2023年浙教版数学九年级上册1.3 二次函数的性质同步测试（培优版）

试卷更新日期：2023-08-09 类型：同步测试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y_{1} = m x + n$ 与抛物线 $y_{2} = a x^{2} + b x - 3$ 相交于点 $A$ ， $B$ ．结合图象，判断下列结论：①当 $- 2 < x < 3$ 时， $y_{1} > y_{2}$ ；② $x = 3$ 是方程 $a x^{2} + b x - 3 = 0$ 的一个解；③若 $(- 1 ， t_{1})$ ， $(4 ， t_{2})$ 是抛物线上的两点，则 $t_{1} < t_{2}$ ；④对于抛物线， $y_{2} = a x^{2} + b x - 3$ ，当 $- 2 < x < 3$ 时， $y_{2}$ 的取值范围是 $0 < y_{2} < 5$ ．其中正确结论的个数是（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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2. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，对称轴是直线 $x = 1$ ，下列结论：① $a b c < 0$ ；②方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ）必有一个根大于2且小于3；③若 $(0 ， y_{1}) ， (\frac{3}{2} ， y_{2})$ 是抛物线上的两点，那么 $y_{1} < y_{2}$ ；④ $11 a + 2 c > 0$ ；⑤对于任意实数m，都有 $m (a m + b) \geq a + b$ ，其中正确结论的个数是（　　）

A、5 B、4 C、3 D、2

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3. 如图， $E$ 是线段 $A B$ 上一点， $△ A D E$ 和 $△ B C E$ 是位于直线 $A B$ 同侧的两个等边三角形，点 $P ， F$ 分别是 $C D ， A B$ 的中点．若 $A B = 4$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $P A + P B$ 的最小值为 $3 \sqrt{3}$ B、 $P E + P F$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$ C、 $△ C D E$ 周长的最小值为6 D、四边形 $A B C D$ 面积的最小值为 $3 \sqrt{3}$

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4. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c$ 是常数 $)$ 开口向下，过 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (m ， 0)$ 两点，且 $1 < m < 2 ．$ 下列四个结论：
$①$ 若 $c = 1$ ，则 $0 < b < 1$ ；
$②$ 若 $m = \frac{3}{2}$ 时，则 $3 a + 2 c < 0$ ；
$③$ 若点 $M (x_{1} ， y_{1})$ ， $N (x_{2} ， y_{2})$ ，在抛物线上， $x_{1} < x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} > 1$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ ；
$④$ 当 $a \leq - 1$ 时，关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 1$ 必有两个不相等的实数根．
$⑤$ 如果 $m = \frac{3}{2}$ ， $c = 1$ ，那么当 $0 < x < 2$ 时，直线 $y = k$ 与该二次函数有一个公共点，则 $- 1 < k < 1$ ．其中结论正确的个数有（）

A、 $2$ 个 B、 $3$ 个 C、 $4$ 个 D、 $5$ 个

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5. 规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．对于题目：抛物线 $y = a x (x - 4) + m (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴分别交于 $M$ 、 $N$ 两点（点M在点N的左侧）， $M N ＝ 2$ ，线段 $M N$ 与抛物线围成的封闭区域记作 $G$ （包括边界），若区域 $G$ 内有6个整点，求 $a$ 的取值范围．则（）

A、 $3 \leq a < 4$ B、 $- 4 < a \leq - 3$ C、 $- 4 < a \leq - 3$ 或 $3 \leq a < 4$ D、 $- 4 < a < - 3$ 或 $3 \leq a < 4$

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6. 如图所示是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象，其顶点坐标为 $(1 ， n)$ ，且与x轴的一个交点在点 $(3 ， 0)$ 和 $(4 ， 0)$ 之间，则下列结论：① $a - b + c > 0$ ；② $3 a + c > 0$ ；③ $b^{2} = 4 a (c - n)$ ；④一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = n - 2$ 没有实数根．其中正确的结论个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 如图，抛物线y＝ax²+bx+c的顶点坐标为（1，n）．下列结论：①abc＜0；②8a+c＜0；③关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝n-1有两个不相等实数根；④抛物线上有两点P（x₁ ， y₁）和Q（x₂ ， y₂），若x₁＜1＜x₂ ，且x₁+x₂＞2，则y₁＞y₂ ．其中正确的结论共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 已知二次函数y=（x-m+2）（x+m-4）+n，其中m，n为常数，则（）

A、m>1，n<0时，二次函数的最小值大于0 B、m=1，n>0时，二次函数的最小值大于0 C、m<1，n>0时，二次函数的最小值小于0 D、m=1，n<0时，二次函数的最小值小于0

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9. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴相交于点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (6 ， 0)$ ，与y轴相交于点C，甲、乙、丙、丁四名同学在一起探究该函数的图象与性质，下面是他们得出的结论，其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 已知非负数 $a ， b ， c$ ，满足 $a - b = 2$ 且 $c + 3 a = 9$ ，设 $y = a^{2} + b + c$ 的最大值为 $m$ ，最小值为 $n$ ，则 $m - n$ 的值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（每空3分，共21分）

11. 定义：若x，y满足 $x^{2} = 4 y + t ， y^{2} = 4 x + t$ 且 $x \neq y$ （t为常数），则称点 $M (x ， y)$ 为“和谐点”．

(1)、若 $P (3 ， m)$ 是“和谐点”，则 $m =$ ．

(2)、若双曲线 $y = \frac{k}{x} (- 3 < x < - 1)$ 存在“和谐点”，则k的取值范围为．

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12. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a，b，c是常数， $a \neq c$ ），且 $a - b + c = 0$ ， $a > 0$ ．下列四个结论：
①对于任意实数 $m$ ， $a (m^{2} - 1) + b (m - 1) \geq 0$ 恒成立；

②若 $a + b = 0$ ，则不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集是 $- 1 < x < 2$ ；

③一元二次方程 $- a {(x - 2)}^{2} + b x = 2 b + c$ 有一个根 $x = 1$ ；

④点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 在抛物线上，若 $c > a$ ，则当 $- 1 < x_{1} < x_{2}$ 时，总有 $y_{1} < y_{2}$ ．其中正确的是．（填写序号）

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13. 已知二次函数y＝x²＋bx＋c．当－1≤x≤1时，y的取值范围是－1≤y≤1，该二次函数的对称轴为x＝m，则m的值是.

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14. 已知关于 $x$ 的二次函数 $y = 3 x_{}^{2} - 6 a x + 4 a_{}^{2} + 2 a + 4$ ，其中 $a$ 为实数，当-2≤x≤1时， $y$ 的最小值为4，满足条件的 $a$ 的值为。

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15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝-x²+6x+c的对称轴与x轴交于点A，在直线AB：y＝kx+3上取一点B，使点B在第四象限，且到两坐标轴的距离和为7，设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形为正方形，则c的值为．

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16. 已知抛物线y＝x²+4x－8与直线l交（抛物线）于点A（－5，m），B（n，-3）（n＞0）．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），则点P的纵坐标的取值范围为．

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三、解答题（共8题，共69分）

17. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于点 $A (- 2 ， 0)$ 和点 $B (6 ， 0)$ 两点，与y轴交于点 $C (0 ， 6)$ ．点D为线段 $B C$ 上的一动点．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、如图1，求 $△ A O D$ 周长的最小值；

(3)、如图2，过动点D作 $D P ∥ A C$ 交抛物线第一象限部分于点P，连接 $P A ， P B$ ，记 $△ P A D$ 与 $△ P B D$ 的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．

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18. 如图，直线 $y = - x + 4$ 交 $x$ 轴于点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，对称轴为 $x = \frac{3}{2}$ 的抛物线经过 $B ， C$ 两点，交 $x$ 轴负半轴于点 $A$ ． $P$ 为抛物线上一动点，点 $P$ 的横坐标为 $m$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线交抛物线于另一点 $M$ ，作 $x$ 轴的垂线 $P N$ ，垂足为 $N$ ，直线 $M N$ 交 $y$ 轴于点 $D$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若 $0 < m < \frac{3}{2}$ ，当 $m$ 为何值时，四边形 $C D N P$ 是平行四边形？

(3)、若 $m < \frac{3}{2}$ ，设直线 $M N$ 交直线 $B C$ 于点 $E$ ，是否存在这样的 $m$ 值，使 $M N = 2 M E$ ？若存在，求出此时 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

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19. 如图，抛物线过点 $O (0 ， 0)$ ， $E (10 ， 0)$ ，矩形 $A B C D$ 的边 $A B$ 在线段 $O E$ 上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设 $B (t ， 0)$ ，当 $t = 2$ 时， $B C = 4$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、当t为何值时，矩形 $A B C D$ 的周长有最大值？最大值是多少？

(3)、保持 $t = 2$ 时的矩形 $A B C D$ 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线 $G H$ 平分矩形 $A B C D$ 的面积时，求抛物线平移的距离．

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20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $L_{1}$ 交 $x$ 轴于点 $A (1 ， 0) ， C (5 ， 0)$ ，顶点坐标为 $E (m_{1} ， k)$ ．抛物线 $L_{2}$ 交 $x$ 轴于点 $B (2 ， 0) ， D (10 ， 0)$ ，顶点坐标为 $F (m_{2} ， k)$ ．

(1)、连接 $E F$ ，求线段 $E F$ 的长；

(2)、点 $M (- 7 ， d_{1})$ 在抛物线 $L_{1}$ 上，点 $N (16 ， d_{2})$ 在抛物线 $L_{2}$ 上．比较大小： $d_{1}$ $d_{2}$ ；

(3)、若点 $P (n + 3 ， f_{1}) ， Q (2 n - 1 ， f_{2})$ 在抛物线 $L_{1}$ 上， $f_{1} < f_{2}$ ，求 $n$ 的取值范围．

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21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + c$ 经过点 $A (0 ， 1)$ ．点 $P$ ， $Q$ 在此抛物线上，其横坐标分别为 $m ， 2 m (m > 0)$ ，连接 $A P$ ， $A Q$ ．

(1)、求此抛物线的解析式．

(2)、当点 $Q$ 与此抛物线的顶点重合时，求 $m$ 的值．

(3)、当 $∠ P A Q$ 的边与 $x$ 轴平行时，求点 $P$ 与点 $Q$ 的纵坐标的差．

(4)、设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为 $h_{1}$ ，在点 $A$ 与点 $Q$ 之间部分（包括点 $A$ 和点 $Q$ ）的最高点与最低点的纵坐标的差为 $h_{2}$ ．当 $h_{2} - h_{1} = m$ 时，直接写出 $m$ 的值．

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22. 如图，抛物线 $L$ ： $y = a (x - 1) (x - 3)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ 且 $O B = O C$ ，点 $P (m ， n)$ 为抛物线 $L$ 的对称轴右侧图象上的一点（不含顶点）．

(1)、 $a$ 的值为，抛物线的顶点坐标为；

(2)、设抛物线 $L$ 在点 $C$ 和点 $P$ 之间的部分（含点 $C$ 和点 $P$ ）的最高点与最低点的纵坐标之差为 $h$ ，求 $h$ 关于 $m$ 的函数表达式，并写出自变量 $m$ 的取值范围；

(3)、若点 $P (m ， n)$ 的坐标满足 $m + n = 13$ 时，连接 $C P$ ，将直线 $C P$ 与抛物线 $L$ 围成的封闭图形记为 $G$ ．
①求点 $P$ 的坐标；
②直接写出封闭图形 $G$ 的边界上的整点（横、纵坐标都是整数）的个数．

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23. 如图，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象交 $x$ 轴于点 $A ， B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，点 $B$ 的坐标为 $(1 ， 0)$ ，对称轴是直线 $x = - 1$ ，点 $P$ 是 $x$ 轴上一动点， $P M ⊥ x$ 轴，交直线 $A C$ 于点 $M$ ，交抛物线于点 $N$ ．

(1)、求这个二次函数的解析式．

(2)、若点 $P$ 在线段 $A O$ 上运动（点 $P$ 与点 $A$ 、点 $O$ 不重合），求四边形 $A B C N$ 面积的最大值，并求出此时点 $P$ 的坐标．

(3)、若点 $P$ 在 $x$ 轴上运动，则在 $y$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使以 $M$ 、 $N 、 C 、 Q$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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24. 已知 $t$ 是抛物线 $y = x^{2} + 2 x - 2$ 与 $x$ 轴交点的横坐标．

(1)、若在自变量 $x$ 的值满足 $m \leq x \leq m + 2$ 时，与其对应的函数值 $y$ 的最小值为1，求此时 $m$ 的值；

(2)、求代数式 $\frac{t^{6} + 2 t^{5} + t^{4} + 6 t^{3} - t^{2} + 16 t - 4}{t^{8} + 2 t^{7} + t^{6} + 6 t^{5} - 5 t^{4} + 2 t^{3} - t^{2} + 3 t - 1}$ 值．

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2023年浙教版数学九年级上册1.3 二次函数的性质 同步测试（培优版）

一、选择题（每题3分， 共30分）

二、填空题（每空3分，共21分）

三、解答题（共8题，共69分）

2023年浙教版数学九年级上册1.3 二次函数的性质同步测试（培优版）

一、选择题（每题3分，共30分）