2023-2024学年高中数学人教A版必修一 3.4 函数的应用（一）同步练习

试卷更新日期：2023-08-06 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 1 & (x \leq 0) \\ - \frac{2}{x} & (x > 0) \end{array}$ ，则 $f [f (1)] =$ （）

A、5 B、-5 C、-2 D、2

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2. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x + 1 ， x ⩽ 2 \\ f (x - 1) ， x > 2 \end{array}$ ，则f(3)=（）

A、3 B、5 C、7 D、9

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3. 设 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 2 ， x \geq 10 \\ f [f (x + 6)] ， x < 10 \end{array}$ ，则 $f (5)$ 的值为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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4. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 3 ， x \geq 10 \\ f (f (x + 4)) ， x < 10 \end{array}$ ，则 $f (8) =$ （）

A、10 B、9 C、7 D、6

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} ， x \geq 0 \\ \frac{x}{1 - x} ， x < 0 \end{array}$ ，则方程 $f (x) = \frac{1}{4}$ 的解集为（）

A、 ${\frac{1}{2}}$ B、 ${- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}}$ C、 ${- \frac{1}{2} ， \frac{1}{5} ， \frac{1}{2}}$ D、 ${\frac{1}{5} ， \frac{1}{2}}$

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6. 十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数” $D (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \in Q ， \\ 0 ， x \in ∁_{R} Q ， \end{array}$ 它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数 $f (x) = x^{2} - D (x)$ ，则下列实数不属于函数 $f (x)$ 值域的是（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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7. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (1 + x) = 2 f (x - 1)$ ，当 $0 \leq x < 2$ 时， $f (x) = x^{2} - 3 x$ ，若对任意的 $x \in (- \infty ， m]$ ，都有 $f (x) \geq - 8$ ，则m的最大值是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8. 随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机.某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投入100万元，此外每生产x辆该汽车另需增加投资g（x）万元，当该款汽车年产量低于400辆时， $g (x) = \frac{1}{80} x^{2} + \frac{9}{2} x$ ，当年产量不低于400辆时， $g (x) = 16 x + \frac{360000}{x} - 3500$ ，该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（）

A、1500万元 B、2100万元 C、2200万元 D、3800万元

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二、多项选择题

9. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 2 x + 1 ， x \leq 0 \\ - x^{2} ， x > 0 \end{matrix}$ ，满足 $f (f (a)) = - 1$ 的 $a$ 的值有（）

A、0 B、1 C、-1 D、-2

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 2 ， x < 1 \\ - x^{2} + 3 ， x \geq 1 \end{array}$ ，则（）

A、 $f [f (\sqrt{3})] = 2$ B、若 $f (x) = - 1$ ，则 $x = 2$ 或 $x = - 3$ C、 $f (x) < 2$ 的解集为 $(- \infty ， 0) \cup [1 ， + \infty)$ D、 $\forall x \in R ， a > f (x)$ ，则 $a \geq 3$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - a x + 3 ， x \leq 1 \\ \frac{2 a - 1}{x} ， x > 1 \end{array}$ 是 $R$ 上的减函数，则实数 $a$ 的取值可以是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $\frac{4}{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x | + 2 ， x < 1 \\ x + \frac{2}{x} ， x \geq 1 \end{array}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (f (0)) = 3$ B、函数 $y = f (x)$ 的值域为 $[2 ， + \infty)$ C、函数 $y = f (x)$ 的单调递增区间为 $[0 ， + \infty)$ D、设 $a \in R$ ，若关于x的不等式 $f (x) \geq | \frac{x}{2} + a |$ 在R上恒成立，则a的取值范围是 $[- 2 ， 2]$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + x + 1 ， x \geq 0 \\ 2 x + 1 ， x < 0 \end{array}$ ，若 $f (m) < f (2 - m^{2})$ ，则实数 $m$ 的取值范围是．

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14. 设函数 $f (x) = (| x | - 2) | x + 1 |$ ，则 $f (x)$ 在 $R$ 上的最小值为；若 $f (x)$ 的定义域与值域都是 $[a ， b]$ ，则 $a + b =$ ．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - \frac{x^{2} - 2 x + a}{x} ， x < - 1 ， \\ (2 a - 1) x + a ， x \geq - 1 \end{array}$ 满足 $\forall x_{1} ， x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，不等式 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] < 0$ 恒成立，则实数a的取值范围为．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a x - 1 ， x < 1 ， \\ x^{2} - 2 a x ， x \geq 1 \end{array}$ 的值域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围为．

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四、解答题

17. 第24届冬奥会计划于2022年2月4日在北京召开，随着冬奥会的临近，中国冰雪运动也快速发展，民众参与冰雪运动的热情不断高涨．盛会的举行不仅带动冰雪活动，更推动冰雪产业快速发展．某冰雪产业器材厂商，生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本为 $C (x)$ 万元，其中 $C (x)$ 与x之间的关系为： $C (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{4} x^{2} + 20 x ， 0 < x < 60 ， x \in N^{*} \\ 50 x + \frac{49000}{x - 2} - 1980 ， x \geq 60 ， x \in N^{*} \end{array}$ ，通过市场分析，当每千件产品售价为40万元时，该厂年内生产的商品能全部销售完．

(1)、写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；

(2)、年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

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18. 已知 $f (x)$ = ${\begin{array}{l} f (x + 1), - 2 < x < 0 \\ 2 x + 1, 0 \leq x < 2 \\ x^{2} - 1, x \geq 2 \end{array}$ .

(1)、若 $f (a)$ =4，且a>0，求实数a的值；

(2)、求 $f (- \frac{3}{2})$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{2}{x} ， x \geq 2 \\ x^{2} - 3 ， x < 2 \end{array}$ .

(1)、在所给坐标系中作出 $y = f (x)$ 的简图；

(2)、解不等式 $f (x) < \frac{1}{2}$ .

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20. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 1 ， x \leq - 2 \\ x^{2} + 2 x ， - 2 < x < 2 \\ 2 x - 1 ， x \geq 2 \end{array} .$

(1)、若 $f (a) = 3$ ，求实数a的值；

(2)、若 $f (m) > m$ ，求实数m的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + a ， x \in [2 ， 4]$ 的最小值为 $φ (a)$ .

(1)、求 $φ (a)$ 的解析式；

(2)、若 $φ (m + 1) > φ (2 m - 3)$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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