陕西省安康市2022-2023学年高二下学期6月期末理科数学试题

试卷更新日期：2023-08-10 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 复数 $z = - 2 i (- 1 + \sqrt{3} i)$ 的虚部为（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $2 i$ D、 $2 \sqrt{3}$

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2. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x < 0}$ ， $B = {x | (x + 1) (x - 2) > 0}$ ，则 $∁_{U} (A ∪ B) =$ （）

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $[0 ， + ∞)$ C、 $[- 1 ， 2]$ D、 $[0 ， 2]$

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3. 已知 $a = l n 10$ ， $b = \sqrt{e}$ ， $c = 2$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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4. 如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8 $c m$ ，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（）

A、 $16 \sqrt{2}$ $c m$ B、24 $c m$ C、32 $c m$ D、 $8 \sqrt{2}$ $c m$

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5. 执行如图所示的程序框图，则输出的 $S =$ （）

A、6 B、12 C、20 D、30

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6. 将函数 $f (x) = s i n (ω x + 1)$ （ $ω > 0$ ）的图象向右平移1个单位长度后，得到的图象关于原点对称，则 $ω$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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7. 某校为了了解学生的身体素质，对2022届初三年级所有学生仰卧起坐一分钟的个数情况进行了数据统计，结果如下图所示.该校2023届初三学生人数较2022届初三学生人数上升了10%，则下列说法错误的是（）

A、该校2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在 $[30 ， 60)$ 内的学生人数占70% B、该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在 $[60 ， 80]$ 内的学生人数比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数同个数段的学生人数的2倍还多 C、该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数和2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数均在 $[50 ， 60)$ 内 D、相比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占比增加

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8. 记 $a ， b ， c ， d$ 为 $1 ， 2 ， 3 ， 4$ 的任意一种排列，则使得 $(a + b) (c + d)$ 为偶数的排列种数为（）

A、8 B、12 C、16 D、18

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{8} = 1$ ，且 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{n}{n + 2}$ （ $n = 1 ， 2 ， ⋯ ， 7$ ），则 $a_{1} =$ （）

A、 $\frac{9}{16}$ B、 $\frac{7}{16}$ C、 $\frac{5}{16}$ D、 $\frac{11}{16}$

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10. 已知某正三棱台的顶点都在半径为5的球面上，若该正三棱台的上、下底边长分别是 $3 \sqrt{3}$ 和 $5 \sqrt{3}$ ，则该正三棱台的高为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11. 函数 $f (x) = e^{x} + \frac{1}{| x |}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，动点P在线段 $B_{1} D_{1}$ 上，点E是 $A B$ 的中点，则直线 $E P$ 与平面 $A B_{1} D_{1}$ 所成角的正弦值的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{15}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{9}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | =$ .

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14. 函数 $f (x) = (- 4 x + 1) e^{x + 1}$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上的最大值为.

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15. 在 $△ A B C$ 中，点D在边 $B C$ 上（不含端点）， $∠ A B C = 120 °$ ， $B D = 2$ ， $A B = B C$ ， $\frac{A D^{2}}{C D}$ 的最小值为.

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16. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 $| P Q | = | F_{1} F_{2} |$ ， $| P F_{1} | = 2 | P F_{2} |$ ，则C的离心率为.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别是内角 $A ， B ， C$ 的对边， $s i n^{2} A + s i n A s i n C + s i n^{2} C + c o s^{2} B = 1$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $a = 5 ， b = 7$ ，求 $s i n C$ .

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18. 近日来，ChatGPT的“火”在教育界引发了热议，尤其是在未来课堂上的实践与应用，引起广泛的关注.某学校计划尝试“ChatGPT进课堂”，随机抽取400名家长，对“ChatGPT”的了解情况进行了问卷调查，得到如下2×2列联表.已知了解的人数为280，不了解的人数为120.

	男家长	女家长	合计
了解	160
不了解		80
合计

附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

(1)、请补充完整上面的

2 \times 2

列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该校家长对“ChatGPT”的了解情况与性别有关系；

(2)、用样本估计总体，将频率视为概率，在该校的家长中随机抽取10人，记对“ChatGPT”了解的男家长人数为X，求X的期望.

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19. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 1$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = n a_{n} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $C D ∥ A B$ ， $∠ C = 90 °$ ， E为 $A B$ 的中点， $P E = B D$ ， $A B = 2 B C = 2 C D = 4$ ，且 $△ P A D$ 为正三角形.

(1)、证明： $P A ⊥ B D$ .

(2)、求二面角 $A - P E - D$ 的正弦值.

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21. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）上一点 $M (1 ， m)$ （ $m > 0$ ）与焦点的距离为2.

(1)、求p和m；

(2)、若在抛物线C上存在点A，B，使得 $M A ⊥ M B$ ，设 $A B$ 的中点为D，且D到抛物线C的准线的距离为 $\frac{15}{2}$ ，求点D的坐标.

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22. 已知函数 $f (x) = x + \frac{a}{e^{x}} (a \in R)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 与函数 $g (x) = a e^{x}$ 的图象有三个不同的交点，求 $a$ 的取值范围.（参考数据： $l n 2 \approx 0.7$ .）

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