2023-2024学年北师大版数学八年级上册1.2一定是直角三角形吗同步练习（培优卷）

试卷更新日期：2023-08-09 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）

A、b²-c²＝a² B、a：b：c＝3：4：5 C、∠A：∠B：∠C＝9：12：15 D、∠C＝∠A-∠B

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2. 下列条件中，不能判断 $△ A B C$ 是直角三角形的是（）

A、三角形三条边的比为 $2 ： 3 ： 4$ B、三角形三条边满足关系式 $A B^{2} = B C^{2} - A C^{2}$ C、三角形三条边的比为 $1 ： 1 ： \sqrt{2}$ D、三角形三个内角满足关系式 $∠ B + ∠ C = ∠ A$

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3. △ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C，三条边分别为a，b，c．下列条件，能判断△ABC是直角三角形的是（）

A、 $a ： b ： c = 1 ： 2 ： 3$ B、 $∠ A = ∠ B = ∠ C$ C、 $∠ A ： ∠ B ： ∠ C = 3 ： 4 ： 5$ D、 $a^{2} = (b + c) (b - c)$

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4. 由线段a，b，c组成的三角形中，是直角三角形的是（）.

A、a=1，b=2，c=3 B、a=1，b= $\sqrt{2}$ ， c= $\sqrt{5}$ C、a=2，b=3，c=5 D、a=3，b=4，c=5

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5. 下列长度的四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）

A、1，2，3 B、 $\frac{3}{2}$ ， 2， $\frac{5}{2}$ C、4，5，6 D、8，15，19

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6. 满足下列条件的 $△ A B C$ ，其中不是直角三角形的是（）

A、 $b^{2} = (a + c) (a - c)$ B、 $a ： b ： c = 1 ： \sqrt{3} ： 2$ C、 $∠ C = ∠ A - ∠ B$ D、 $∠ A ： ∠ B ： ∠ C = 3 ： 4 ： 5$

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7. 老师布置了任务：过直线

A B

上一点C作

A B

的垂线．在没有直角尺的情况下，嘉嘉和淇淇利用手头的学习工具给出了如图所示的两种方案，下列判断正确的是（）

方案Ⅰ：

①利用一把有刻度的直尺在 $A B$ 上量出 $C D = 30 c m$ ． ②分别以D，C为圆心，以 $50 c m$ 和 $40 c m$ 为半径画圆弧，两弧相交于点E．③作直线 $C E$ ， $C E$ 即为所求的垂线．

方案Ⅱ：

取一根笔直的木棒，在木棒上标出M，N两点．①使点M与点C重合，点N对应的位置标记为点Q．②保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在 $A B$ 上，将旋转后点M对应的位置标记为点R．③将 $R Q$ 延长，在延长线上截取线段 $Q S = M N$ ，得到点S．④作直线 $S C$ ， $S C$ 即为所求直线．

A、Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B、Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C、Ⅰ、Ⅱ都可行 D、Ⅰ、Ⅱ都不可行

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8. 如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边 $A B$ 和 $B C$ 的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断 $∠ B$ 是否为直角，这样做的依据是（）

A、勾股定理 B、勾股定理的逆定理 C、三角形内角和定理 D、直角三角形的两锐角互余

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9. 如图，每个小正方形的边长为1，在 $△ A B C$ 中，点D为 $A B$ 的中点，则线段 $C D$ 的长为(　　)

A、 $\frac{\sqrt{26}}{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{26}$

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10. 如图，在 $6 \times 6$ 网格中，点A ， B ， C都是格点（网格线的交点），则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰直角三角形 B、等腰三角形 C、直角三角形 D、等边三角形

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二、填空题

11. 如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入元.

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12. 若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h ，给出下列结论：
①以a² ， b² ， c²的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以 $\sqrt{a} ， \sqrt{b} ， \sqrt{c}$ 的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b ， c+h ， h的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以 $\frac{1}{a} ， \frac{1}{b} ， \frac{1}{c}$ 的长为边的三条线段能组成直角三角形，符合题意结论的序号为．

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13. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，有 $A B ， C D ， E F ， G H$ 四条线段，其中能构成直角三角形三边的线段是.

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14. 已知等腰 $△ A B C$ 的底边 $B C = 5$ ， D是腰 $A B$ 上一点，且 $C D = 4$ ， $B D = 3$ ，则 $A D$ 的长为.

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15. 如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD＋∠CBE的度数为．

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三、综合题

16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 5$ ， $A C = 13$ ， $B C$ 边上的中线 $A D = 6$ ，延长 $A D$ 至点 $E$ ，使 $D E = A D$ ，连接 $C E$ ．

(1)、求证： $C E = A B$ ．

(2)、求 $C D$ 的长．

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17. .如图，点 $D$ 在△ABC中， $∠ B D C = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $A C = B D = 4$ ， $C D = 2$ ．

(1)、求BC的长；

(2)、求图中阴影部分的面积．

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18. 在 $△ A B C$ 中， $B C = a$ ， $A C = b$ ， $A B = c$ ，设 $c$ 为最长边，当 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 时， $△ A B C$ 是直角三角形；当 $a^{2} + b^{2} \neq c^{2}$ 时，利用代数式 $a^{2} + b^{2}$ 和 $c^{2}$ 的大小关系，探究 $△ A B C$ 的形状 $($ 按角分类 $)$ ．

(1)、当 $△ A B C$ 三边分别为6、8、9时， $△ A B C$ 为三角形；当 $△ A B C$ 三边分别为6、8、11时， $△ A B C$ 为三角形．

(2)、猜想，当 $a^{2} + b^{2}$ $c^{2}$ 时， $△ A B C$ 为锐角三角形；当 $a^{2} + b^{2}$ $c^{2}$ 时， $△ A B C$ 为钝角三角形．

(3)、判断当 $a = 2$ ， $b = 4$ 时， $△ A B C$ 的形状，并求出对应的 $c$ 的取值范围．

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19. 课本矩形一节，根据矩形的的性质得到了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
小聪同学画出了如图①所示的一个特殊的直角三角形，其中 $∠ B A C$ 为直角，AD为斜边BC上的中线， $∠ B = 30 °$ ．它证明上面定理思路如下：延长AD至点E，使 $D E = A D$ ，连结BE，再证 $△ A B C ≌ △ B A E$ ，从而就可以证明得到 $A D = \frac{1}{2} B C$ ；

(1)、小聪同学还想借助图②，在任意的 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C$ 为直角，AD为斜边BC上的中线，证明结论 $A D = \frac{1}{2} B C$ ，请你帮助小聪同学完成；

(2)、如图③，在 $△ A B C$ 中 $A D ⊥ B C$ ，垂足为D，如果 $C D = 1$ ， $A D = 2$ ， $B D = 4$ ，求 $△ A B C$ 的中线AE的长度．

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20. 在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格：
n
2
3
4
5
6
....
a
4
5
8
10
12
.....
b
3
8
15
24
35
.....
c
5
10
17
26
37
......
请回答下列问题：

(1)、当n＝7时，a＝， b＝， c＝；

(2)、请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝， b＝， c＝；

(3)、猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明．

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n	2	3	4	5	6	....
a	4	5	8	10	12	.....
b	3	8	15	24	35	.....
c	5	10	17	26	37	......

2023-2024学年北师大版数学八年级上册1.2一定是直角三角形吗 同步练习（培优卷）

一、选择题

二、填空题

三、综合题

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