广东省梅州市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-08-07 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下面的四个图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知 $x > y$ ，则下列不等式不成立的是（）

A、 $x - 2 > y - 2$ B、 $2 x > 2 y$ C、 $- 2 x < - 2 y$ D、 $- 2 x + 8 > - 2 y + 8$

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3. 下列因式分解正确的是（）

A、 $x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2}$ B、 $x^{2} + 2 x y + y^{2} = (x - y)^{2}$ C、 $x^{2} + x = x (x - 1)$ D、 $x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)$

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4. 下列分式中，是最简分式的是（）

A、 $\frac{x y}{2 x^{2}}$ B、 $\frac{x - 1}{x^{2} - 1}$ C、 $\frac{x + y}{x}$ D、 $\frac{1 - x}{x - 1}$

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5. 下列命题中，错误的是（）

A、正八边形的每个外角都等于 $45 °$ B、一组对边相等且另一组对边平行的四边形是平行四边形 C、 $P (a ， b)$ 关于原点对称的点的坐标为 $P^{'} (- a ， - b)$ D、角平分线上的点到过个角两边的距离相等

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6. 已知 $x y = 8$ ， $x + y = 6$ ，则 $x^{2} y + x y^{2}$ 的值为（）

A、14 B、48 C、64 D、36

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7. 已知一次函数 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ）的图象如图所示，那么关于 $x$ 的不等式 $k x + b > 0$ 的解集是（）

A、 $x > 3$ B、 $x < 3$ C、 $x < - 2$ D、 $x > - 2$

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8. 如图，将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 按顺时针方向旋转至 $△ A^{'} B^{'} C$ ，使点 $A^{'}$ 落在 $B C$ 的延长线上．已知 $∠ A = 27 °$ ， $∠ B = 40 °$ ，则 $∠ A C B^{'}$ 的度数为（）

A、 $42 °$ B、 $46 °$ C、 $52 °$ D、 $56 °$

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9. 如图， $D$ 为 $△ A B C$ 内一点，过点 $D$ 的直线 $E F$ 与边 $A B$ ， $A C$ 分别交于点 $F$ ， $E$ ，若点 $E$ ，点 $F$ 恰好分别在 $C D$ ， $B D$ 的垂直平分线上，记 $∠ D B F = α$ ， $∠ A + 2 ∠ D C E = β$ ，则 $α$ ， $β$ 满足的关系式为（）

A、 $β - α = 90 °$ B、 $β - 2 α = 90 °$ C、 $2 α + β = 180 °$ D、 $2 β + α = 180 °$

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10. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 120 °$ ， $A B = 2 B C$ ， $D E$ 平分 $∠ A D C$ ，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，连接 $O E$ ，下列结论中正确的有（）
① $∠ B D C = 30 °$ ；② $A D = 2 O E$ ；③ $D E = B C$ ；④ $O D = A D$ ．

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题

11. 一个多边形的内角和等于 $540 °$ ，则这个多边形的边数是．

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12. 若 $\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$ ，则分式 $\frac{2 a + b}{b} =$ ．

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13. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $A D = 10$ ，以点 $A$ 为圆心任意长为半径作弧，分别交 $A B$ 、 $A D$ 于点 $E$ 、 $F$ ，再分别以 $E$ 、 $F$ 为圆心大于 $\frac{1}{2} E F$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ B A C$ 内交于点 $O$ ，连接 $A O$ 并延长交 $B C$ 于点 $G$ ，则 $G C$ 的长为．

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14. 小菲受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作，请根据图中给出的信息，量筒中至少放入小球时有水溢出．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $F$ 是边 $A B$ 的中点， $C E$ 平分 $∠ B C A$ ， $C E ⊥ A E$ ， $A E$ 的延长线交 $B C$ 于点 $D$ ， $A C = 10$ ， $B C = 15$ ，则 $E F =$ ．

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三、解答题

16. 解分式方程： $\frac{1}{x - 3} - 4 = \frac{4 - x}{x - 3}$ ．

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17. 先化简，再求值： $(1 + \frac{b^{2} - 2 a b}{a^{2}}) \div \frac{a - b}{a^{2}}$ ，其中 $a = - 2$ ， $b = 3$ ．

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18. 如图，在平行四边形ABCD中，E，F两点在对角线BD上，且 $B E = D F$ ，连接AE，EC，CF，FA．求证：四边形AECF是平行四边形．

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19. 如图，在平面直角坐标系中， $A (- 3 ， 1)$ ， $B (- 4 ， - 1)$ ， $C (- 1 ， - 1)$ ，把 $△ A B C$ 先向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(1)、在图上画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、写出点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 的坐标；

(3)、若 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 看成由 $△ A B C$ 一次平移得到，请指出这一平移的方向和平移距离．

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20. 如图所示，在等边 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是 $B C$ 的中点， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，作 $E F ∥ B C$ 交 $A C$ 于点 $F$ ， $B E = 3 c m$ ．

(1)、求证： $△ A E F$ 是等边三角形；

(2)、求 $△ A E F$ 的周长．

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21. 在二十大后，绿色发展战略升级，各地区为推进碳中和目标，都在加大对新能源汽车的推广．某汽车专卖店乘此机会决定购进A、B两种新能源汽车．经调查：其中A类汽车的进价比B类汽车的进价每辆多4万元，且用480万元购进A类汽车的数量是用160万元购进B类汽车的数量两倍．

(1)、求A、B两类新能源汽车的进价分别是每辆多少万元？

(2)、该汽车专卖店打算购进A、B两类新能源汽车共60辆，若汽车店将每辆A类汽车定价为16万元出售，每辆B类汽车定价10万元出售，且全部售出后所获得利润不少于200万元，则汽车店至少需购进A类汽车多少辆？

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22. 研究一个问题：多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有怎样的数量关系？
【回顾】如图①，请直接写出 $∠ B C D$ 与 $∠ A$ 、 $∠ B$ 之间的数量关系： ▲ ．
【探究】如图②， $∠ A D E$ 是四边形 $A B C D$ 的外角，求证： $∠ A D E = ∠ A + ∠ B + ∠ C - 180 °$ ．
【结论】若 $n$ 边形的一个外角为 $x °$ ，与其不相邻的内角之和为 $y °$ ，则 $x$ ， $y$ 与 $n$ 的数量关系是 ▲ ．

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23. 如图，在 $△ A O B$ 中，点 $C$ 为直线 $A B$ 上一动点，以 $O C$ 为直角边在 $A O$ 的同一作等腰直角三角形 $C O D$ ， $∠ D O C = 90 °$ ， $O D = O C$ ．

(1)、特例发现：如图1，如果 $∠ B O A = 90 °$ ， $O A = O B$ ．当点 $C$ 在线段 $A B$ 上时，易证 $△ A O C ≌ △ B O D (S A S)$ ，从而得出结论：线段 $B D$ 与 $A C$ 的数量关系为，位置关系为；

(2)、探究证明：如图2，如果 $∠ B O A = 90 °$ ， $O A = O B$ 条件不变．当点 $C$ 在线段 $A B$ 的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)、拓展运用：如图3，若 $△ A O B$ 是锐角三角形， $∠ A B O = 45 °$ ，当点 $C$ 在线段 $A B$ 上运动时，判断线段 $B D$ 与 $A C$ 的位置关系，并说明理由．

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