、单选题

13. 若 $1 + \sqrt{2} i$ 是关于 $x$ 的实系数方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的一个复数根，则（）

A、 $b = 2 ， c = 3$ B、 $b = 2 ， c = - 1$ C、 $b = - 2 ， c = - 1$ D、 $b = - 2 ， c = 3$

查看试题解析
14. 在平面直角坐标系中，角 $α$ 和 $β$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴的正半轴重合，若角 $α$ 和 $β$ 的终边关于 $y$ 轴对称，则下列关系式一定正确的是（）

A、 $α - β = 2 k π + \frac{π}{2}$ （ $k ∈ Z$ ） B、 $α + β = 2 k π + \frac{π}{2}$ （ $k ∈ Z$ ） C、 $α - β = 2 k π + π$ （ $k ∈ Z$ ） D、 $α + β = 2 k π + π$ （ $k ∈ Z$ ）

查看试题解析
15. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ ， “ $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ”是“ $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的数量投影与 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的数量投影相等”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

查看试题解析
16. 已知 $f (x) = | x |$ ，若存在实数 $m$ ，使得方程 $g (x) = m$ 有无穷多个非负实数解，则 $g (x)$ 的表达式可以为（）

A、 $f (x - 1) \cdot f (x)$ B、 $f (x - 1) + f (x)$ C、 $f (x) \cdot f (x + 1)$ D、 $f (x) + f (x + 1)$

查看试题解析

三、解答题

17. 已知复数 $z_{1} = 1 + 2 i$ ， $z_{2} = 2 + b i$ （ $b \in R$ ， $i$ 为虚数单位）．

(1)、若 $z_{1} \cdot \bar{z_{2}}$ 为实数，求 $z_{2}$ ；

(2)、设 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 在复平面上所对应的点为 $Z_{1}$ 、 $Z_{2}$ ， $O$ 为原点，若 $\vec{O Z_{1}} ⊥ \vec{O Z_{2}}$ ，求 $z_{2}$ ．

查看试题解析
18. 某小区围墙一角要建造一个水池和两条小路．如图，四边形 $A B C D$ 中， $D A ⊥ A B$ ， $D C ∥ A B$ ，以 $A$ 为圆心、 $A D$ 为半径的四分之一圆及 $A B$ 与 $A D$ 圈成的区域为水池，线段 $D C$ 和 $C B$ 为两条小路，且 $C B$ 所在直线与圆弧相切．已知 $A D = 10$ 米，设 $∠ D A C = θ$ （ $0 < θ < \frac{π}{4}$ ），那么当 $θ$ 为多少时，才能使两条小路长之和 $D C + C B$ 最小？最小长度是多少？

查看试题解析
19. 设 $a > 0$ ， $f (x) = 2^{x} - \frac{a}{2^{x}}$ ．

(1)、当 $a = 3$ 时，求满足 $f (x) \geq 2$ 的 $x$ 的取值范围；

(2)、求证：函数 $y = f (x)$ 在区间 $(- \infty ， + \infty)$ 上是严格增函数．

查看试题解析
20. 如图，已知 $A B C D$ 为平行四边形．

(1)、若 $| \vec{A B} | = 5$ ， $| \vec{A D} | = 4$ ， $| \vec{B D} | = \sqrt{21}$ ，求 $\vec{A B} \cdot \vec{A D}$ 及 $| \vec{A C} |$ 的值；

(2)、记平行四边形 $A B C D$ 的面积为 $S$ ，设 $\vec{A B} = (x_{1} ， y_{1})$ ， $\vec{A D} = (x_{2} ， y_{2})$ ，求证： $S = | x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} |$

查看试题解析
21. 已知定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ ，满足 $f (0) = 0$ ，当 $0 < x < π$ 时， $f (x) = c o s x$ ．

(1)、若函数 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，求证： $y = f (x)$ ， $x \in (- π ， π)$ 为奇函数；

(2)、设 $a > 0$ ，若 $f (x + π) = 2 f (x)$ ，函数 $y = f (x) - a$ 在区间 $(0 ， 2023 π)$ 上恰有一个零点，求 $a$ 的取值范围．

查看试题解析