广东省深圳市福田区2022-2023学年八年级下学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-08-07 类型：期末考试

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一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）

1. 2023年6月4日6时33分，神舟十五号载人飞船返回舱在东风着陆场平安着陆，神舟十五号载人飞行任务取得圆满成功，展现了中国航天科技的新高度.下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）

A、中国探火 B、中国行星探测 C、航天神舟 D、中国火箭

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2. 若 $x < y$ ，则下列不等式中正确的是（）

A、 $x - 6 > y - 6$ B、 $5 x > 5 y$ C、 $x + 2 > y + 2$ D、 $- \frac{x}{3} > - \frac{y}{3}$

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3. 不等式组 ${\begin{array}{l} x - 1 ⩾ 0 ， \\ - 2 x < 2 \end{array}$ 的解集在数轴上用阴影表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 五边形的内角和为（）

A、360° B、540° C、720° D、900°

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5. 下列命题中，属于真命题的是（）

A、多边形的外角和都等于 $360 °$ B、直角三角形 $30 °$ 角的对边等于另一直角边的一半 C、一组对边相等的四边形是平行四边形 D、等腰三角形的高、中线、角平分线重合

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6. 如图， $△ A B C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $70 °$ 到 $△ D E C$ 的位置.如果 $∠ E C D = 30 °$ ，那么 $∠ A C E$ 等于（）

A、 $70 °$ B、 $50 °$ C、 $40 °$ D、 $30 °$

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7. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ，分别以点 $A$ 和点 $C$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $M$ 和点 $N$ ，作直线 $M N$ ，分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $E$ 和点 $F$ .若 $B C = 3$ ， $A B = 9$ ，则 $B E$ 的长为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $D E$ 平分 $∠ A D C$ ， $A E ⊥ B C$ .若 $B E = 5$ ， $A E = 12$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、13 B、17 C、18 D、25

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9. 赛龙舟是端午节的主要习俗之一，也是中国民俗传统与运动精神的完美结合.2019年起，深圳大沙河生态长廊龙舟邀请赛连续4年举办，已然成为深圳市标志性的体育赛事.2022年龙舟邀请赛设置了标准龙舟（22人龙舟）500米直道竞速赛项目，其中甲、乙两队参加比赛（比赛起点相同），甲队每秒的速度比乙队快0.5米，结果甲队比乙队提前14秒到达终点．设甲队的速度为 $x$ 米/秒，下列方程正确的是（）

A、 $\frac{500}{x} = \frac{500}{x + 0.5} - 14$ B、 $\frac{500}{x - 0.5} = \frac{500}{x} - 14$ C、 $\frac{500}{x} = \frac{500}{x - 0.5} - 14$ D、 $\frac{500}{x + 0.5} = \frac{500}{x} - 14$

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10. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 4$ ， $C D = 6$ ， $∠ A = 90 °$ ， $∠ B = 120 °$ ，则 $A D$ 的长度为（）

A、 $5 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $7 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3} + 3$

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二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

11. 当 $a =$ 时，分式 $\frac{a + 1}{a - 1}$ 的值为0.

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12. 若 $m + n = 3$ ， $m n = 2$ ，则 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值为

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13. 如图，等腰 $△ A B C$ 中， $A E$ 为底边 $B C$ 上的高，点 $F$ 为 $A C$ 的中点.若 $A B = 8$ ，则 $E F =$ .

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14. 如图，已知函数 $y = - 2 x + m$ （ $m$ 为常数）和 $y = n x - 2$ （ $n$ 为常数且 $n \neq 0$ ）的图象交于点 $P (2 ， a)$ ，则关于 $x$ 的不等式 $- 2 x + m < n x - 2$ 的解集是.

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15. 为了让学生更直观地认识等腰直角三角形，林老师制作了一个等腰直角三角形教具，课余时间他把教具挂在墙上.如图，教具 $R t △ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 位于同一平面内，这三个顶点到地面的距离分别为 $A F = 175 c m$ ， $B E = 145 c m$ ， $C G = 135 c m$ ，则 $A B$ 的长为 $c m$ .

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三、解答题（本题共7小题，其中16题8分，17题6分，18题7分，19，20题各8分，21，22题各9分，共55分）

16. 因式分解：

(1)、 $a - 4 a^{3}$ ；

(2)、 $3 x^{2} - 6 x y + 3 y^{2}$ ．

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17. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 2 (x + 1) ⩾ x ， \\ \frac{x}{2} - \frac{1 - x}{3} < 1 \end{array}$ 并写出不等式组的非负整数解.

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18. 先化简，再求值 $(x + 2 - \frac{x^{2}}{x - 2}) \div \frac{4}{x^{2} - 4}$ ，其中 $x = - 1$ .

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19. 已知 $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (- 2 ， 1)$ ， $B (0 ， 2)$ ， $C (- 1 ， 3)$ .

(1)、作 $△ A B C$ 关于点 $B$ 成中心对称的 $△ A_{1} B C_{1}$ （点 $A$ 的对应点为 $A_{1}$ ，点 $C$ 的对应点为 $C_{1}$ ）；

(2)、把 $△ A_{1} B C_{1}$ 向右平移3个单位，作出平移后的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ （点 $A_{1}$ 的对应点为 $A_{2}$ ，点 $B$ 的对应点为 $B_{2}$ ，点 $C_{1}$ 的对应点为 $C_{2}$ ）；

(3)、 $y$ 轴上存在点 $P$ ，使得 $P C_{1} + P B_{2}$ 的值最小，则点 $P$ 的坐标是.

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20. 如图，已知四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 交 $B D$ 于点 $O$ ， $A O = C O$ ， $B O = D O$ ，延长 $B C$ 到点 $E$ ，使 $C E = B C$ ，连接 $D E$ .

(1)、求证：四边形 $A C E D$ 是平行四边形；

(2)、若 $A B = 5$ ， $A C = 6$ ， $C D = \frac{1}{2} B E$ ，求 $△ B D E$ 的周长.

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21. 【综合与实践】生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的.用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌.

(1)、如图1，在 $□ A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 3$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线 $A D$ 方向平移而成，其中，平移的距离是.同理，再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成.我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是.

(2)、小明家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示，全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌.小明调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜40元；用500元购买正三角形瓷砖与用2500元购买正六边形瓷砖的数量相等。
①请问两种瓷砖每块各多少元？

②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少.按小明的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要元.

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22. 在等腰 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，点 $D$ 是射线 $A B$ 上的动点， $A E$ 垂直于直线 $C D$ 于点 $E$ ，交直线 $B C$ 于点 $F$ .

(1)、【探索发现】
如图①，若点 $D$ 在 $A B$ 的延长线上，点 $E$ 在线段 $C D$ 上时，请猜想 $C F$ ， $B D$ ， $A B$ 之间的数量关系为；

(2)、【拓展提升】
如图②，若点 $D$ 在线段 $A B$ 上（不与点 $A$ ， $B$ 重合），试猜想 $C F$ ， $B D$ ， $A B$ 之间的数量关系，并说明理由：

(3)、【灵活应用】
当 $A B = 3$ ， $C F = 3 \sqrt{2}$ 时，直接写出线段 $B D$ 的长为.

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