云南省保山市文山州2022-2023学年高一下学期期末联合质量监测数学试题

试卷更新日期：2023-08-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | 1 < x < 8}$ ，集合 $B = {1 ， 3 ， 5 ， 6 ， 7}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${7}$ B、 ${1 ， 3 ， 5 ， 6}$ C、 ${3 ， 5 ， 6 ， 7}$ D、 ${3 ， 5 ， 7}$

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2. 有一组电路开关如图所示，现在开关 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 、 $e$ 是处于断开状态，任意闭合其中的两个，则电路接通的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3. 已知m，n是不同的直线， $α$ ， $β$ 是不同的平面，下列命题中，正确的是（）

A、若 $m$ ∥ $α$ ， $n$ ∥ $α$ ，则 $m$ ∥ $n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n$ ∥ $β$ ，且 $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，且 $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$

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4. 已知 $s i n 2 α = \frac{1}{4}$ ，则 $c o s^{2} (α - \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{5}{8}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $- \frac{5}{8}$

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5. 如图所示，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ，点 $E$ 为 $A B$ 的中点，且 $\vec{D E} ⊥ \vec{A C}$ ，则 $| \vec{D E} |$ 等于（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $3$ D、 $\sqrt{2}$

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6. 已知一组数据1.3，2.1，2.6，3.7，5.5，7.9， $x$ ， 9.9的第65百分位数是7.9，则实数 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[7.9 ， + \infty)$ B、 $(7.9 ， + \infty)$ C、 $[7.9 ， 9.9]$ D、 $(7.9 ， 9.9)$

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7. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} (- a + 4) x - 3 a ， x < - 1 ， \\ x^{2} + a x - 8 ， x \geq - 1 ， \end{array}$ 为增函数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $- 2 \leq a < 4$ B、 $2 \leq a < 4$ C、 $- 3 \leq a < 4$ D、 $3 \leq a < 4$

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8. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} | l n (- x) | ， x < 0 \\ x^{2} - 4 x + 5 ， x \geq 1 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = m (m \in R)$ 有四个不同的实数根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ，则 $x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdot x_{4}$ 的最小值是（）

A、2 B、3 C、4 D、 $- 3$

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二、多选题

9. 已知复数 $z_{1} = \frac{2}{- 1 + i}$ （ $i$ 为虚数单位），下列说法正确的是（）

A、 $z_{1}$ 对应的点在第四象限 B、 $z_{1}$ 的虚部为1 C、 $z_{1}^{4} = - 4$ D、满足 $| z | = | z_{1} |$ 的复数 $z$ 对应的点在以原点为圆心， $\sqrt{2}$ 为半径的圆上

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10. 给定两组数据，其中第一组数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ 的平均数是4，方差是 $\frac{1}{2}$ ，第二组数据 $3 x_{1} - 2$ ， $3 x_{2} - 2$ ， $3 x_{3} - 2$ ， $3 x_{4} - 2$ ， $3 x_{5} - 2$ ，则对第二组数据分析正确的有（）

A、和是58 B、平均数是10 C、方差是 $\frac{9}{2}$ D、标准差是1

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11. 图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法数学上叫做密铺，密铺的图形公共顶点处的角的度数合起来正好是360°，正三角形，正方形，正六边形都可以密铺.如图所示，是一个可密铺的正六边形 $A B C D E F$ ，下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A D} \cdot \vec{A B} = {| \vec{A B} |}^{2}$ B、 $\vec{A C} + \vec{A E} = \frac{3}{2} \vec{A D}$ C、 $\vec{A C} - \vec{A E} = \vec{B F}$ D、 $\vec{A D}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量为 $\vec{A B}$

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12. 国家提出乡村振兴，建设生态宜居环境.某村委会提出，为了村民有一个傍晚乘凉的环境，准备在村里修建一座凉亭，凉亭的上半部分轮廓可近似看作一个正四棱锥.如图所示，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为 $2 \sqrt{7}$ 米，则以下说法正确的是（）

A、底面边长为 $4 \sqrt{3}$ 米 B、体积为 $24 \sqrt{3}$ 立方米 C、侧面积为 $32 \sqrt{3}$ 平方米 D、侧棱与底面所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$

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三、填空题

13. 一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为30的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为.

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14. 弘扬中学有一支篮球队，甲、乙为该球队队员，已知甲、乙两名队员投篮命中的概率分别为 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{3}$ .现两人各进行一次投篮比赛，假定两人是否投中互不影响，则甲、乙两人至少有一人投中的概率为.

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15. 已知正三棱锥 $P - A B C$ 的侧棱与底面所成的角为 $60 °$ ，高为 $4 \sqrt{3}$ ，则该三棱锥外接球的表面积为.

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16. 已知函数 $f (x) = a^{2} - | a | x$ ， $g (x) = \frac{2}{1 - x^{2}}$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) > g (x)$ 在 $x \in (0 ， 1)$ 上有解，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 如图所示，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A B$ 的中点，点 $F$ ， $G$ 分别是 $A D$ ， $B C$ 的三等分点（ $A F = \frac{1}{3} A D$ ， $B G = \frac{1}{3} B C$ ），设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{E F}$ ， $\vec{E G}$ ；

(2)、如果 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2$ 且 $∠ B A D = 6 0^{∘}$ ，求 $∠ F E G$ 的余弦值.

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18. 为分析某校高一学生的数学成绩，现从该校随机抽取40名学生期末考试的数学成绩（满分100分，成绩均不低于40分的整数），并将数学成绩分成六段： $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， …， $[90 ， 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求图中实数 $a$ 的值；

(2)、请根据频率分布直方图，估计该校高一年级期末考试的数学平均分；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）

(3)、若从样本中数学成绩在 $[40 ， 50)$ 与 $[90 ， 100]$ 两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的概率.

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19. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，如图所示，其中 $E$ 、 $F$ 分别是线段 $A_{1} B_{1}$ 、 $B C$ 的中点.

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ；

(2)、若 $A B = B C = 2$ ，直线 $E F$ 与 $B B_{1}$ 所成角的正切值为 $\sqrt{2}$ ，求四面体 $B E F B_{1}$ 的体积.

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20. 云南省文山市东山公园的文笔塔，是当地的标志性建筑.文笔塔最初建于康熙年间，旧塔高为19.33米，1997年重建新塔工程全面启动，历时一年，于1998年3月底修建而成，从远处望去，东山山顶上的文笔塔恍惚成为海市蜃楼，疑是人间仙境，如梦如幻，美丽无比.某中学数学兴趣小组为了测量文笔塔高度，在如图所示的点 $A$ 处测得塔底位于其北偏东 $60 °$ 方向上的 $D$ 点处，塔顶 $C$ 的仰角为 $60 °$ .在 $A$ 的正东方向且距 $A$ 点40m的点 $B$ 处测得塔底在其北偏西 $45 °$ 方向上（ $A$ 、 $B$ 、 $D$ 在同一水平面内）.

(1)、求 $s i n ∠ A D B$ 的值；

(2)、求文笔塔的高度 $C D$ .

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21. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (1 - x) + 3$ ，（ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象经过点 $P (- 2 ， 4)$ ，函数 $g (x) = b - \frac{2}{3^{x} + 1}$ 为奇函数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $F (x) = g (x) + 3^{x} - 2$ 的零点；

(3)、若关于 $x$ 的不等式 $m + l o g_{3} (\frac{1 + x}{1 - x}) < f (x)$ 在区间 $(- 1 ， 0)$ 上恒成立，求正实数 $m$ 的取值范围.

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22. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，该四棱锥的底面 $A B C D$ 是边长为6的菱形， $∠ A B C = 120 °$ ， $P A = P C$ ， $∠ P B D = ∠ P D B = 60 °$ ， $E$ 为线段 $A B$ 上靠近 $B$ 点的三等分点.

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、在线段 $P D$ 上是否存在一点 $F$ ，使得 $E F / /$ 平面 $P B C$ ？若存在，求 $\frac{P F}{P D}$ 的值及直线 $E F$ 与平面 $A B C D$ 所成角的大小；若不存在，请说明理由.

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