2023-2024学年高中数学人教A版必修一 3.2 函数的基本性质同步练习

试卷更新日期：2023-08-06 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列选项中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（）

A、 $y = - x^{3}$ B、 $y = - \frac{1}{x}$ C、 $y = | x |$ D、 $y = x | x |$

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2. 函数 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \sqrt{x}$ ，则不等式 $f (x - 1) \geq \sqrt{2} f (x)$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 1]$ B、 $[- \frac{1}{3} ， 1]$ C、 $[- 1 ， 0]$ D、 $[- 1 ， \frac{1}{3}]$

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3. 已知奇函数 $y = f (x) (x \neq 0)$ ，当 $x \in (- \infty ， 0)$ 时， $f (x) = x + 1$ ，则使 $f (x) < 0$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 0) \cup (0 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$

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4. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且在区间 $[0 ， + ∞)$ 单调递减，则不等式 $f (2 x - 1) > f (x + 1)$ 的解集为（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(- \infty ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$ C、 $(- ∞ ， 2)$ D、 $(2 ， + ∞)$

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5. 已知 $a > 0$ ，设函数 $f (x) = \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + 1} + m ， x \in [- a ， a] ，$ $m \in N$ 则 $f (a) + f (- a)$ 的值可能为（）

A、 $- 2$ B、1 C、2 D、3

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6. 定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足：对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in (- \infty ， 0] (x_{1} \neq x_{2})$ ，有 $(x_{1} - x_{2}) \cdot [f (x_{1}) - f (x_{2})] < 0$ ，则（）

A、 $f (- 1) < f (π) < f (4)$ B、 $f (- 1) > f (π) > f (4)$ C、 $f (π) < f (4) < f (- 1)$ D、 $f (4) < f (- 1) < f (π)$

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7. 已知函数 $f (x) = a x^{3} - \frac{b}{x} + 3$ ，且 $f (5) = - 2$ ，则 $f (- 5) =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、3 D、8

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8. 已知定义域为R的奇函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，且 $f (- 5) = 0$ ，则满足 $(x - 3) f (x) > 0$ 的x的取值范围是（）

A、 $(- 5 ， 0) ∪ (3 ， 5)$ B、 $(- 5 ， 0) ∪ (0 ， 5)$ C、 $(- \infty ， - 5) \cup (0 ， 5)$ D、 $(- 5 ， - 3) ∪ (3 ， 5)$

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9. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号 $.$ 设 $x ∈ R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，例如： $[- 0.5] = - 1$ ， $[1.5] = 1 .$ 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 4 (1 \leq x \leq 4)$ ，则函数 $y = [f (x)]$ 的值域为（）

A、 $[\frac{1}{2} ， \frac{3}{2})$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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10. 设函数 $f (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$ 的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，则 $M + m =$ （）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $4$

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二、多项选择题

11. 已知偶函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x - 4)$ 也是偶函数，当 $x \in [0 ， 4]$ 时， $f (x) = \frac{a - x}{x + 1}$ .若 $f (- 1) + f (5) = - \frac{11}{4}$ ，则（）

A、 $f (- 1) > f (- 6)$ B、 $f (\sqrt{3}) > f (- 1)$ C、 $f (5) > f (\sqrt{3})$ D、 $f (- 6) > f (5)$

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12. 下列说法中，不正确的有（）

A、若对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in I$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则 $y = f (x)$ 在 $I$ 上是增函数 B、函数 $y = x^{2}$ 在 $R$ 上是增函数 C、函数 $y = - \frac{1}{x}$ 在定义域上是增函数 D、函数 $y = \frac{1}{x}$ 的单调减区间是 $(- \infty ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$

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13. 下列函数中是奇函数的有（）

A、 $y = - 2 x$ B、 $y = x^{3} + 1$ C、 $y = x + \frac{4}{x}$ D、 $y = | x | + \frac{1}{x^{2}}$

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14. 下列函数在定义域上是奇函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = - x^{3}$ C、 $f (x) = x | x |$ D、 $f (x) = - \sqrt[3]{x}$

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15. 下列函数中是偶函数，且在 $(1 ， + \infty)$ 为增函数的是（）

A、 $f (x) = | x |$ B、 $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ C、 $f (x) = 2 x^{2} - | x | - 1$ D、 $f (x) = {\begin{array}{l} - x + 1 ， x < 0 \\ x + 1 ， x > 0 \end{array}$

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16. 下列函数中满足“对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ”的是（）

A、 $f (x) = - 3 x + 1$ B、 $f (x) = - \frac{2}{x}$ C、 $f (x) = x^{2} + 4 x + 3$ D、 $f (x) = x - \frac{1}{x}$

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三、填空题

17. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - 2 x + 1 ， x < 0 \\ - x^{2} + 2 x + 1 ， x \geq 0 \end{array}$ ，则 $f (x)$ 的单调递增区间为.

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18. 函数 $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ 的单调减区间是．

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19. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上是减函数，若 $f (m^{2}) + f (- 3 - 2 m) > f (0)$ ，则实数 $m$ 的取值范围为.

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20. 若函数 $f (x) = a x^{2} + b x + 1$ 是 $[- 1 + a ， 2 a]$ 上的偶函数，则 $a + b$ 的值为.

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21. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在R上的增函数，且 $f (3 + 2 a) < f (2)$ ，那么实数a的取值范围为．

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22. 设函数 $f (x)$ 是奇函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 内是增函数，又 $f (- 3) = 0$ ，则 $x f (x) < 0$ 的解集是

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四、解答题

23. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - a x$ ，且 $f (- 1) = 2$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、画出 $f (x)$ 的图象，并根据图象写出 $f (x)$ 的单调区间（直接写出，无需证明）．

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24. 设函数 $f (x) = \frac{a x + b}{1 + x^{2}}$ 是定义在 $(- 1 ， 1)$ 上的奇函数，且 $f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{5}$ ．

(1)、求a，b的值；

(2)、试判断 $f (x)$ 的单调性，并用定义法证明．

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25. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x}{x + 1}$ ．

(1)、用定义证明函数 $f (x)$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增；

(2)、对任意 $x \in [2 ， 4]$ 都有 $f (x) \leq m$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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26. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} - 1} (x \in (- 1 ， 1))$ .

(1)、用定义法证明：函数 $f (x)$ 为减函数；

(2)、解关于x的不等式 $f (x + 1) + f (x) < 0$ .

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27. 已知偶函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ ， $f (- 2) = \frac{3}{2}$ ，当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时，函数 $f (x) = x - \frac{m}{x}$ ．

(1)、求实数m的值；

(2)、当 $x \in (- \infty ， 0)$ 时，求函数 $f (x)$ 的解析式；

(3)、利用定义判断并证明函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 的单调性．

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28. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x + m}{x^{2} + 1}$ ， $x ∈ R$ 是奇函数.

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 在 $[2 ， 3]$ 上的单调性，并求函数 $f (x)$ 在 $[2 ， 3]$ 上的最大值和最小值.

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2023-2024学年高中数学人教A版必修一 3.2 函数的基本性质 同步练习

一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

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