2023-2024学年高中数学人教A版必修一 3.3 幂函数同步练习

试卷更新日期：2023-08-06 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象过点 $(2 ， 16)$ ，则 $f (x) =$ （）

A、 $x^{4}$ B、 $x^{3}$ C、 $x^{6}$ D、 $x^{5}$

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2. 已知幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图像过点 $(2 ， 4)$ ，若 $\sqrt{f (m)} = 4$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、2 B、 $\pm 2$ C、4 D、 $\pm 4$

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3. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象过点 $(4 ， 2)$ ，则 $f (16) =$ （）

A、8 B、 $\pm 4$ C、4 D、 $- 4$

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4. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 2) x^{m - 2}$ 的图象经过原点，则 $m =$ （）

A、－1 B、1 C、3 D、2

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5. 已知函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} - 2 m - 2}$ 是幂函数，且为偶函数，则实数 $m =$ （）

A、 $2$ 或 $- 1$ B、 $- 1$ C、 $4$ D、 $2$

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6. 已知幂函数 $f (x) = x^{α}$ ，则“ $α > 0$ ”是“此幂函数图象过点 $(1 ， 1)$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知幂函数的图象经过点 $P (2 ， \frac{1}{4})$ ，则该幂函数的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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二、多项选择题

8. 下列关于幂函数说法正确的是（）

A、图像必过点 $(1 ， 1)$ B、可能是非奇非偶函数 C、都是单调函数 D、图像不会位于第四象限

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9. 下列关于幂函数描述正确的有（）

A、幂函数的图象必定过定点 $(0 ， 0)$ 和 $(1 ， 1)$ B、幂函数的图象不可能过第四象限 C、当幂指数 $α = - 1 ， \frac{1}{2} ， 3$ 时，幂函数 $y = x^{α}$ 是奇函数 D、当幂指数 $α = \frac{1}{2} ， 3$ 时，幂函数 $y = x^{α}$ 是增函数

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10. 如果幂函数 $y = (m^{2} - 3 m + 3) x^{m^{2} - m - 2}$ 的图象不过原点，则实数 $m$ 的取值为（）

A、 $0$ B、 $2$ C、 $1$ D、无解

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11. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (2 - a) x ， x \leq 1 \\ x^{a} ， x > 1 \end{array}$ ，则以下说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 有最小值，则 $a \geq 2$ B、存在正实数 $a$ ，使得 $f (x)$ 是 $R$ 上的减函数 C、存在实数 $a$ ，使得 $f (x)$ 的值域为 $R$ D、若 $a > 2$ ，则存在 $x_{0} \in (1 ， + \infty)$ ，使得 $f (x_{0}) = f (2 - x_{0})$

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三、填空题

12. 已知幂函数 $y = (m^{2} - 3 m + 3) x^{m + 1}$ 的图象关于原点对称，则 $m =$ ．

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13. 已知函数 $f (x) = x^{n}$ 的图像经过点 $(2 ， 8)$ ，若 $f (2 x) + f (1 - x) < 0$ ，则 $x$ 的取值范围为.

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14. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m + 1}$ 是奇函数，则实数m的值为.

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四、解答题

15. 已知幂函数 $f (x) = (m + n - 2) x^{m - n} (m ， n \in N_{+})$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 上单调递减.

(1)、求 $f (2)$ 的值；

(2)、求 $f (x^{2}) \leq f (16)$ 的解集.

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16. 已知函数 $f (x) = (a^{2} - a - 1) x^{a}$ （ $a$ 是常数）为幂函数，且 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增.

(1)、求 $f (x)$ 的表达式；

(2)、判断函数 $g (x) = \frac{f (x) + 4}{x}$ 在 $(2 ， + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明.

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17. 已知 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 7) x^{m - 2}$ 是幂函数，且在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求函数 $g (x) = f (x) - (2 a - 1) x + 1$ 在区间 $[2 ， 4]$ 上的最小值 $h (a)$ ．

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18. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m + 2) x^{5 k - 2 k^{2}}$ （ $k \in Z$ ）是偶函数，且在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (2 x - 1) < f (2 - x)$ ，求 $x$ 的取值范围；

(3)、若实数 $a$ ， $b$ （ $a$ ， $b \in R^{+}$ ）满足 $2 a + 3 b = 7 m$ ，求 $\frac{3}{a + 1} + \frac{2}{b + 1}$ 的最小值．

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19. 已知幂函数 $f (x) = (m - 2)^{2} \cdot x^{2 m - 3}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增．

(1)、求实数m的值；

(2)、若对 $\forall x \in [- 2 ， 2]$ ， $\exists a \in [- 2 ， 2]$ ，使得 $f (x) \leq a t^{2} + t + 2 a + 1$ 都成立，求实数t的取值范围.

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20. 已知点 $(\sqrt{2} ， 2)$ 在幂函数 $f (x)$ 的图像上.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + a x + 3$ ， $x \in [1 ， + ∞)$ 是否存在实数a，使得 $g (x)$ 最小值为5？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由

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2023-2024学年高中数学人教A版必修一 3.3 幂函数 同步练习

一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

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