2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一 3.3 抛物线同步练习

试卷更新日期：2023-08-06 类型：同步测试

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一、选择题

1. 抛物线 $y = 4 x^{2}$ 的焦点坐标为（）

A、 $(1 ， 0)$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(0 ， - \frac{1}{16})$ D、 $(0 ， \frac{1}{16})$

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2. 抛物线 $x^{2} = 8 y$ 的焦点到准线的距离是（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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3. 焦点坐标为 $(0 ， - \frac{1}{2})$ 的抛物线的标准方程为（）

A、 $x^{2} = - 4 y$ B、 $x^{2} = - 2 y$ C、 $y^{2} = 2 x$ D、 $y^{2} = - 2 x$

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4. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点 $P$ 到焦点 $F$ 的距离是2，则该点到 $y$ 轴的距离为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，过C上一点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，若 $△ P Q F$ 是边长为4的正三角形，则 $p =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 如图，过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线l于点C，若 $| A F | = \frac{2}{3} | C F |$ ，且 $| A F | = 10$ ，则 $| A B | =$ （）

A、 $\frac{95}{6}$ B、 $\frac{100}{7}$ C、18 D、25

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7. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F (1 ， 0)$ ，过F的直线与C交于M，N两点，准线与x轴的交点为A，当 $M A ⊥ N A$ 时，直线MN的方程为（）

A、 $x - y - 1 = 0$ B、 $2 x - y - 2 = 0$ C、 $x - 2 y - 1 = 0$ D、 $x - 1 = 0$

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二、多项选择题

8. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过原点 $O$ 的动直线 $l$ 交抛物线于另一点 $P$ ，交抛物线的准线于点 $Q$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $O$ 为线段 $P Q$ 中点，则 $| P F | = 2$ B、若 $| P F | = 4$ ，则 $| O P | = 2 \sqrt{5}$ C、存在直线 $l$ ，使得 $P F ⊥ Q F$ D、 $△ P F Q$ 面积的最小值为2

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9. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F (1 ， 0)$ ，过 $G (8 ， 0)$ 的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则以下说法正确的是（）

A、 $k_{O A} k_{O B}$ 为定值 B、AB中点的轨迹方程为 $y^{2} = 2 x - 16$ C、 $| A F | + | B F |$ 最小值为16 D、O在以AB为直径的圆外

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10. 下列关于抛物线 $y^{2} = 10 x$ 的说法正确的是（）

A、焦点在y轴上 B、焦点在x轴上 C、抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 D、由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为 $(2 ， 1)$

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11. 已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 经过抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ ，且与抛物线 $C$ 交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，则下列说法正确的是（）

A、对任意实数 $k$ ，均有 $y_{1} \cdot y_{2} = - 4$ B、存在实数 $k$ ，使得 $| A B | = \frac{23}{6}$ C、若 $\frac{| A F |}{| B F |} = 3$ ，则 $k = \pm \sqrt{3}$ D、若 $| A B | = 8$ ，则 $A ， B$ 中点 $M$ 到 $y$ 轴的距离是3

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12. 点P是抛物线 $y^{2} = - 16 x$ 上一动点，若点 $Q (0 ， - 3)$ ，记点P到直线 $x = 4$ 的距离为d，则 $| P Q | + d$ 的值可以取（）

A、7 B、 $4 \sqrt{2}$ C、5 D、 $2 \sqrt{5}$

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13. 已知抛物线 $y^{2} = \frac{1}{2} x ， A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 是该抛物线上两点， $O$ 为坐标原点， $F$ 为焦点，则下列结论正确的是（）

A、若直线 $A B$ 过点 $F$ ，则 $x_{1} x_{2} = \frac{1}{16}$ B、若 $| A F | + | B F | = 2$ ，则线段 $A B$ 的中点到准线的距离为1 C、若 $\vec{A F} = λ \vec{F B}$ ，则 $3 | A F | + | B F |$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3} + 2}{4}$ D、若 $O A ⊥ O B$ ，则 $| O A | \cdot | O B | ⩾ \frac{1}{2}$

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14. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，直线 $x = t y + m$ 与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，则（）

A、若 $m = \frac{p}{2}$ ，则 $y_{1} y_{2} = - p^{2}$ B、若 $m = p$ ，则 $x_{1} x_{2} = \frac{p^{2}}{4}$ C、若 $m = 2 p$ ，则OA⊥OB D、若 $m = 4 p$ ，则 $△$ OAB面积最小值为 $8 \sqrt{2} p^{2}$

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三、填空题

15. 已知点 $P (m ， n)$ 为抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 上的点，且点P到抛物线C的准线的距离为3，则 $m =$ .

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16. 在平面直角坐标系xOy中，若抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的点P到该抛物线的焦点的距离为6，则点P的横坐标x＝．

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17. 抛物线 $x = a y^{2}$ （ $a \neq 0$ ）的焦点坐标是．

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18. 已知倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 的直线 $l$ 过抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ ，且与 $C$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点（点 $P$ 在第一象限），若 $| P F | = 4$ ，则 $| Q F | =$ .

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19. 已知点M在抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上，F是抛物线的焦点，直线 $F M$ 交x轴于点N，若M为线段 $F N$ 的中点，则焦点F坐标是， $| F N | =$ ．

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20. 过抛物线 $C ： x^{2} = 2 y$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $A$ ， $B$ ，若 $\vec{O E} = 3 (\vec{O A} + \vec{O B})$ （ $O$ 为坐标原点），且点 $E$ 在抛物线 $C$ 上，则直线 $l$ 的斜率为.

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四、解答题

21. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F．

(1)、求F的坐标和抛物线C的准线方程；

(2)、过点F的直线l与抛物线C交于两个不同点A，B，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 $| A B |$ 的长．
条件①：直线l的斜率为1；
条件②：线段 $A B$ 的中点为 $M (3 ， 2)$ ．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．

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22. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，其准线方程为 $x = - 2$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、不过原点 $O$ 的直线 $l ： y = x + m$ 与抛物线交于不同的两点 $P ， Q$ ，且 $O P ⊥ O Q$ ，求 $m$ 的值．

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23. 已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是y轴，焦点F在y轴正半轴，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点M的纵坐标为2，且 $| A F | + | B F | = 6$ ．

(1)、求抛物线C的标准方程；

(2)、若直线l经过焦点F，求直线l的方程

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24. 已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 py (p > 0)$ 的焦点到顶点的距离为 $\frac{3}{4}$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、已知过点 $M (0 ， 1)$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于不同的两点 $A$ ， $B$ ， $O$ 为坐标原点，设直线 $OA$ ， $OB$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求 $k_{1} k_{2}$ 的值.

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25. 已知点 $F$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，定点 $A (1 ， a)$ （其中常数 $a$ 满足 $a^{2} < 2 p$ ），动点 $P$ 在 $C$ 上，且 $| P F | + | P A |$ 的最小值为 $2$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过 $A$ 作两条斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 的直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ ，记 $l_{1}$ 与 $C$ 的交点为 $B$ 、 $D$ ， $l_{2}$ 与 $C$ 的交点为 $E$ 、 $G$ ，且线段 $B D$ 、 $E G$ 的中点分别为 $M$ 、 $N$ ．
（i）当 $a = 0$ ，且 $k_{1} k_{2} = - 1$ 时，求 $△ A M N$ 面积的最小值；
（ii）当 $k_{1} + k_{2} = 1$ 时，证明：直线 $M N$ 恒过定点．

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26. 已知点 $(4 ， 2)$ 在抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y$ 上，直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点， $O$ 为坐标原点，且 $∠ A O B = 90 °$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的焦点到准线的距离；

(2)、求 $△ A O B$ 面积的最小值．

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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一 3.3 抛物线 同步练习

一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

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