宁夏回族自治区2023年数学中考试卷

试卷更新日期：2023-08-07 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $- \frac{2}{3}$ 的绝对值是（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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2. 下面是由七巧板拼成的图形（只考虑外形，忽略内部轮廓），其中轴对称图形是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $5 a - 3 a = 2$ B、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$ D、 ${(a^{2} b)}^{3} = a^{6} b^{3}$

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4. 劳动委员统计了某周全班同学的家庭劳动次数 $x$ （单位：次），按劳动次数分为4组： $0 \leq x < 3$ ， $3 ≤ x < 6$ ， $6 \leq x < 9$ ， $9 \leq x < 12$ ，绘制成如图所示的频数分布直方图．从中任选一名同学，则该同学这周家庭劳动次数不足6次的概率是（）

A、 $0.6$ B、 $0.5$ C、 $0.4$ D、 $0.32$

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5. 估计 $\sqrt{23}$ 的值应在（）

A、 $3.5$ 和4之间 B、4和 $4.5$ 之间 C、 $4.5$ 和5之间 D、5和 $5.5$ 之间

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6. 将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把 $60 °$ 和 $45 °$ 角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于 $A$ ， $B$ 两点，则 $A B$ 的长是（）

A、 $2 - \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3} - 2$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 $y_{1} = a x + b (a \neq 0)$ 与 $y_{2} = m x + n (m \neq 0)$ 的图象如图所示，则下列结论错误的是（）

A、 $y_{1}$ 随 $x$ 的增大而增大 B、 $b < n$ C、当 $x < 2$ 时， $y_{1} > y_{2}$ D、关于 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} a x - y = - b \\ m x - y = - n \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 3 \end{array}$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $B C = 2$ ．点 $D$ 在 $B C$ 上，且 $B D ： C D = 1 ： 3$ ．连接 $A D$ ，将线段 $A D$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $A E$ ，连接 $B E$ ， $D E$ ．则 $△ B D E$ 的面积是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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二、填空题

9. 计算： $\frac{1}{x - 1} + \frac{3}{x - 1} =$ ．

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10. 如图，在边长为2的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在 $A D$ 上，连接 $E B$ ， $E C$ ．则图中阴影部分的面积是．

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11. 方程 $x^{2} - 4 x - m = 0$ 有两个相等的实数根，则 $m$ 的值为．

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12. 如图，在标有数字1，2，3，4的四宫格里任选两个小方格，则所选方格中数字之和为4的概率是．

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13. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，延长 $A D$ 至点 $E$ ，已知 $∠ A O C = 140 °$ ，那么 $∠ C D E =$ $°$ ．

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14. 如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在数轴上，点 $A$ 表示的数是 $- 1$ ，点 $B$ 是 $A C$ 的中点，线段 $A B = \sqrt{2}$ ，则点 $C$ 表示的数是．

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15. 如图是某种杆秤．在秤杆的点

A

处固定提纽，点

B

处挂秤盘，点

C

为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点

C

，秤杆处于平衡．秤盘放入

x

克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提扭的距离为

y

毫米时秤杆处于平衡．测得

x

与

y

的几组对应数据如下表：

$x$ /克	0	2	4	6	10
$y$ /毫米	10	14	18	22	30

由表中数据的规律可知，当 $x = 20$ 克时， $y =$ 毫米．

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16. 如图是由边长为1的小正方形组成的 $9 \times 6$ 网格，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 均在格点上．下列结论：

①点 $D$ 与点 $F$ 关于点 $E$ 中心对称；

②连接 $F B$ ， $F C$ ， $F E$ ，则 $F C$ 平分 $∠ B F E$ ；

③连接 $A G$ ，则点 $B$ ， $F$ 到线段 $A G$ 的距离相等．

其中正确结论的序号是．

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三、解答题

17. 计算： ${(- 2)}^{2} \times 2^{- 1} - (\sqrt{3} - 1) + t a n 45 °$

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18. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 1 - \frac{2 x - 1}{2} > \frac{3 x - 1}{4} ① \\ 2 - 3 x \leq 4 - x ② \end{array}$
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：

解：由①得：

      $4 - 2 (2 x - 1) > 3 x - 1$         第1步

      $4 - 4 x + 2 > 3 x - 1$         第2步

      $- 4 x - 3 x > - 1 - 4 - 2$

      $- 7 x > - 7$         第3步

      $x > 1$         第4步

任务一：该同学的解答过程第    ▲    步出现了错误，错误原因是 ▲ ，不等式①的正确解集是 ▲ ；

任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．

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19. 如图，已知 $E F ∥ A C$ ， $B$ ， $D$ 分别是 $A C$ 和 $E F$ 上的点， $∠ E D C = ∠ C B E$ ．求证：四边形 $B C D E$ 是平行四边形．

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20. “人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了 $A$ 型和 $B$ 型两种玩具，已知用520元购进 $A$ 型玩具的数量比用175元购进 $B$ 型玩具的数量多30个，且 $A$ 型玩具单价是 $B$ 型玩具单价的 $1.6$ 倍．

(1)、求两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：

甲： $\frac{520}{1.6 x} = \frac{175}{x} + 30$ ，解得 $x = 5$ ，经检验 $x = 5$ 是原方程的解．

乙： $\frac{520}{x} = 1.6 \times \frac{175}{x - 30}$ ，解得 $x = 65$ ，经检验 $x = 65$ 是原方程的解．

则甲所列方程中的 $x$ 表示，乙所列方程中的 $x$ 表示；

(2)、该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进 $A$ 型玩具多少个？

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21. 给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压 $p$ $（ K P a ）$ 是气体体积 $V$ （ $m^{3}$ ）的反比例函数，其图象如图所示．

(1)、当气球内的气压超过 $150 K P a$ 时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式 $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ ， $π$ 取3）；

(2)、请你利用 $p$ 与 $V$ 的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．

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22. 如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为10cm，传送带与水平面成 $30 °$ 角．假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转 $140 °$ 时，传送带上点 $A$ 处的粮袋上升的高度是多少？（传送带厚度忽略不计）

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23. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩

x

（单位：分）进行统计：

七年级 86，94，79，84，71，90，76，83，90，87

八年级 88，76，90，78，87，93，75，87，87，79

整理如下：

年级	平均数	中位数	众数	方差
七年级	84	$a$	90	$44.4$
八年级	84	87	$b$	$36.6$

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、填空：

a =

，

b =

．

$A$ 同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是年级的学生；

(2)、学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；

(3)、你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．

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24. 如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，直线 $D C$ 是 $⊙ O$ 的切线，切点为 $C$ ， $A E ⊥ D C$ ，垂足为 $E$ ．连接 $A C$ ．

(1)、求证： $A C$ 平分 $∠ B A E$ ；

(2)、若 $A C = 5$ ， $t a n ∠ A C E = \frac{3}{4}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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25. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．已知点 $A$ 的坐标是 $(- 1 ， 0)$ ，抛物线的对称轴是直线 $x = 1$ ．

(1)、直接写出点 $B$ 的坐标；

(2)、在对称轴上找一点 $P$ ，使 $P A + P C$ 的值最小．求点 $P$ 的坐标和 $P A + P C$ 的最小值；

(3)、第一象限内的抛物线上有一动点 $M$ ，过点 $M$ 作 $M N ⊥ x$ 轴，垂足为 $N$ ，连接 $B C$ 交 $M N$ 于点 $Q$ ．依题意补全图形，当 $M Q + \sqrt{2} C Q$ 的值最大时，求点 $M$ 的坐标．

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26. 综合与实践
问题背景

数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 $36 °$ 的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．

探究发现

如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 36 °$ ， $A B = A C$ ．

(1)、操作发现：将 $△ A B C$ 折叠，使边 $B C$ 落在边 $B A$ 上，点 $C$ 的对应点是点 $E$ ，折痕交 $A C$ 于点 $D$ ，连接 $D E$ ， $D B$ ，则 $∠ B D E =$ $°$ ，设 $A C = 1$ ， $B C = x$ ，那么 $A E =$ （用含 $x$ 的式子表示）；

(2)、进一步探究发现： $\frac{底 B C}{腰 A C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明： $\frac{底 B C}{腰 A C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ；
拓展应用：

当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的 $△ A B C$ 是黄金三角形．如图2，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 72 °$ ， $A B = 1$ ．求这个菱形较长对角线的长．

(3)、拓展应用：

当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的 $△ A B C$ 是黄金三角形．如图2，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 72 °$ ， $A B = 1$ ．求这个菱形较长对角线的长．

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