2023年浙教版数学九年级上册1.4 二次函数的应用同步测试（培优版）

试卷更新日期：2023-08-09 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 根据下列表格中的对应值：

x

1.98

1.99

2.00

2.01

$y = a x^{2} + b x + c$

-0.06

-0.05

-0.03

0.01

判断方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ，a，b，c为常数）一个根x的范围是（）

A、 $1 .00 < x < 1.98$ B、 $1.98 < x < 1.99$ C、 $1.99 < x < 2.00$ D、 $2.00 < x < 2.01$

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2. 如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数.现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后1秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（）.

A、 $0 < t < 1$ B、 $1 \leq t < 2$ C、 $\frac{1}{2} \leq t < \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2} \leq t < \frac{5}{2}$

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3. 某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是（　　）

A、180 B、220 C、190 D、200

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4. 如图，抛物线y=﹣2x²+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C₁ ，将C₁向右平移得C₂ ， C₂与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C₁、C₂共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）

A、 $- 2 < m < \frac{1}{8}$ B、 $- 3 < m < - \frac{7}{4}$ C、 $- 3 < n < - 2$ D、 $- 3 < m < - \frac{15}{8}$

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5. 已知二次函数 $y = - x^{2} + x + m^{2} (m > 0)$ 与一次函数 $y = - x + 1$ 交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点 $(x_{1} < x_{2})$ ，当 $x_{1} \leq x \leq x_{2}$ 时，至少存在一个x使得 $- x^{2} + x + m^{2} \geq \frac{1}{3}$ 成立，则m的取值范围是（）

A、 $0 < m \leq \frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{5} \leq m \leq \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{4} \leq m \leq \frac{1}{3}$ D、 $m \geq \frac{1}{3}$

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6. 抛物线 $y = a x^{2} - a (a \neq 0)$ 与直线 $y = k x$ 交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，若 $x_{1} + x_{2} < 0$ ，则直线 $y = a x + k$ 一定经过（）．

A、第一、二象限 B、第二、三象限 C、第三、四象限 D、第一、四象限

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7. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ $(a \neq 0)$ 与 $x$ 轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P₁（ $x_{1}$ ， $y_{1}$ ），P₂（ $x_{2}$ ， $y_{2}$ ）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P₁AB的面积为S₁ ， △P₂AB的面积为S₂。有下列结论：①当 $x_{1} > x_{2} + 2$ 时，S₁>S₂；②当 $x_{1} < 2 - x_{2}$ 时，S₁<S₂；③当 $| x_{1} - 2 | > | x_{2} - 2 | > 1$ 时，S₁>S₂；④当 $| x_{1} - 2 | > | x_{2} + 2 | > 1$ 时，S₁<S₂。其中正确结论的个数是

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 如图，正三角形ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设运动时间为x(秒)，y=PC² ，则y关于x的函数的图象大致是（ )

A、 B、 C、 D、

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9. 定义：两个不相交的函数图象在平行于 $y$ 轴方向上的最短距离称为这两个函数的“完美距离”．抛物线 $y = 2 x^{2} - 5 x + 3$ 与直线 $y = - 2 x - 1$ 的“完美距离”为（）

A、 $\frac{23}{8}$ B、3 C、 $\frac{27}{8}$ D、 $\frac{21}{8}$

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10. 如图，已知抛物线y=x²-2x与直线y=-x+2交于A，B两点．点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移4个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，则点M的横坐标x_M的取值范围是（）

A、-2≤x_M≤2 B、-2≤x_M≤2且x_M≤-1 C、-1≤x_M<2 D、-1≤x_M<2或x_M=3

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二、填空题（每空4分，共24分）

11. 二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4），（t，4）三点，当t≥3时，一元二次方程ax²+bx+c＝n一定有实数根，则n的取值范围是．

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12. 规定：如果两个函数的图象关于 $y$ 轴对称，那么称这两个函数互为“ $Y$ 函数” $.$ 例如：函数 $y = x + 3$ 与 $y = - x + 3$ 互为“ $Y$ 函数” $.$ 若函数 $y = \frac{k}{4} x^{2} + (k - 1) x + k - 3$ 的图象与 $x$ 轴只有一个交点，则它的“ $Y$ 函数”图象与 $x$ 轴的交点坐标为．

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13. 已知二次函数y＝﹣x²+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是．

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14. 抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 的图象为 $G_{1}$ ， $G_{1}$ 关于 $x$ 轴对称的图象为 $G_{2}$ ， $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 组成的图象与直线 $y = x + m$ 有3个公共点时， $m$ 的范围（或值）是．

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15. 如图，直线y＝kx＋b交坐标轴于A、B两点，交抛物线y＝ax²于点C(4，3)，且C是线段AB的中点，抛物线上另有位于第一象限内的一点P，过P的直线y＝k′x＋b′交坐标轴于D、E两点，且P恰好是线段DE的中点，若△AOB∽△DOE，则P点的坐标是.

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16. 某商户购进某种商品的进价是50元／个，根据市场调研发现售价是80元／个时，每月可卖出200个，若销售单价每降低1元，则每月可多卖出10个，同样若销售单价每增加1元，则每月可少卖出10个．若计划下月该商品的销售利润不低于5760元，则该商品的销售单价x(元)的取值范围是．

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三、解答题（共8题，共66分）

17. 已知关于x的一元二次方程mx²+（3m+1）x+3=0．

(1)、求证：该方程有两个实数根；

(2)、如果抛物线y=mx²+（3m+1）x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m为正整数，求此抛物线的表达式；

(3)、在（2）的条件下，抛物线y=mx²+（3m+1）x+3与y轴交于点C，点B关于y轴的对称点为D，设此抛物线在-3≤x≤- $\frac{1}{2}$ 之间的部分为图象G，如果图象G向右平移n（n＞0）个单位长度后与直线CD有公共点，求n的取值范围．

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18. 乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度

O A

为

28.75

c m

的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．

乒乓球到球台的竖直高度记为 $y$ （单位： $c m$ ），乒乓球运行的水平距离记为 $x$ （单位： $c m$ ）．测得如下数据：

水平距离x/ $c m$	$0$	$10$	$50$	$90$	$130$	$170$	$230$
竖直高度y/ $c m$	$28.75$	$33$	$45$	$49$	$45$	$33$	$0$

(1)、在平面直角坐标系

x O y

中，描出表格中各组数值所对应的点

(x ， y)

，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；

(2)、①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是

c m

，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是

c m

；

②求满足条件的抛物线解析式；

(3)、技术分析：如果只上下调整击球高度

O A

，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出

O A

的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长

O B

为274

c m

，球网高

C D

为15.25

c m

．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度

O A

的值约为1.27

c m

．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度

O A

的值（乒乓球大小忽略不计）．

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19. 阅读下列材料
我们通过下列步骤估计方程2x²+x﹣2=0的根的所在的范围．

第一步：画出函数y=2x²+x﹣2的图象，发现图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标在0，1之间．

第二步：因为当x=0时，y=﹣2＜0；当x=1时，y=1＞0．

所以可确定方程2x²+x﹣2=0的一个根x₁所在的范围是0＜x₁＜1．

第三步：通过取0和1的平均数缩小x₁所在的范围；

取x= $\frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2}$ ，因为当x= $\frac{1}{2}$ 时，y＜0，

又因为当x=1时，y＞0，

所以 $\frac{1}{2}$ ＜x₁＜1．

(1)、请仿照第二步，通过运算，验证2x²+x﹣2=0的另一个根x₂所在范围是﹣2＜x₂＜﹣1；

(2)、在﹣2＜x₂＜﹣1的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x₂所在范围缩小至m＜x₂＜n，使得n﹣m≤ $\frac{1}{4}$ ．

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20. 如图是北京冬奥会举办前张家口某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C₁：y= $- \frac{1}{8} x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{3}{2}$ 近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线C₂：y= $- \frac{1}{4}$ x²+bx+c运动．

(1)、当小张滑到离A处的水平距离为8米时，其滑行高度为10米，求出b，c的值；

(2)、在(1)的条件下，当小张滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为是 $\frac{5}{2}$ 米？

(3)、若小张滑行到坡顶正上方，且与坡顶距离不低于4米，求b的取值范围．

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21. 如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B (4 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， 4)$ ，点 $E$ 在抛物线上．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $E$ 在第一象限内，过点 $E$ 作 $E F ∥ y$ 轴，交 $B C$ 于点 $F$ ，作 $E H ∥ x$ 轴，交抛物线于点 $H$ ，点 $H$ 在点 $E$ 的左侧，以线段 $E F ， E H$ 为邻边作矩形 $E F G H$ ，当矩形 $E F G H$ 的周长为11时，求线段 $E H$ 的长；

(3)、点 $M$ 在直线 $A C$ 上，点 $N$ 在平面内，当四边形 $O E N M$ 是正方形时，请直接写出点 $N$ 的坐标．

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22. 如图，抛物线 $y = a x ² + 2 x + c$ 交 $x$ 轴于 $A (6 ， 0)$ ， $B (- 2 ， 0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $A$ ，顶点为 $D$ ，对称轴分别交 $x$ 轴、 $A C$ 于点 $E$ 、 $F$ ，点 $P$ 是射线 $D E$ 上一动点，过点 $P$ 作 $A C$ 的平行线 $M N$ 交抛物线于点 $M$ 、 $N ($ 点 $M$ 位于对称轴的左侧 $)$ ，设点 $P$ 的纵坐标为 $t$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当点 $P$ 位于 $E F$ 的中点时，求点 $M$ 的坐标；

(3)、点 $Q$ 是抛物线上一点，点 $P$ 在整个运动过程中，满足以点 $C$ 、 $P$ 、 $M$ 、 $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出 $t$ 的值．

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23. 按要求解答

(1)、某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2400米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？

(2)、隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度 $O C = O D = 4$ 米，人行道地基AC，BD宽均为2米，拱高 $O M = 10.8$ 米．建立如图所示的直角坐标系．
①此抛物线的函数表达式为 ▲ ．（函数表达式用一般式表示）

②按规定，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少0.5米，则此隧道限高 ▲ 米．

③已知人行道台阶 $C E ， D F$ 高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行道宽度设计是否达标？说明理由．

+

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24. 某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台；

(1)、直接写出y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场—第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场—第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据：
x（场）
3
10
25
p（万元）
10.6
12
14.2

(2)、求p与x之间满足的函数关系式；

(3)、当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？

(4)、在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？

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x	1.98	1.99	2.00	2.01
$y = a x^{2} + b x + c$	-0.06	-0.05	-0.03	0.01

x（场）	3	10	25
p（万元）	10.6	12	14.2

2023年浙教版数学九年级上册1.4 二次函数的应用 同步测试（培优版）

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每空4分，共24分）

三、解答题（共8题，共66分）

2023年浙教版数学九年级上册1.4 二次函数的应用同步测试（培优版）