辽宁省抚顺市、葫芦岛市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-08-07 类型：中考真卷

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一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每一个小题给出的四个选中，只有一个是正确的)

1. 实数3的相反数是（）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- 3$

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2. 下列图形中、既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $x^{3} \div x^{3} = x$ B、 $x^{2} \cdot 2 x^{4} = 2 x^{6}$ C、 $x + 3 x^{2} = 4 x^{3}$ D、 ${(x^{3})}^{2} = x^{5}$

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4. 下图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体、这个几何体的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 某校对部分参加夏令营的中学生的年龄进行统计，结果如下表：

年龄岁	13	14	15	16	17	18
人数/人	5	8	11	20	9	7

则这些学生年龄的众数是（）

A、13岁 B、14岁 C、15岁 D、16岁

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6. 在一个不透明的袋子中装有6个白球和14个红球，这些球除颜色外无其他差别、随机从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{7}{10}$

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7. 如图，直线 $A B$ ， $C D$ 被直线 $E F$ 所截， $A B ∥ C D$ ， $∠ 1 = 122 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、48° B、58° C、68° D、78°

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8. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为 $x$ 天，则可列方程为（）

A、 $\frac{900}{x + 1} \times 2 = \frac{900}{x - 3}$ B、 $\frac{900}{x + 1} = \frac{900}{x - 3} \times 2$ C、 $\frac{900}{x - 1} = \frac{900}{x + 3} \times 2$ D、 $\frac{900}{x - 1} \times 2 = \frac{900}{x + 3}$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ C A B = 30 °$ ， $B C = 3 \sqrt{2}$ ，按以下步骤作图：①分别以点A和点B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 长为半径作弧，两弧相交于E ， F两点；②作直线 $E F$ 交 $A B$ 于点M ，交 $A C$ 于点N ．连接 $B N$ ．则 $A N$ 的长为（）

A、 $2 + \sqrt{3}$ B、 $3 + \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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10. 如图， $∠ M A N = 60 °$ ，在射线 $A M$ ， $A N$ 上分别截取 $A C = A B = 6$ ，连接 $B C$ ， $∠ M A N$ 的平分线交 $B C$ 于点D ，点E为线段 $A B$ 上的动点，作 $E F ⊥ A M$ 交 $A M$ 于点F ，作 $E G ∥ A M$ 交射线 $A D$ 于点G ，过点G作 $G H ⊥ A M$ 于点H ，点E沿 $A B$ 方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x ，四边形 $E F H G$ 与 $△ A B C$ 重叠部分的面积为S ，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）

11. 若 $\sqrt{a - 2}$ 有意义，则实数a的取值范围是．

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12. 分解因式： $2 m^{2} - 18 =$ .

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13. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + k = 0$ 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．

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14. 某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取一名成绩稳定的参加比赛，这两名运动员10次测试成绩（单位：m）的平均数是 ${\bar{x}}_{甲} = 6.01$ ， ${\bar{x}}_{乙} = 6.01$ ，方差是 $s_{甲}^{2} = 0.01$ ， $s_{乙}^{2} = 0.02$ ，那么应选去参加比赛．（填“甲”或“乙”）

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点D为 $B C$ 的中点，过点C作 $C E ∥ A B$ 交 $A D$ 的延长线于点E ，若 $A C = 4$ ， $C E = 5$ ，则 $C D$ 的长为．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(0 ， 2)$ ，将线段 $A O$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $120 °$ ，得到线段 $A B$ ，连接 $O B$ ，点 $B$ 恰好落在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象上，则 $k$ 的值是．

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17. 如图，平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $B$ 作 $B E ∥ A C$ ，交 $D A$ 的延长线于点E，连接 $O E$ ，交 $A B$ 于点 $F$ ，则四边形 $B C O F$ 的面积与 $△ A E F$ 的面积的比值为．

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18. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $A D = 10$ ，点M为 $B C$ 的中点，E是 $B M$ 上的一点，连接 $A E$ ，作点B关于直线 $A E$ 的对称点 $B^{'}$ ，连接 $D B^{'}$ 并延长交 $B C$ 于点F ．当 $B F$ 最大时，点 $B^{'}$ 到 $B C$ 的距离是．

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三、解答题（共8题，共96分）

19. 先化简，再求值： $\frac{2 m - 6}{m^{2} - 9} \div \frac{2 m + 2}{m + 3} - \frac{m}{m + 1}$ ，其中 $m = 2$ ．

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20. 为了推进“优秀传统文化进校园”活动，学校准备在七年级成立四个课外活动小组，分别是： $A$ ．民族舞蹈组； $B$ ．经典诵读组； $C$ ．民族乐器组； $D$ ．地方戏曲组．为了了解学生最喜欢哪一个活动小组，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，每人必须选择且只能选择一项，并将调查结果绘制成如下两幅统计图．

请根据图中提供的信息解答下列问题：

(1)、本次调查的学生共有人；

(2)、在扇形统计图中，求 $D$ 组所对应的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图；

(3)、在重阳节来临之际，学校计划组织学生到敬老院为老人表演节目，准备从这 $4$ 个小组中随机抽取 $2$ 个小组汇报演出，请你用列表法或画树状图法，求选中的 $2$ 个小组恰好是 $C$ 和 $D$ 小组的概率．

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21. 某超市销售甲、乙两种驱蚊手环，某天卖出3个甲种驱蚊手环和1个乙种驱蚊手环，收入128元；另一天，以同样的价格卖出1个甲种驱蚊手环和2个乙种驱蚊手环收入76元．

(1)、每个甲种驱蚊手环和每个乙种驱蚊手环的售价分别是多少元？

(2)、某幼儿园欲购买甲、乙两种驱蚊手环共100个，总费用不超过2500元，那么最多可购买甲种驱蚊手环多少个？

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22. 小亮利用所学的知识对大厦的高度 $C D$ 进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是 $30 °$ ，测得大厦顶部的仰角是 $37 °$ ，已知他家楼顶B处距地面的高度 $B A$ 为40米（图中点A ， B ， C ， D均在同一平面内）．

(1)、求两楼之间的距离 $A C$ （结果保留根号）；

(2)、求大厦的高度 $C D$ （结果取整数）．
（参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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23. 电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与每件玩具售价x（元）之间满足一次函数关系（其中 $100 \leq x \leq 160$ ，且x为整数）．当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件．

(1)、求y与x之间的函数关系式；

(2)、当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？

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24. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C E$ 平分 $∠ A C B$ 交 $⊙ O$ 于点E ，过点E作 $E F ∥ A B$ ，交 $C A$ 的延长线于点F ．

(1)、求证： $E F$ 与 $⊙ O$ 相切；

(2)、若 $∠ C A B = 30 °$ ， $A B = 8$ ，过点E作 $E G ⊥ A C$ 于点M ，交 $⊙ O$ 于点G ，交 $A B$ 于点N ，求 $\overset{⌢}{A G}$ 的长．

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25. $△ A B C$ 是等边三角形，点 $E$ 是射线 $B C$ 上的一点（不与点 $B$ ， $C$ 重合），连接 $A E$ ，在 $A E$ 的左侧作等边三角形 $A E D$ ，将线段 $E C$ 绕点 $E$ 逆时针旋转 $120 °$ ，得到线段 $E F$ ，连接 $B F$ ．交 $D E$ 于点 $M$ ．

(1)、如图1，当点 $E$ 为 $B C$ 中点时，请直接写出线段 $D M$ 与 $E M$ 的数量关系；

(2)、如图2．当点 $E$ 在线段 $B C$ 的延长线上时，请判断（ $1$ ）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

(3)、当 $B C = 6$ ， $C E = 2$ 时，请直接写出 $A M$ 的长．

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26. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + \frac{8}{3} x + c$ 与x轴交于点A和点 $B (3.0)$ ，与y轴交于点 $C (0 ， 4)$ ，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作 $P E ⊥ x$ 轴于点E，交 $B C$ 于点F．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，当 $△ B E F$ 的周长是线段 $P F$ 长度的2倍时，求点P的坐标；

(3)、如图2，当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接 $B Q$ ，过点B作直线 $l ⊥ B Q$ ，连接 $Q F$ 并延长交直线 $l$ 于点M．当 $B Q = B M$ 时，请直接写出点Q的坐标．

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