四川省遂宁市2022-2023学年高二下学期期末数学理科试题

试卷更新日期：2023-08-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设 $i$ 是虚数单位，若复数 $z = i (1 + i)$ ，则 $z$ 的共轭复数为（）

A、 $- 1 - i$ B、 $- 1 + i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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2. 命题“ $\forall x < 0$ ， $- x^{2} + 5 x - 6 > 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x < 0$ ， $- x^{2} + 5 x - 6 \leq 0$ B、 $\forall x \geq 0$ ， $- x^{2} + 5 x - 6 \leq 0$ C、 $\exists x_{0} < 0$ ， $- x_{0}^{2} + 5 x_{0} - 6 \leq 0$ D、 $\exists x_{0} \geq 0$ ， $- x_{0}^{2} + 5 x_{0} - 6 \leq 0$

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3. “ $a + 1 > b - 2$ ”是“ $a > b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设函数 $f (x)$ 在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数 $f^{'} (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 20 x$ 的焦点为 $F$ ，抛物线 $C$ 上有一动点 $P$ ， $Q (6 ， 5)$ ，则 $| P F | + | P Q |$ 的最小值为（）

A、10 B、16 C、11 D、26

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6. “燃脂单车”运动是一种在音乐的烘托下，运动者根据训练者的指引有节奏的踩踏单车，进而达到燃脂目的的运动，由于其操作简单，燃脂性强，受到广大健身爱好者的喜爱.已知某一单车爱好者的骑行速度v（单位：km/h）随时间t（单位：h）变换的函数关系为 $v (t) = \frac{2 t}{e^{t}} + 15$ ， $t \in [\frac{1}{2} ， 2]$ ，则该单车爱好者骑行速度的最大值为（）

A、 $\frac{4}{e^{2}} + 15$ B、 $\frac{2}{e^{2}} + 15$ C、 $\frac{2}{e} + 15$ D、 $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} + 15$

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7. 短道速滑队6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内)进行冬奥会选拔，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若 $p \lor q$ 是真命题， $p \land q$ 是假命题， $(\neg q) \land r$ 是真命题，则选拔赛的结果为（）

A、甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名 B、甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名 C、甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名 D、甲得第一名，乙没得第二名，丙得第三名

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8. 要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学排在上午（前4节），体育课排在下午（后2节），不同排法种数是（）

A、720 B、192 C、180 D、144

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9. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 = 0$ ，若双曲线 $y^{2} - \frac{x^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 的一条渐近线与圆C相切，则 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、8

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10. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(x - m)}^{2} - 2 ， x < 0 \\ 2 x^{3} - 3 x^{2} ， x \geq 0 \end{array}$ 的最小值是 $- 1$ ，则实数m的取值范围是（）

A、 $m \leq 0$ B、 $m \geq 1$ C、 $m \geq 3$ D、 $m > 0$

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11. 已知 $0 < x < y < 1 ， a = x^{3} - y^{3} ， b = 3 (l n x - l n y) ， c = 3 (x - y)$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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12. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点M是椭圆C上任意一点，且 $\vec{M F_{1}} \cdot \vec{M F_{2}}$ 的取值范围为 $[2 ， 3]$ ．当点M不在x轴上时，设 $△ M F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为m，外接圆半径为n，则mn的最大值为（）．

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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二、填空题

13. ${(x + 2 y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3} y^{2}$ 的系数为．

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14. 已知方程 $\frac{x^{2}}{5 + k} + \frac{y^{2}}{1 - k} = 1$ 表示椭圆，则实数k的取值范围是．

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15. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 为双曲线右支上一点，且 $| P F_{1} | = 3 | P F_{2} |$ ，则 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的大小为．

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16. 已知函数 $f (x) = e^{3 l n x + x} + a x^{2} l n x$ 在 $x = 1$ 处的切线斜率为 $4 e + 1$ ， $g (x) = 2 e^{x} + x - m$ ，若 $f (x) \leq x^{2} g (x)$ 在 $x \in [\frac{1}{2} ， 1]$ 上恒成立，则 $m$ 能取到的最大正整数为

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三、解答题

17. 分别求适合下列条件的方程：

(1)、长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；

(2)、经过点 $P (- 2 ， - 4)$ 的抛物线的标准方程.

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18. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} (x \in R)$ 的图象过点 $P (- 1 ， 2)$ ，且在点P处的切线恰好与直线 $x - 3 y = 0$ 垂直．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[m ， m + 1]$ 上单调递增，求实数m的取值范围．

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19. 党的二十大报告提出：“必须坚持科技是第一生产力､人才是第一资源､创新是第一动力，深入实施科教兴国战略､人才强国战略､创新驱动发展战略，开辟发展新领域新赛道，不断塑造发展新动能新优势.”某数字化公司为加快推进企业数字化进程，决定对其核心系统DAP，采取逐年增加研发人员的办法以提升企业整体研发和创新能力.现对2018~2022年的研发人数作了相关统计（年份代码1~5分别对应2018~2022年）如下折线图：

参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 54944 ， \sqrt{549440} \approx 741.2$ 当 $| r | \in [0.75 ， 1]$ 认为两个变量间的相关性较强

参考公式 $：$ 相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，

回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、根据折线统计图中数据，计算该公司研发人数 $y$ 与年份代码 $x$ 的相关系数 $r$ ，并由此判断其相关性的强弱；

(2)、试求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，并预测2023年该公司的研发人数（结果取整数）.

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20. 为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%.

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、根据所给数据，完成下面的

2 \times 2

列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关？

	感兴趣	不感兴趣	合计
男生	12
女生		5
合计			30

(2)、若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与双曲线 $x^{2} - y^{2} = \frac{1}{2}$ 有相同的焦点 $F_{1} ， F_{2}$ ， $P$ 为椭圆上一点， $△ P F_{1} F_{2}$ 面积最大值为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $y = k x (k \neq 0)$ 与椭圆 $C$ 相交于 $R ， S$ 两点，若 $R E ⊥ x$ 轴，垂足为 $E$ .求证：直线 $S E$ 的斜率 $k_{S E} = \frac{1}{2} k$ ；

(3)、 $A$ 为椭圆 $C$ 的右顶点，若过点 $G (3 ， 0)$ 且斜率不为0的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M ， N$ 两点， $O$ 为坐标原点.问： $x$ 轴上是否存在定点 $T$ ，使得 $∠ M T O = ∠ N T A$ 恒成立.若存在，请求出点 $T$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ （ $e$ 是自然对数的底数）.

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $g (x) = e^{x} (x - 1) - a l n x + f (x)$ 有两个零点分别为 $x_{1} ， x_{2}$ .
①求实数 $a$ 的取值范围；

②求证： $l n x_{1} + l n x_{2} > 2 - (x_{1} + x_{2})$ .

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