辽宁省沈阳市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-08-07 类型：中考真卷

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一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2 分，共20分)

1. 2的相反数是（）

A、2 B、－2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 如图是由 $5$ 个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 我国自主研发的 $500 m$ 口径球面射电望远镜（ $F A S T$ ）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为 $250000 m^{2} ．$ 用科学记数法表示数据 $250000$ 为（）

A、 $0.25 \times 1 0^{6}$ B、 $25 \times 1 0^{4}$ C、 $2.5 \times 1 0^{4}$ D、 $2.5 \times 1 0^{5}$

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4. 下列计算结果正确的是（）

A、 $a^{8} \div a^{2} = a^{4}$ B、 $5 a b - 2 a b = 3$ C、 $(a - b)^{2} = a^{2} - b^{2}$ D、 $(- a b^{3})^{2} = a^{2} b^{6}$

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5. 不等式 $x ≥ 1$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 某班级准备利用暑假去研学旅行，他们准备定做一批容量一致的双肩包

．

为此，活动负责人征求了班内同学的意向，得到了如下数据：

容量 $/ L$	$23$	$25$	$27$	$29$	$31$	$33$
人数	$3$	$2$	$5$	$21$	$2$	$2$

则双肩包容量的众数是（）

A、

21 L

B、

23 L

C、

29 L

D、

33 L

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7. 下列说法正确的是（）

A、将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件 B、抛出的篮球会下落是随机事件 C、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用普查的方式 D、若甲、乙两组数据的平均数相同， $S_{甲}^{2} = 2$ ， $S_{乙}^{2} = 2.5$ ，则甲组数据较稳定

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8. 已知一次函数 $y = k x + b$ 的图象如图所示，则 $k$ ， $b$ 的取值范围是（）

A、 $k > 0$ ， $b < 0$ B、 $k < 0$ ， $b < 0$ C、 $k < 0$ ， $b > 0$ D、 $k > 0$ ， $b > 0$

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9. 二次函数 $y = - (x + 1)^{2} + 2$ 图象的顶点所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $⊙ O$ 的半径为 $3$ ， $∠ D = 120 °$ ，则 $\overset{⌢}{A C}$ 的长是（）

A、 $π$ B、 $\frac{2}{3} π$ C、 $2 π$ D、 $4 π$

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二、填空题（每小题3分，共18分）

11. 因式分解：a³+2a²+a= ．

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12. 当 $a + b = 3$ 时，代数式 $2 (a + 2 b) - (3 a + 5 b) + 5$ 的值为．

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13. 若点 $A (- 2 ， y_{1})$ 和点 $B (- 1 ， y_{2})$ 都在反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象上，则 $y_{1}$ $y_{2}$ ．（用“ $<$ ”“ $>$ ”或“ $=$ ”填空）

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14. 如图，直线 $A B ∥ C D$ ，直线 $E F$ 分别与 $A B$ ， $C D$ 交于点 $E$ ， $F$ ，小明同学利用尺规按以下步骤作图：

⑴点 $E$ 为圆心，以任意长为半径作弧交射线 $E B$ 于点 $M$ ，交射线 $E F$ 于点 $N$ ；

⑵分别以点 $M$ ， $N$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ B E F$ 内交于点 $P$ ；

⑶作射线 $E P$ 交直线 $C D$ 于点 $G$ ；若 $∠ E G F = 29 °$ ，则 $∠ B E F =$ 度．

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15. 如图，王叔叔想用长为 $60 m$ 的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈 $A B C D$ ，已知房屋外墙足够长，当矩形 $A B C D$ 的边 $A B =$ $m$ 时，羊圈的面积最大．

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 3$ ，点 $D$ 在直线 $A C$ 上， $A D = 1$ ，过点 $D$ 作 $D E ∥ A B$ 直线 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $B D$ ，点 $O$ 是线段 $B D$ 的中点，连接 $O E$ ，则 $O E$ 的长为．

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三、解答题

17. 计算： ${(π - 2023)}^{0} + \sqrt{{(- 2)}^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{- 2} - 4 s i n 30 °$ ．

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18. 为弘扬中华优秀传统文化，学校举办“经典诵读”比赛，将比赛内容分为“唐诗”“宋词”“元曲”三类（分别用 $A$ ， $B$ ， $C$ 依次表示这三类比赛内容）．现将正面写有 $A$ ， $B$ ， $C$ 的三张完全相同的卡片背面朝上洗匀，由选手抽取卡片确定比赛内容 $．$ 选手小明先从三张卡片中随机抽取一张，记下字母后放回洗匀，选手小梅再随机抽取一张，记下字母 $．$ 请用画树状图或列表的方法，求小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线，点 $E$ 在 $D A$ 的延长线上，连接 $B E$ ，过点 $C$ 作 $C F ∥ B E$ 交 $A D$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $B F$ 、 $C E$ ，求证：四边形 $B E C F$ 是菱形．

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20. “书香润沈城，阅读向未来”，沈阳市第十五届全民读书季启动之际 $．$ 某中学准备购进一批图书供学生阅读，为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查 $．$ 问卷设置了五种选项： $A$ “艺术类”， $B$ “文学类”， $C$ “科普类”， $D$ “体育类”， $E$ “其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、此次被调查的学生人数为名；

(2)、请直接补全条形统计图；

(3)、在扇形统计图中， $A$ “艺术类”所对应的圆心角度数是度；

(4)、据抽样调查结果，请你估计该校 $1800$ 名学生中，有多少名学生最喜爱 $C$ “科普类”图书．

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21. 甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多加工 $2$ 个这种零件，甲加工 $25$ 个这种零件所用的时间与乙加工 $20$ 个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件．

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22. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上的一点（点 $C$ 不与点 $A$ ， $B$ 重合），连接 $A C$ 、 $B C$ ，点 $D$ 是 $A B$ 上的一点， $A C = A D$ ， $B E$ 交 $C D$ 的延长线于点 $E$ ，且 $B E = B C$ ．

(1)、求证： $B E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为 $5$ ， $t a n E = \frac{1}{2}$ ，则 $B E$ 的长为．

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23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + b$ 的图象交 $x$ 轴于点 $A (8 ， 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $B ．$ 直线 $y = \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，与直线 $A B$ 交于点 $C (6 ， a) ．$ 点 $M$ 是线段 $B C$ 上的一个动点（点 $M$ 不与点 $C$ 重合），过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $C D$ 于点 $N ．$ 设点 $M$ 的横坐标为 $m$ ．

(1)、求 $a$ 的值和直线 $A B$ 的函数表达式；

(2)、以线段 $M N$ ， $M C$ 为邻边作▱ $M N Q C$ ，直线 $Q C$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ．
①当 $0 \leq m < \frac{24}{5}$ 时，设线段 $E Q$ 的长度为 $l$ ，求 $l$ 与 $m$ 之间的关系式；

②连接 $O Q$ ， $A Q$ ，当 $△ A O Q$ 的面积为 $3$ 时，请直接写出 $m$ 的值．

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24. 如图 $1$ ，在 $▱ A B C D$ 纸片中， $A B = 10$ ， $A D = 6$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，点 $E$ 为 $B C$ 边上的一点（点 $E$ 不与点 $C$ 重合），连接 $A E$ ，将 $▱ A B C D$ 纸片沿 $A E$ 所在直线折叠，点 $C$ ， $D$ 的对应点分别为 $C^{'}$ 、 $D^{'}$ ，射线 $C^{'} E$ 与射线 $A D$ 交于点 $F$ ．

(1)、求证： $A F = E F$ ；

(2)、如图 $2$ ，当 $E F ⊥ A F$ 时， $D F$ 的长为；

(3)、如图 $3$ ，当 $C E = 2$ 时，过点 $F$ 作 $F M ⊥ A E$ ，垂足为点 $M$ ，延长 $F M$ 交 $C^{^{'}} D^{^{'}}$ 于点 $N$ ，连接 $A N$ 、 $E N$ ，求 $△ A N E$ 的面积．

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25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = \frac{1}{3} x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $A (0 ， 2)$ ，与 $x$ 轴的交点为点 $B (\sqrt{3} ， 0)$ 和点 $C$ ．

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、点 $E$ ， $G$ 在 $y$ 轴正半轴上， $O G = 2 O E$ ，点 $D$ 在线段 $O C$ 上， $O D = \sqrt{3} O E ．$ 以线段 $O D$ ， $O E$ 为邻边作矩形 $O D F E$ ，连接 $G D$ ，设 $O E = a$ ．
$①$ 连接 $F C$ ，当 $△ G O D$ 与 $△ F D C$ 相似时，求 $a$ 的值；

$②$ 当点 $D$ 与点 $C$ 重合时，将线段 $G D$ 绕点 $G$ 按逆时针方向旋转 $60 °$ 后得到线段 $G H$ ，连接 $F H$ ， $F G$ ，将 $△ G F H$ 绕点 $F$ 按顺时针方向旋转 $α (0 ° < α \leq 180 °)$ 后得到 $△ G^{'} F H^{'}$ ，点 $G$ ， $H$ 的对应点分别为 $G^{'}$ 、 $H^{'}$ ，连接 $D E ．$ 当 $△ G^{'} F H^{'}$ 的边与线段 $D E$ 垂直时，请直接写出点 $H^{'}$ 的横坐标．

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