江苏省宿迁市2023年数学中考试卷

试卷更新日期：2023-08-07 类型：中考真卷

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一、单选题

1. $2023$ 的相反数是（）

A、 $\frac{1}{2023}$ B、 $- 2023$ C、 $2023$ D、 $- \frac{1}{2023}$

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2. 以下列每组数为长度（单位： $c m$ ）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（）

A、2，2，4 B、1，2，3 C、3，4，5 D、3，4，8

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $2 a - a = 1$ B、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{5}$ C、 ${(a b)}^{2} = a b^{2}$ D、 ${(a^{2})}^{4} = a^{6}$

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4. 已知一组数据96，89，92，95，98，则这组数据的中位数是（）

A、89 B、94 C、95 D、98

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5. 若等腰三角形有一个内角为 $110 °$ ，则这个等腰三角形的底角是（）

A、 $70 °$ B、 $45 °$ C、 $35 °$ D、 $50 °$

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6. 《孙子算经》中有个问题：若三人共车，余两车空：若两人共车，剩九人步，问人与车各几何？设有x辆车，则根据题意可列出方程为（）

A、 $3 (x + 2) = 2 x - 9$ B、 $3 (x + 2) = 2 x + 9$ C、 $3 (x - 2) = 2 x - 9$ D、 $3 (x - 2) = 2 x + 9$

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7. 在同一平面内，已知 $⊙ O$ 的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（）

A、2 B、5 C、6 D、8

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8. 如图，直线 $y = x + 1$ 、 $y = x - 1$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 分别相交于点 $A 、 B 、 C 、 D$ ．若四边形 $A B C D$ 的面积为4，则 $k$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、1

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二、填空题

9. 计算： $\sqrt{4}$ ＝

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10. 港珠澳大桥被誉为“新世界七大奇迹”之一，全长55000米．将数字55000用科学记数法表示是．

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11. 分解因式： $x^{2} - 2 x =$ .

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12. 不等式 $x - 2 ≤ 1$ 的最大整数解是．

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13. 七边形的内角和是

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14. 在平面直角坐标系中，点 $P (2 ， 3)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标是.

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15. 若圆锥的底面半径是2，侧面展开图是一个圆心角为120 $°$ 的扇形，则该圆锥的母线长是．

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16. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则 $s i n ∠ A B C =$ ．

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17. 若实数m满足 ${(m - 2023)}^{2} + {(2024 - m)}^{2} = 2025$ ，则 $(m - 2023) (2024 - m) =$ ．

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18. 如图， $△ A B C$ 是正三角形，点A在第一象限，点 $B (0 ， 0)$ 、 $C (1 ， 0)$ ．将线段 $C A$ 　绕点C按顺时针方向旋转 $120 °$ 至 $C P_{1}$ ；将线段 $B P_{1}$ 绕点B按顺时针方向旋转 $120 °$ 至 $B P_{2}$ ；将线段 $A P_{2}$ 绕点A按顺时针方向旋转 $120 °$ 至 $A P_{3}$ ；将线段 $C P_{3}$ 绕点C按顺时针方向旋转 $120 °$ 至 $C P_{4}$ ；……以此类推，则点 $P_{99}$ 的坐标是．

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三、解答题

19. 计算： $| \sqrt{3} - 1 | + {(π - 3)}^{0} - t a n 60 °$ ．

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20. 先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{m + 1}) \cdot \frac{m^{2} - 1}{m}$ ，其中 $m = \sqrt{2} + 1$ ．

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21. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $B E ⊥ A C$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足分别为E、F ．求证： $A F = C E$ ．

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22. 为了解某校九年级学生周末活动情况，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计表和统计图．

学生参加周末活动人数统计表

活动名称	人数
A．课外阅读	40
B．社会实践	48
C．家务劳动	m
D．户外运动	n
E．其它活动	26

请结合图表中提供的信息，解答下列问题：

(1)、

m =

，

n =

；

(2)、扇形统计图中A对应的圆心角是度；

(3)、若该校九年级有800名学生，请估算该校九年级周末参加家务劳动的人数．

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23. 某校计划举行校园歌手大赛．九（1）班准备从A、B、C三名男生和D、E两名女生中随机选出参赛选手．

(1)、若只选1名选手参加比赛，则女生D入选的概率是；

(2)、若选2名选手参加比赛，求恰有1名男生和1名女生的概率（用画树状图或列表法求解）．

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24. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $A D = 3 \sqrt{2}$ ， $∠ A = 45 °$ ．

(1)、求出对角线 $B D$ 的长；

(2)、尺规作图：将四边形 $A B C D$ 沿着经过 $A$ 点的某条直线翻折，使点 $B$ 落在 $C D$ 边上的点 $E$ 处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹）

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25.

(1)、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 与 $⊙ O$ 交于点F ，弦 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，点E在 $A C$ 上，连接 $D E$ 、 $D B$ ， ▲ ．求证： ▲ ．
从① $D E$ 与 $⊙ O$ 相切；② $D E ⊥ A C$ 中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程．

(2)、在（1）的前提下，若 $A B = 6$ ， $∠ B A D = 30 °$ ，求阴影部分的面积．

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26. 某商场销售 $A 、 B$ 两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出 $A$ 种20件， $B$ 种10件，销售总额为840元；如果售出 $A$ 种10件， $B$ 种15件，销售总额为660元．

(1)、求 $A 、 B$ 两种商品的销售单价．

(2)、经市场调研， $A$ 种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件； $B$ 种商品的售价不变， $A$ 种商品售价不低于 $B$ 种商品售价．设 $A$ 种商品降价 $m$ 元，如果 $A 、 B$ 两种商品销售量相同，求 $m$ 取何值时，商场销售 $A 、 B$ 两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？

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27. 【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即 $∠ C E F = ∠ A E F$ ）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A ．经测得，小军的眼睛离地面的距离 $C D = 1.7 m$ ， $B E = 20 m$ ， $D E = 2 m$ ，求建筑物AB的高度．

【活动探究】

观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至 $E_{1}$ 处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G ，测出 $D E_{1} = 2 m$ ；再将镜子移动至 $E_{2}$ 处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A ，测出 $D E_{2} = 3.4 m$ ．经测得，小军的眼睛离地面距离 $C D = 1.7 m$ ， $B D = 10 m$ ，求这个广告牌AG的高度．

【应用拓展】

小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离 $C D = 1.7 m$ ），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出 $D E = 2.8 m$ ；③测出坡长 $A D = 17 m$ ；④测出坡比为 $8 ： 15$ （即 $t a n ∠ A D G = \frac{8}{15}$ ）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．

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28. 规定：若函数 $y_{1}$ 的图像与函数 $y_{2}$ 的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．

(1)、下列三个函数① $y = x + 1$ ；② $y = - \frac{3}{x}$ ；③ $y = - x^{2} + 1$ ，其中与二次函数 $y = 2 x^{2} - 4 x - 3$ 互为“兄弟函数”的是（填写序号）；

(2)、若函数 $y_{1} = a x^{2} - 5 x + 2 (a \neq 0)$ 与 $y_{2} = - \frac{1}{x}$ 互为“兄弟函数”， $x = 1$ 是其中一个“兄弟点”的横坐标．
①求实数a的值；
②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是 ▲ 、 ▲ ；

(3)、若函数 $y_{1} = | x - m |$ （m为常数）与 $y_{2} = - \frac{2}{x}$ 互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，求 ${(x_{2} + x_{3} - 2 x_{1})}^{2}$ 的取值范围．

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