2023-2024学年北师大版数学八年级上册4.4一次函数的应用同步练习（培优卷）

试卷更新日期：2023-08-09 类型：同步测试

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一、选择题

1. 一次函数 $y_{1} = k x + b$ （ $k \neq 0$ ， k、b是常数）与 $y_{2} = m x + 3$ （ $m \neq 0$ ， m是常数）的图像交于点 $D (1 ， 2)$ ，下列结论正确的序号是（）
①关于 $x$ 的方程 $k x + b = m x + 3$ 的解为 $x = 1$ ；
②一次函数 $y_{2} = m x + 3$ （ $m \neq 0$ ）图像上任意不同两点 $A (x_{a} ， y_{a})$ 和 $B (x_{b} ， y_{b})$ 满足： $(x_{a} - x_{b}) (y_{a} - y_{b}) < 0$ ；
③若 $| y_{1} - y_{2} | = b - 3$ （ $b > 3$ ），则 $x = 0$ ；
④若 $b < 3$ ，且 $b \neq 2$ ，则当 $x > 1$ 时， $y_{1} > y_{2}$ ．

A、②③④ B、①②④ C、①②③ D、①②③④

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2. 如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD各顶点的坐标分别为A（1，-1），B（2，-3），C（4，-3），D（3，-1），若直线y＝-3x+b与▱ABCD有交点，则b的取值范围是（）

A、3≤b≤8 B、2≤b≤8 C、2≤b≤9 D、-3≤b≤9

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3. 如图，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于A、B两点，从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后又经直线OB反射回到P点，则光线第一次的反射点Q的坐标是（）

A、（2，2） B、（2.5，1.5） C、（3，1） D、（1.5，2.5）

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4. 如图，直线 $y = \frac{2}{3} x + 4$ 与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段 $A B$ 上，且点C坐标为 $(m ， 2)$ ，点D为线段 $O B$ 的中点，点P为 $O A$ 上一动点，当 $△ P C D$ 的周长最小时，点P的坐标为（）

A、 $(- 3 ， 0)$ B、 $(- \frac{3}{2} ， 0)$ C、 $(- \frac{5}{2} ， 0)$ D、 $(- \frac{7}{2} ， 0)$

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5. 小泽和小帅分别从甲地骑自行车沿同一条路到乙地．如图是小泽和小帅离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象．根据图中信息，下列说法有误的是（）

A、从甲到乙地共24千米 B、小帅的骑车速度为8千米/小时 C、小泽出发0.5小时后小帅才出发 D、当小帅到达乙地时，小泽距乙地还有4千米

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6. 如图，折线表示一骑车人离家的距离 $y$ 与时间 $x$ 的关系，骑车人9：00离开家，15：00回到家，则下列说法错误的是（）

A、骑车人离家最远距离是45km B、骑车人中途休息的总时间长是1.5h C、从9：00到10：30骑车人离家的速度越来越大 D、骑车人返家的平均速度是30km/h

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7. 如图，在平面直角坐标系中，若折线 $y = - | x - 2 | + 1$ 与直线交 $y = k x + 2 k$ （ $k > 0$ ）有且仅有一个交点，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $0 < k < 1$ 或 $k = \frac{1}{4}$ B、 $k > 1$ 或 $k = \frac{1}{4}$ C、 $0 < k < 2$ 或 $k = \frac{1}{4}$ D、 $k > 2$ 或 $k = \frac{1}{4}$

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8. 如图，在Rt△ABO中，∠OAB=90°，B(3，3)，点D在边AB上，AD=2BD，点C为OA的中点，点P为边OB上的动点，若四边形PCAD周长最小，则点P的坐标为（）

A、( $\frac{3}{2}$ ， $\frac{3}{2}$ ) B、(2，2) C、( $\frac{9}{5}$ ， $\frac{9}{5}$ ) D、( $\frac{4}{3}$ ， $\frac{4}{3}$ )

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9. 如图，等腰Rt△ABC中，BC＝ $8 \sqrt{5}$ ，以边AC为斜边向右做等腰Rt△ACD，点E是线段CD的中点，连接 AE.作线段CE关于直线AC的对称线段CF，连接BF，并延长BF交线段AE于点G，则线段BG长为（）

A、 $16 \sqrt{5}$ B、 $16 \sqrt{2}$ C、 $12 \sqrt{5}$ D、 $12 \sqrt{2}$

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10. 如图，四边形 $A B C D$ 的顶点坐标分别为 $A (- 4 ， 0) ， B (- 2 ， - 1) ， C (3 ， 0) ， D (0 ， 3)$ ，当过点 $B$ 的直线 $l$ 将四边形 $A B C D$ 分成面积相等的两部分时，直线 $l$ 所表示的函数表达式为（　　）

A、 $y = \frac{11}{10} x + \frac{6}{5}$ B、 $y = \frac{2}{3} x + \frac{1}{3}$ C、 $y = x + 1$ D、 $y = \frac{5}{4} x + \frac{3}{2}$

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二、填空题

11. 定义：在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若点M关于直线 $x = m$ 的对称点 $M^{'}$ 在 $▱ A B C D$ 的内部（不包含边界），则称点M是 $▱ A B C D$ 关于直线 $x = m$ 的“伴随点”．如图，已知 $A (- 2 ， 0) ， B (3 ， 0) ， C (4 ， 4)$ 三点，连接 $B C$ ，以 $A B ， B C$ 为边作 $▱ A B C D$ ．若在直线 $y = x + n$ 上存在点N，使得点N是 $▱ A B C D$ 关于直线 $x = 2$ 的“伴随点”，则n的取值范围是．

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12. 如图，一次函数 $y = - \frac{4}{3} x + 8$ 的图象分别交x、y轴于点A、B，点P在x轴上，若沿直线 $B P$ 将 $△ O B P$ 翻折，点O恰好落在直线 $A B$ 上的点C处，则点P的坐标是 .

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13. 如图，一次函数 $y = \frac{4}{3}$ x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上的一动点，连接BC，将 $△ A B C$ 沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为.

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14. 如图，直线 $y = x + 1$ 与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是 $O B$ 的中点，点D、E分别是直线 $A B$ 、y轴上的动点，则 $△ C D E$ 的周长最小值是.

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15. 2020年1月15日上午八点，重庆马拉松赛在南滨路鸣枪起跑.为庆祝重马十周年，小明和小红约定一起参加迷你马拉松跑（全长5000 米）.比赛开始前，两人约定，完成总路程的 $\frac{1}{5}$ 时，速度快的人要在原地停留等待对方.比赛正式开始后，两人均匀速向前.已知小明率先完成全程的 $\frac{1}{5}$ ，并立刻停下，待小红追上时再次以原速匀速出发.一段时间后，小明体力不支，降速为原来的 $\frac{2}{3}$ 后匀速前进，最后同时与小红到达终点. 在此过程中，小红速度保持不变.如图是小明和小红之间的距离y（米）与两人出发的时间x（分钟）之间的函数图象.则小明开始降速时，小明距离终点还有米.

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三、综合题

16. 为了响应国家退耕还林政策，某器材销售公司捐出五月份全部销售利润用于种树．已知该公司五月份只售出甲、乙、丙三种型号器材若干台，每种型号器材不少于8台，五月份支出包括这批器材进货款54万元和其他支出（含人员工资、杂项开支）共3.25万元．这三种器材的进价和售价如下表所示，人员工资 $y_{1}$ （万元）和杂项支出 $y_{2}$ （万元）分别与总销售量x（台）成一次函数关系（如图）．

型号
甲
乙
丙
进价（万元/台）
0.9
1.2
1.1
售价（万元/台）
1.2
1.6
1.3

(1)、直接写出： $y_{1}$ 与x之间的函数表达式为；五月份该公司的总销售量为台；

(2)、设公司五月份售出甲种型号器材t台，五月份总销售利润为W（万元），求W与t之间的函数表达式；

(3)、请推测该公司这次活动捐款金额的最大值．

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17. 甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段 $O A$ 表示货车离甲地的距离 $y$ （千米）与时间 $x$ （小时）之间的函数关系：线段 $B D$ 表示轿车离甲地的距离 $y$ （千米）与时间 $x$ （小时）之间的函数关系.点 $C$ 在线段 $B D$ 上，请根据图象解答下列问题.

(1)、轿车的速度是千米/小时；

(2)、求轿车出发后、轿车离甲地的距离 $y ($ 千米）与时间 $x$ （小时）之间的函数关系式；

(3)、在轿车行驶的过程中，轿车与货车之间的距离为20千米时，直接写出 $x$ 的值.

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18. 近几年，我国快递市场跟随电商经历了爆发式增长，快递已成为人们生活的一部分．越来越多的人选择通过快递公司代办点邮寄包裹，那么选择哪家快递公司更合算呢？以此为驱动问题，某校八年级开展了项目学习．如表是李华同学帮家人选择更优惠的快递公司的活动报告（不完整），请仔细阅读并完成相应任务．

为家人选择更优惠的快递公司活动报告

⑴收集信息

经了解我家附近有甲、乙两个不同的快递公司代办点，服务质量同等，爸爸妈妈邮寄快递通常是随机去其中的一个代办点，他们邮寄的快递都是省外且在10kg以内，体积一般较小．

快递费通常是由首重费和续重费组成，以1kg为单位计费，不足1kg按1kg计费．取实际重量和体积重量（长×宽×高/6000，单位cm）中两者较大值作为物品重量计费．

甲、乙两个代办点省外邮寄费用标准如下：

甲：首重1kg收费8元，续重5元/kg；（即所寄物品重量不超过1kg时收费8元，重量超过1kg时超过部分按每千克加收5元计费）

乙：首重1kg收费10元，续重4元/kg．

⑵建立模型

①发现所寄物品的快递费用y（元）与物品重量x（kg）之间存在函数关系，y与x之间的关系式为：

$y_{甲} =$ ${\begin{array}{l} 8 (0 < x \leq 1) \\ 5 x + 3 (x > 1) \end{array}$ ， $y_{乙} =$ ${\begin{array}{l} 10 (0 < x \leq 1) \\ 4 x + 6 (x > 1) \end{array}$ ．

②在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象（如图，不完整），两图象交于点A．

⑶解决问题

我们可以根据图象推断哪个快递公司更优惠，结论如下：

任务：

(1)、直接将函数图象补充完整（在图中画出y_乙函数图象）（不需要过程）．

(2)、写出点A的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义．

(3)、根据图象推断哪个快递公司更优惠．

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19. 定义：对于给定的一次函数 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ， k、b为常数），把形如 $y = {\begin{array}{l} k x + b (x \geq 0) \\ - k x + b (x < 0) \end{array}$ （ $k \neq 0$ ， k、b为常数）的函数称为一次函数 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ， k、b为常数）的衍生函数．已知 $▱ A B C D$ 的顶点坐标分别为 $A (- 2 ， 1)$ ， $B (3 ， 1)$ ， $C (5 ， 3)$ ， $D (0 ， 3)$ ．

(1)、点 $E (n ， 3)$ 在一次函数 $y = x + 2$ 的衍生函数图象上，则 $n =$ ；

(2)、如图，一次函数 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ， k、b为常数）的衍生函数图象与 $▱ A B C D$ 交于M、N、P、Q四点，其中P点坐标是 $(- 1 ， 2)$ ，并且 $S_{△ A P Q} + S_{四边形 B C M N} = \frac{20}{3}$ ，求该一次函数的解析式．

(3)、一次函数 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ， k、b为常数），其中k、b满足 $3 k + b = 2$ ．
①请问一次函数的图象是否经过某个定点，若经过，请求出定点坐标；若不经过，请说明理由；
②一次函数 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ， k、b为常数）的衍生函数图象与 $▱ A B C D$ 恰好有两个交点，求b的取值范围．

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20. 某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道 $A B$ ，长度为 $1 m$ 的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿 $A B$ 方向从左向右匀速滑动，滑动速度为 $9 m / s$ ，滑动开始前滑块左端与点 $A$ 重合，当滑块右端到达点 $B$ 时，滑块停顿 $2 s$ ，然后再以小于 $9 m / s$ 的速度匀速返回，直到滑块的左端与点 $A$ 重合，滑动停止．设时间为 $t (s)$ 时，滑块左端离点 $A$ 的距离为 $l_{1} (m)$ ，右端离点 $B$ 的距离为 $l_{2} (m)$ ，记 $d = l_{1} - l_{2} ， d$ 与 $t$ 具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当 $t = 4.5 s$ 和 $5.5 s$ 时，与之对应的 $d$ 的两个值互为相反数；滑块从点 $A$ 出发到最后返回点 $A$ ，整个过程总用时 $27 s$ （含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题：

(1)、滑块从点 $A$ 到点 $B$ 的滑动过程中， $d$ 的值；（填“由负到正”或“由正到负”）

(2)、滑块从点 $B$ 到点 $A$ 的滑动过程中，求 $d$ 与 $t$ 的函数表达式；

(3)、在整个往返过程中，若 $d = 18$ ，求 $t$ 的值．

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型号	甲	乙	丙
进价（万元/台）	0.9	1.2	1.1
售价（万元/台）	1.2	1.6	1.3