黑龙江省大庆市2023年数学中考试卷

试卷更新日期：2023-08-07 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $2023$ 的相反数是（）

A、 $\frac{1}{2023}$ B、 $- 2023$ C、 $2023$ D、 $- \frac{1}{2023}$

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2. 搭载神舟十六号载人飞船的长征二号 $F$ 遥十六运载火箭于 $2023$ 年 $5$ 月 $30$ 日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮 $3$ 名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 大庆油田发现预测地质储量12.68亿吨的页岩油，这标志着我国页岩油勘探开发取得重大战略突破．数字1268000000用科学记数法表示为（）

A、 $1.268 \times 1 0^{9}$ B、 $1.268 \times 1 0^{8}$ C、 $1.268 \times 1 0^{7}$ D、 $1.268 \times 1 0^{6}$

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4. 一个长方体被截去一部分后，得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知 $a + b > 0 ， a b > 0$ ，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（）

A、 $(a ， b)$ B、 $(- a ， b)$ C、 $(- a ， - b)$ D、 $(a ， - b)$

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6. 某中学积极推进学生综合素质评价改革，该中学学生小明本学期德、智、体、美、劳五项的评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的众数、中位数、平均数分别为（）

A、9，9， $8.4$ B、9，9， $8.6$ C、8，8， $8.6$ D、9，8， $8.4$

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7. 下列说法正确的是（）

A、一个函数是一次函数就一定是正比例函数 B、有一组对角相等的四边形一定是平行四边形 C、两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等 D、一组数据的方差一定大于标准差

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8. 端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为（）

A、 $20 %$ B、 $25 %$ C、 $75 %$ D、 $80 %$

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9. 将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若 $∠ B A D = α$ ， $∠ C B E = β$ ，则 $β =$ （）

A、 $45 ° + \frac{1}{2} α$ B、 $45 ° + \frac{3}{2} α$ C、 $90 ° - \frac{1}{2} α$ D、 $90 ° - \frac{3}{2} α$

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10. 如图1，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 120 °$ ，已知点 $P$ 在边 $A B$ 上，以1m/s的速度从点 $A$ 向点 $B$ 运动，点 $Q$ 在边 $B C$ 上，以 $\sqrt{3} m / s$ 的速度从点 $B$ 向点 $C$ 运动．若点 $P$ ， $Q$ 同时出发，当点 $P$ 到达点 $B$ 时，点 $Q$ 恰好到达点 $C$ 处，此时两点都停止运动．图2是 $△ B P Q$ 的面积 $y (m^{2})$ 与点 $P$ 的运动时间 $t (s)$ 之间的函数关系图象（点 $M$ 为图象的最高点），则平行四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $12 m^{2}$ B、 $12 \sqrt{3} m^{2}$ C、 $24 m^{2}$ D、 $24 \sqrt{3} m^{2}$

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二、填空题

11. 为了调查某品牌护眼灯的使用寿命，比较适合的调查方式是（填“普查”或“抽样调查”）．

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12. 一个圆锥的底面半径为5，高为12，则它的体积为．

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13. 在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片 $A B C D$ 如图所示，点 $N$ 在边 $A D$ 上，现将矩形折叠，折痕为 $B N$ ，点 $A$ 对应的点记为点 $M$ ，若点 $M$ 恰好落在边 $D C$ 上，则图中与 $△ N D M$ 一定相似的三角形是．

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14. 已知 ${(x - 2)}^{x + 1} = 1$ ，则x的值为．

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15. 新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为．

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16. 若关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} 3 (x - 1) > x - 6 \\ 8 - 2 x + 2 a \geq 0 \end{array}$ 有三个整数解，则实数 $a$ 的取值范围为．

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17. 1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．

观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律， $(a + b)^{7}$ 展开的多项式中各项系数之和为．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中，将 $A B$ 绕点A顺时针旋转 $α$ 至 $A B^{'}$ ，将 $A C$ 绕点A逆时针旋转 $β$ 至 $A C^{'} (0 ° < α < 180 ° ， 0 ° < β < 180 °)$ ，得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，使 $∠ B A C + ∠ B^{'} A C^{'} = 180 °$ ，我们称 $△ A B^{'} C^{'}$ 是 $△ A B C$ 的“旋补三角形”， $△ A B^{'} C^{'}$ 的中线 $A D$ 叫做 $△ A B C$ 的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有．
① $△ A B C$ 与 $△ A B^{'} C^{'}$ 面积相同；
② $B C = 2 A D$ ；
③若 $A B = A C$ ，连接 $B B^{'}$ 和 $C C^{'}$ ，则 $∠ B^{'} B C + ∠ C C^{'} B^{'} = 180 °$ ；
④若 $A B = A C$ ， $A B = 4$ ， $B C = 6$ ，则 $B^{'} C^{'} = 10$ ．

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三、解答题

19. 计算： $| 1 - \sqrt{2} | - 2 c o s 45 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ．

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20. 先化简，再求值： $\frac{2 x}{x + 2} - \frac{x}{x - 2} + \frac{4 x}{x^{2} - 4}$ ，其中 $x = 1$ ．

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21. 为营造良好体育运动氛围，某学校用 $800$ 元购买了一批足球，又用 $1560$ 元加购了第二批足球，且所购数量是第一批购买数量的 $2$ 倍，但单价降了 $2$ 元，请问该学校两批共购买了多少个足球?

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22. 某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点 $A$ 出发，途经点 $B$ 后到达山顶 $P$ ，其中 $A B = 400$ 米， $B P = 200$ 米，且 $A B$ 段的运行路线与水平方向的夹角为 $15 °$ ， $B P$ 段的运行路线与水平方向的夹角为 $30 °$ ，求垂直高度 $P C$ ．（结果精确到 $1$ 米，参考数据： $s i n 15 ° \approx 0.259$ ， $c o s 15 ° \approx 0.966$ ， $t a n 15 ° \approx 0.268$ ）

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23. 为了解我校学生本学期参加志愿服务的情况，随机调查了我校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图统计图，若我校共有1000名学生，请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、本次接受调查的学生人数为，扇形统计图中的 $m =$ ；

(2)、求所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数；

(3)、学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，请估计我校获“志愿者勋章”的学生人数．

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24. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 为线段 $C D$ 的中点，连接 $A C$ ， $A E$ ，延长 $A E$ ， $B C$ 交于点 $F$ ，连接 $D F$ ， $∠ A C F = 90 °$ ．

(1)、求证：四边形 $A C F D$ 是矩形；

(2)、若 $C D = 13$ ， $C F = 5$ ，求四边形 $A B C E$ 的面积．

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25. 一次函数 $y = - x + m$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 的坐标为 $(1 ， 2)$ ．

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、求 $△ O A B$ 的面积；

(3)、过动点 $T (t ， 0)$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ ， $l$ 与一次函数 $y = - x + m$ 和反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象分别交于 $M$ ， $N$ 两点，当 $M$ 在 $N$ 的上方时，请直接写出 $t$ 的取值范围．

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26. 某建筑物的窗户如图所示，上半部分 $△ A B C$ 是等腰三角形， $A B = A C$ ， $A F ： B F = 3 ： 4$ ，点 $G$ 、 $H$ 、 $F$ 分别是边 $A B$ 、 $A C$ 、 $B C$ 的中点；下半部分四边形 $B C D E$ 是矩形， $B E ∥ I J ∥ M N ∥ C D$ ，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设 $B F = x$ 米， $B E = y$ 米．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并求出自变量 $x$ 的取值范围；

(2)、当 $x$ 为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．

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27. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是圆上的一点， $C D ⊥ A D$ 于点 $D$ ， $A D$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接 $A C$ ，若 $A C$ 平分 $∠ D A B$ ，过点 $F$ 作 $F G ⊥ A B$ 于点 $G$ ，交 $A C$ 于点 $H$ ，延长 $A B$ ， $D C$ 交于点 $E$ ．

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $A F \cdot A C = A E \cdot A H$ ；

(3)、若 $s i n ∠ D E A = \frac{4}{5}$ ，求 $\frac{A H}{F H}$ 的值．

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28. 如图，二次函数

y = a x^{2} + b x + c

的图象与

x

轴交于A ，

B

两点，且自变量

x

的部分取值与对应函数值

y

如下表：

$x$	$⋯$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$⋯$
$y$	$⋯$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$	$⋯$

(1)、求二次函数

y = a x^{2} + b x + c

的表达式；

(2)、若将线段

A B

向下平移，得到的线段与二次函数

y = a x^{2} + b x + c

的图象交于

P

，

Q

两点（

P

在

Q

左边），

R

为二次函数

y = a x^{2} + b x + c

的图象上的一点，当点

Q

的横坐标为

m

，点

R

的横坐标为

m + \sqrt{2}

时，求

t a n ∠ R P Q

的值；

(3)、若将线段

A B

先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数

y = \frac{1}{t} (a x^{2} + b x + c)

的图象只有一个交点，其中

t

为常数，请直接写出

t

的取值范围．

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